三角形综合证明解答题30题有答案okWord格式文档下载.docx
《三角形综合证明解答题30题有答案okWord格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三角形综合证明解答题30题有答案okWord格式文档下载.docx(37页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(不必说理由).
13.已知,如图:
四边形ABCD中,E在BC边上,AB=EC,∠B=∠C=∠AED.
△AED是等腰三角形;
(2)当∠B=∠C=∠AED=90°
时,求证:
AB2+BE2=AE2.
14.如图,AD为△ABC的中线,∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F.
求证:
BE+CF>EF.
15.已知:
如图,∠C=90°
,BC=AC,D、E分别在BC和AC上,且BD=CE,M是AB的中点,连接CM,求证:
(1)△CEM≌△BDM;
(2)△MDE是等腰直角三角形.
16.如图△ABC为等边三角形,P为BC上一点,△APQ为等边三角形.
AB∥CQ.
(2)是否存在点P使得AQ⊥CQ?
若存在,指出P的位置;
若不存在,说明理由.
17.如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD
(1)试说明CE=CF.
(2)△BCE与△DCF全等吗?
试说明理由.
(3)若AB=21,AD=9,BC=CD=10,求CE的长.
18.如图,∠ACB=90°
,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D.
(1)△ACD≌△CBE.
(2)若AD=2.5cm,DE=1.1cm.求BE的长.
19.如图所示,A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD,可以得到BD平分EF,为什么?
说明理由.
20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°
,且AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°
,点D是AC的中点,AE⊥BD于点F,交BC于点E,连接DE.
(1)∠BAF=∠ADB;
(2)∠ADB=∠EDC.
21.已知如图,△ABC是等边三角形,边长为6,DE⊥BC于E,EF⊥AC于F,FD⊥AB于D,求AD的长.
22.如图:
△ABD和△ACE都是Rt△,其中∠ABD=∠ACE=90°
,C在AB上,连接DE,M是DE中点,求证:
MC=MB.
23.如图,点C在线段AB上,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.CF平分∠DCE.
(1)△ACD≌△BEC;
(2)CF⊥DE.
24.如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB
.求证:
(1)AP=AQ;
(2)AP⊥AQ.
25.如图,在△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥GF,交AB于点E,连接EG.
BG=CF;
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论.
26.
(1)如图1,已知点P在正三角形ABC的边BC上,以AP为边作正三角形APQ,连接CQ.
①求证:
△ABP≌△ACQ;
②若AB=6,点D是AQ的中点,直接写出当点P由点B运动到点C时,点D运动路线的长.
(2)已知,△EFG中,EF=EG=13,FG=10.如图2,把△EFG绕点E旋转到△EF′G′的位置,点M是边EF′与边FG的交点,点N在边EG′上且EN=EM,连接GN.求点E到直线GN的距离.
27.已知:
△ABC是等边三角形,△BDC是等腰三角形,其中∠BDC=120°
,过点D作∠EDF=60°
,分别交AB于E,交AC于F,连接EF.
(1)若BE=CF,求证:
①△DEF是等边三角形;
②BE+CF=EF.
(2)若BE≠CF,即E、F分别是线段AB,AC上任意一点,BE+CF=EF还会成立吗?
28.如图甲,已知在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)说明△ADC≌△CEB.
(2)说明AD+BE=DE.
(3)已知条件不变,将直线MN绕点C旋转到图乙的位置时,若DE=3、AD=5.5,则BE= _________ .
29.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,分别过B、C向过A的直线作垂线,垂足分别为E、F.
(1)如图①过A的直线与斜边BC不相交时,求证:
EF=BE+CF;
(2)如图②过A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3,求:
FE长.
30.如图1,△ABC和△CDE为等边三角形.
BD=AE;
(2)若等边△CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时,
(1)中结论还成立吗?
请给予证明;
(3)旋转到如图2位置时,若F为BD中点,G为AE中点,连接FG,求证:
①△CFG为等边三角形;
②FG∥BC.
参考答案:
1.证明:
在Rt△ABD和Rt△NBD中,
,
∴△ABD≌△NBD(ASA),
∴AD=ND=
AN,
∵∠ACB=90°
∴∠3+∠AED=∠AED+∠2,
∴∠3=∠2,
在△ACN和△BCE中,
∴△ACN≌△BCE(ASA),
∴BE=AN,
∴AD=
BE
2.证明:
如图,分别取AB、AC的中点M、N,连接DM、PM、PN、NE.
