完整版第二章行列式习题解答Word文件下载.docx
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0…0
0-200
■a«
•■即ia«
i»
iife■
m-1・■-000
0・■-00«
_^1+^23^31^42-
8.按定义计算行列式:
1)该行列式含有的非零项只有m/JAi…叫七%1,带的符号为CU2,
值为57』,因此原行列式等于(T」3创.
2)该行列式含有的非零项只有①曲曲心小卅池,带的符号为值为「2,因此原行列式等于df.
3)该行列式含有的非零项只有%”宀"
叫%,带的符号为
(7丄,值为,因此原行列式等于卜1)2创.
9.由行列式定义证明:
证明:
行列式的一般项为I==二,列指标•「S1只能在1,2,3,4,5
中取不同值,故*「】中至少有一个要取3,4,5中之一,而'
厂恥宀从而每一项中至少包含一个零因子,故每一项的值均为零,因此行列式的值为零.
10.由行列式定义计算
2a12
1x1-1
32工1
111工
中/与/的系数,并说明理由.
行列式元素中出现兀的次数都是1次的,因此含屏项每一行都要取含齐的,因此含/项仅有%如宀,其系数为2,符号为正,h的系数为2.类似的含尸项仅有知灼金%,其系数为1,符号为负,代的系数为-1.
11.由
1・-•1
11■■■1
...=Q
■♦V
11・•1
奇偶排列各半
行列式每一项的绝对值为1行列式的值为零,说明带正号项的个数等于带负号项的个数•由定义,当项的行指标按自然顺序排列时,项的符号由列
1)由行列式定义,说明'
「是一个卞―〔次多项式;
2)由行列式性质,求'
的根.
1在行列式’〔中只有第一行含有t,出现t最高次数为次,由
为互不相同的数可得其系数不为零,因此'
•是一个・】次多项式
2)用■,,,r^--分别代*,均出现了两行相同,因此行列式为0.即
宀为—的全部根
13.计算下面的行列式:
246427327
10W543443
八-342721621小、
1);
3111
1234
1311
2341
1131
3412
1113
4)
4123
9
1+A
1
(a+2)2
(a+3a
1-工
4+1)2
0+卯
@+卯
11
1+》
W+1尸
(亡+卯
(心
5)
I
6)
9+1尸
(八疔
1该行列式中每行元素的和为
1000的倍数,第2列与第三列相差100,
2
3
246
427
327
1000
6
100
1014
543
443
2000
44孑
-
—
-342
721
€21
621
116二-294x12
294
5)显然当二=■'
或」时均有两行元素相同,因此行列式为0.当'
时
1h-x
1I
f
c4-x~\
'
i
]
-x1
1七
、厂5(
〕■
-X
c4+z1<
0-
3y
1g
1P
=123(
)
y
5-严
:
i-卅
肿
1-7
A
-y
【口十
3十2尸
⑺十浙
十1
牝十4
6口十夕
(*+Da
辿+2尸
叶卯
*
22)+1
4b+4
6b+9
(T
尸
(小尸
L3
2^+1
4亡+4
&
+9
d2
3+1尸
3+計
+卯
茲十1
4d+4
阳+9
b+亡c+txa+b
abe
右L+百1号+%如4玄
=2
旬玄巧
14.证明:
鸟+勺耳+勺巴十坊
也®
巾
加+12
6_
6-
i+c
c^a
a+b
2(a十B十u)
c+a
戊+B
A.+勺
=
2(d|+坷+5)
码+歼
為+勺
如+S
2(角+务+勺)
勺+码
+i+cc+a
=2口]+妬+匕1百[+(3]
巧十毎十勺勺+包
15.算出下列行列式的全部代数余子式:
1214
0-121
1-12
0021
321
poos
014
-121
021
0-11
4i=
=-6;
血=-
=0;
j4o=
001
=0
003
14
21=6;
-12
4+=-
02
4j!
=-
00
21
03
=-12;
爲立=0
n
-4b==°
■41=1》4盘=-^3=—5-^34=Q斗].=乙&
2=Q'
Ab=L;
4=7
41=
2)
=3^=-
14
1-1
01
=5,=
32
16.计算下面的行列式
11111卩0
211-*厂©
*0
122510
4321||斗1
-5
=1.
4
17
1丄
5
J
10
n1
2-
-1
|:
-10
|3
13
12
1°
2-1
一]
a
-6
一
二
一1
0-5
12
0-9
37
-11
-9
-3
=一
=-483.
55
-12
=-36-3
兀
20
10
23
11014
1618
-7
-10
-16=114
-19
18
-W
17.计算下列乜级行列式:
J.
12-2
110
-112
16
-16=-12
-19818
613
X
I〕
…0
Q
…o
c
…K
ri
■■■
3)&
心
22
»
■i
•II
23-■
垃一1
溶
Cl
CI
o…
-2
4)
■■■I■■4
a■»
a
■II
w«
■
+I*
Ji
+1■
II*
4-iICI+
0…
bl*
1-ra
解1
)按第一列展开得
x
F0
t)
龙y
■I-K
■*I■4I
■I-
4I»
■
II4
-冥
■41
II-
■11+I■4
■-KI
十
(-1严》
■*I
I-fiE
■I-
■I«
I»
■4
*■■■
…x
仃
…y
¥
«
l>
工
L-i
也可以按定义计算,非零项只有两项及'
—…「八值分别为"
和厂,符号分别为+和「,因此原行列式1?