∵点P为△ABC的边BC的中点,
∴PM为△ABC的中位线,
∴PM=
AC.
又∵NE为直角△AEC斜边上的中线,
∴NE=AN=
AC,
∴MP=NE.
同理DM=PN.
∵DM=AM,
∴∠1=∠3,
∴∠5=2∠1(三角形外角定理).
同理,∠6=2∠2.
又∠1=∠2,
∴∠5=∠6.
又PM∥AC,PN∥AB,
∴∠7=∠9,∠8=∠9,
∴∠7=∠8,
∴∠5+∠7=∠6+∠8,即∠DMP=∠PNE,
∴在△MDP与△NPE中,
∴△MDP≌△NPE(SAS),
∴PD=PE.
3.
(1)证明:
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°
∴∠A+∠ABE=90°
,∠ABE+∠DFB=90°
∴∠A=∠DFB,
∵∠ABC=45°
,∠BDC=90°
∴∠DCB=90°
﹣45°
=45°
=∠DBC,
∴BD=DC,
在△BDF和△CDA中
∵
∴△BDF≌△CDA(AAS),
∴BF=AC;
(2)证明:
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=∠CEB,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
在△AEB和△CEB中
∴△AEB≌△CEB(ASA),
∴AE=CE,
即CE=
∵由
(1)知AC=BF,
∴CE=
BF
4.
(1)解:
∵AD⊥BD,
∴∠ADB=90°
,∠AED=∠BEC,
∴∠CAD=∠DBH,
∵∠BCG=∠DCA,
∵在△ACD和△BGC中
∴△ACD≌△BGC(ASA),
∴CD=CG;
延长EC到F使CF=CE,如图,
∵△AGC≌△BCD
∴AG=BD,
∵CG=BD,
∴AG=CG,
∴∠GAC=∠GCA,
∵△CDG为等腰直角三角形,
∴∠CGD=45°
∴∠GAC=22.5°
∵AC⊥BC,CF=CE,
∴△AEF为等腰三角形,
∴∠FAC=∠EAC=22.5°
∵△ABC为等腰直角三角形,
∵∠CAB=45°
,∠ABC=45°
∴∠FAB=22.5°
+45°
=67.5°
∴∠F=180°
﹣67.5°
∴∠F=∠FAB,
∴AB=BF,
而BF=BC+CF=AC+CE,
∴AB=AC+CE.
5.解:
BD和CE的关系是BD=CE,BD⊥CE,
证明:
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
在△BAD与△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
∵∠ABD+∠CBM+∠ACB=90°
∴∠ACE+∠CBM+∠ACB=90°
∴∠BMC=90°
∴BD⊥CE,
即BD=CE,BD⊥CE.
6.
过D作DN⊥AC,垂足为N,连接DB、DC,
则DN=DF(角平分线性质),DB=DC(线段垂直平分线性质),
又∵DF⊥AB,DN⊥AC,
∴∠DFB=∠DNC=90°
在Rt△DBF和Rt△DCN中
∴Rt△DBF≌Rt△DCN(HL)
∴BF=CN,
在Rt△DFA和Rt△DNA中
∴Rt△DFA≌Rt△DNA(HL)
∴AN=AF,
∴BF=AC+AN=AC+AF,
即BF=AF+AC
7.
(1)解:
AAS.
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥DE,
∴∠ACD+∠CAD=90°
∴∠CAD=∠BCE,又AC=BC,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴AD=CE,BE=CD,
DE=CE﹣CD=AD﹣BE.
(3)解:
DE=CD﹣CE=BE﹣AD.
∴△ACD≌△CBE(AAS),∴AD=CE,BE=CD,
DE=CD﹣CE=BE﹣AD
8.
(1)证明:
∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD,
即∠BAE=∠DAC.
在△ABE和△ADC中
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=DC.
(2)解:
由
(1)知:
△ABE≌△ADC,
∴∠ADC=∠ABE
∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°
∴在△BOD中,∠BOD=180°
﹣∠BDO﹣∠DBA﹣∠ABE
=180°
﹣∠DBA﹣(∠ADC+∠BDO)
﹣60°
=60°
.
(3)证明:
过点A分别作AM⊥BE,AN⊥DC,垂足为点M,N.
∵由
(1)知:
∴S△ABE=S△ADC
∴
∴AM=AN
∴点A在∠DOE的平分线上,
即OA平分∠DOE.
9.证明:
(1)∵AE⊥AF,∠CAB=90°
∴∠EAF=∠CAB=90°
∴∠EAF﹣∠EAC=∠CAB﹣∠EAC即∠BAE=∠CAF,
∵CF⊥BD,
∴∠BFC=90°
=∠CAB,
∴∠BDA+∠ABD=90°
,∠DCF+∠FDC=90°
∵∠ADB=∠FDC,
∴∠ABD=∠DCF,
在△ABE和△ACF中,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
(2)∵由
(1)知△ABE≌△ACF,
∴AE=AF,
∵∠EAF=90°
∴∠AEF=∠AFE=45°
∵AH⊥BF,
∴∠AHF=∠AHE=90°
=∠CFH,
∴∠EAH=180°
﹣∠AHE﹣∠AEF=45°
=∠AEF,
∴AH=EH,
∵D为AC中点,
∴AD=CD,
在△ADH和△CDF中,
∴△ADH≌△CDF(AAS),
∴AH=CF,
∴EH=CF
10.解:
(1)DF∥BC,
理由是:
∵AF平分∠BAC,
∴∠CAF=∠DAF,
在△CAF和△DAF中
∴△CAF≌△DAF(SAS),
∴∠ADF=∠ACF,
∵CE⊥AB,∠ACB=90°
∴∠CEB=∠ACB=90°
∴∠ACF+∠BCF=90°
,∠B+∠BCF=90°
∴∠B=∠ACF=∠ADF,
∴DF∥BC.
(2)FG=EF,
∵DF∥BC,∠ACB=90°
,CE⊥AB,
∴∠AGF=∠ACB=90°
∴FG⊥AC,
∵CE⊥AB,AF平分∠CAB,
∴FG=EF.
11.
(1)证明:
延长EF交AD于G(如图),
在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,
∵EF∥CA,EG∥CA,
∴四边形ACEG是平行四边形,
∴AG=CE,
又∵
,AD=BC,
∵AD∥BC,
∴∠ADC=∠ECF,
在△CEF和△DGF中,
∵∠CFE=∠DFG,∠ADC=∠ECF,CE=DG,
∴△CEF≌△DGF(AAS),
∴CF=DF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,
∴OF∥BC.
如果梯形OBEF是等腰梯形,那么四边形ABCD是矩形.
∵OF∥CE,EF∥CO,
∴四边形OCEF是平行四边形,
∴EF=OC,
又∵梯形OBEF是等腰梯形,
∴BO=EF,
∴OB=OC,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2OC,BD=2BO.
∴AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形.
12.解:
(1)理由:
因为∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°
,∠ACB=90°
所以∠ACD+∠BCE=90°
又AD⊥MN,BE⊥MN,则∠ADC=∠CEB=90°
,∠DAC+∠ACD=90°
故∠DAC=∠ECB
而AC=CB.所以△ADC≌△CEB(AAS).
(2)等量关系:
DE=AD+EB.
理由:
由
(1)知△ADC≌△CEB.则AD=CE,DC=EB.
因为DE=CE+DC,所以DE=AD+EB.
(3)等量关系:
DE=AD﹣EB
13.
(1)证明:
∵∠B=∠C=∠AED,
设∠B=∠C=∠AED=α
∴∠1+∠2=180°
﹣α,∠2+∠3=180°
﹣α,
在△ABE和△ECD中,
∴△ABE≌△ECD(AAS)
∴AE=DE,
即△AED是等腰三角形.
∵∠B=90°
∴在Rt△ABE中,由勾股定理得:
AB2+BE2=AE2
14.证明:
延长ED到H,使DE=DH,连接CH,FH,
∵AD是△ABC的中线,
∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线,
∴∠1=∠4=
∠ADB,∠3=∠5=
∠ADC,
∴∠1+∠3=∠4+∠5=
∠ADB+
∠ADC=
×
180°
=90°
∵∠1=∠2,
∴∠3+∠2=90°
即∠EDF=∠FDH,
在△EFD和△HFD中,
∴△EFD≌△HFD(SAS),
∴EF=FH,
在△BDE和△CDH中,
∴△BDE≌△CDH(SAS),
∴BE=CH,
在△CFH中,由三角形三边关系定理得:
CF+CH>FH,
∵CH=BE,FH=EF,
∴BE+CF>EF
15.证明:
(1)∵∠ACB=90°
,BC=AC,
∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点,
∴CM⊥AB,∠ACM=∠BCM=45°
,CM=BM=AM,
∴∠DBM=∠ECM,
∵在△CEM和△BDM中,
∴△CEM≌△BDM(SAS);
(2)∵△CEM≌△BDM,
∴EM=DM,∠EMC=∠DMB,
∵∠DMC+∠DMB=90°
∴∠DMC+∠EMC=90°
,即∠DME=90°
∴△MDE是等腰直角三角形
16.
(1)证明:
∵△ABC和△APQ都是等边三角形,
∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=60°
∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAQ﹣∠PAC,
∴∠BAP=∠CAQ,
在△ABP和△ACQ中
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴∠ACQ=∠B=∠BAC=60°
∴AB∥CQ;
(2)存在点P使得AQ⊥CQ,当P为BC中点时符合,理由是:
∵由
(1)知,△ABP≌△ACQ,
∴∠ACB=∠AQP=∠ACQ=∠B=∠BAC=60°
,BP=CQ,
∵P为BC中点,
∴PC=BP=CQ,
∴∠CQP=∠QPC=
(180°
﹣∠PCQ)=
)=30°
∵△APQ是等边三角形,
∴∠AQP=60°
∴∠AQC=60°
+30°
∴AQ⊥QC,
即存在点P使得AQ⊥CQ,当P为BC中点时符合.
17.解
(1)∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,
∴CE=CF.
(2)△BCE≌△DCF.
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴△BCE与△DCF都是直角三角形,
在Rt△BEC和Rt△DFC中
∴Rt△BEC≌Rt△DFC(HL);
(3)∵Rt△BEC≌Rt△DFC,
∴BE=DF,
∵CF⊥AF,CE⊥AB,
∴∠F=∠CEA=90°
∵AC平分∠BAF,
∠FAC=∠EAC,
在△FAC和△EAC中
∴△FAC≌△EAC(AAS),
设BE=x,则AE=21﹣x,DF=x,AF=9+x,
∴21﹣x=9+x,
∴x=6,即BE=6,
在Rt△BCE中,∵BC=10,BE=6,
∴由勾股定理得:
CE=8
18.解:
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCE=90°
﹣∠BCE,∠CBE=90°
﹣∠BCE,(三角形内角和定理)
∴∠ACD=∠CBE,
在△ACD与△CBE中
∴△ACD≌△CBE(AAS).
(2)由
(1)知,△ACD≌△CBE,
∴CE=AD=2.5
BE=CD=CE﹣DE=AD﹣DE=2.5﹣1.1=1.4.
答:
BE的长是1.4cm.
19.解:
BD平分EF,理由是:
证法一、连接BE、DF.
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AFB=∠CED=90°
,DE∥BF,
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
即AF=CE,
在Rt△ABF和Rt△CDE中
∴Rt△ABF≌Rt△CDE,
∴DE=BF,
∵DE∥BF,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴BD平分EF;
证法二、∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∵在△BFG和△DEG中
∴△BFG≌△DEG(AAS),
∴EG=FG,
即BD平分EF.
20.
(1)证明:
∵∠BAC=90°
∴∠BAF+∠DAF=90°
∵AE⊥BD,
∴∠AFD=90°
∴∠DAF+∠ADB=90°
∴∠BAF=∠ADB.
过C作CM⊥AC,交AE的延长线于M,
则∠ACM=90°
=∠BAC,
∴CM∥AB,
∴∠MCE=∠ABC=∠ACB,
∵∠BAF=∠ADB,∠ADB+∠FAD=90°
,∠ABD+∠BAF=90°
∴∠ABD=∠CAM,
在△ABD和△CAM中
∴△ABD≌△CAM(ASA),
∴∠ADB=∠M,AD=CM,
∴AD=DC=CM,
在△CDE和△CME中,
∴△CDE≌△CME(SAS),
∴∠M=∠EDC,
∵∠M=∠ADB,
∴∠ADB=∠EDC.
21.解:
由△ABC是等边三角形得,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°
又∵DE⊥BC于E,EF⊥AC于F,FD⊥AB于D,
∴△DEF为等边三角形,
∴△ADF≌△DEB≌△EFC,
∴AD=BE=CF,
∵FD⊥AB,∠AFD=30°
=
解得:
AD=2.
AD的长为2.
22.证明:
延长CM、DB交于G,
∵△ABD和△ACE都是Rt△,
∴CE∥BD,即CE∥DG,
∴∠CEM=∠GDM,∠MCE=∠MGD
又∵M是DE中点,即DM=EM,
∴△ECM≌△DMG,
∴CM=MG,
∵G在DB的延长线