,t
2)解:
当阅i时,行列式等于问■対;
2时
原行列式
当吃二三时,从第二列起,每一列减去第一列得:
工1_的
冷…G
抵…召
1■V
亏_朋…兀
■»
11«
■«
■»
Sxi
H■
_枕
七—枕…丹
h■n■■■■■■
…召一翩
鬥
一懣
勺…码一规
d-1
从第二列起,每一列都加到第一列然后提取因子得
3)解:
也■■■耳
乃…G
心一烧■■■X”
j
-m…0
(S為一阀
=(壬再-廉)
i-L
B*■■4I«
II-4#III3-I
八•耳-附
0…-W3
=(备-觀)(-计
2…
2…2
…2
3-
二—
■■■•
■V■■
■■4■»
V■■
■■■'
■■
■■■'
■*■
«
»
■■
•吃
…丹一2
两行后化为三角形得:
然后交换
1,2
从第二行起每一行减去第一行,
3•…
用-1
V-4
3…
73-1
0■-
.5—1
-2・・・
-2…
用—1
1—料
■|>
■>
11
■1V■>
1«
N-1
■iV
1一冷
2列起每一列都加到第
然后按第一列展开得到:
列,
从第
耳一1
1
二&
連2…吐(附一龙―);
j-1康
(]二2,3"
■,聊+1)
从第2列起,每一列的-倍加到第一列即可得:
二1用_壬_
%
…1
j>
l葩
的
■…0
■1
B
・・・0
禺
■■■0
・・■
|>
•
■-叫
当“°
时结论显然成立,当疋八时,第一行的工加到第二行,然后第
\_
行的工加到第三行,依次类推可得:
小+"
学…笋+禺)"
+%严iw+飾
证法二:
按最后一列展开即可得.
证法三:
按第一行展开再结合数学归纳法证明•
证法四:
从最后一行起,每一行乘以X加到上一行,然后按第一行展开可得:
0…
h
盘]
X…
・
H
■■
0*■'
0'
•*
「1
兀+J1
IJ
孟"
+|2”]乳"
1+■■・+(3]工+口0
茂+务+…的
9—□»
—3
X++…眄
D
■■9V]
=(—l)w+l(X™+込_]才】+…+fif[北+引)
二(-1严*0+)(-1)"
_1=
十…+硯丸+%
就+$
afi
ar+
ap…
口十0…
ar—Q"
■■1
■■■
■HlH■■
■in
H■■
a-Q'
C£
-\-jS
C1
少+fl
原行列式按第一行展开得:
.「+广―-一―’丁,一•因此有
即J是以■宀-为首项,以二为公比的等比数列.因此有
_
类似有必%二才.当“0时,解得Ha-^.
按第一行展开找到递推关系,再结合数学归纳法加以证明
2cosC&
cosa
对行列式的级数用第二数学归纳法证明
_cosa1
12cosa
*2
=2cos4一1=2d
,因此结论成立.
假设当级数小于T时结论成立,对咛级行列式匚按最后一行展开得:
Dk=2cos^r-Ds_2=2cosa-cos(^-l)a-匕加山一2)口
=2cosc<
>
s[(?
;
-l)dU-iT]
=-l)a-sinasinfw-l)dr=cosna
由数学归纳法,结论成立•
注意:
因为主对角线上第一个元素为曲口,其它主对角线上元素为
2l:
<
-,本行列式按第一行展开得到的低级数行列式与原行列式形式不同,无
法得到与*兀之间的递推关系,而按最后一行可得到递推关系
1-I-心
a1
二甸孔…碍门+卫—)■i-ia.
从第二行起,
再三角化
1+盘]
1…
1+位11
1亠①
_口]叫
1-
]+也…
■#
_筍0
■■
II
•#I
15
一口10
…仇
行减去第一行先化为爪形行列式,
1+&
1+E竺za20
=0+^1+S—)^3-^"
曲他…耳(1十艾丄)
2-1[7^
19.用克拉默法则解下列线性方程组:
5开i+6勺=1
Xj+5%4陆=0
©
+5衍-F6a4=0
也+5x4十&
屯=0
+%5-1
z!
Jlj—x、十3兀m2工4二b”3ij一3叼+3x?
+2工斗二5,3x{-x2—x5+2x4-3t予冋_花+3也一筍=4;
巧+2貫2+3xj—2珥—6,
2&
-j?
3-2也一窃=&
3%!
+Jl5-as+二4,
2町-3工2+2兀§
+筍=_&
扎+2心-2屁十4兀-x.=-1,
2xj-+3x3一4旺+2^=8彳弓站+阳-电+2^4一心=3,
4x:
十3x立+4延十2耳十2心=-2f兀一两一阿+2a4-弓召=-3,
1)系数行列式
F
■4
~0
P
-32
=-29一10=-70,
31-1
故方程组的解为:
2.
出二弓24同二3纽£
=64&
厶二■艾4£
=・6J&
颅=虫=L呵=佥=2,旳=佥=-1曲=—--2
故方程组的解为:
ddd&
3)d=2A,口二込禺=■弓苑£
=-迥£
=1私^=312?
=4再=-14內=7耳=7fx_5=13.
口-2D*=243?
Ds-3D4二32,
2-二艰-2D3)二9(厶-二27(2-2耳)=243r
2二3畑,2>
艾二血
Ci
=1507,
爲=-1145f^3=703^4=-395,&
=212?
定的数,用克拉默法则证明: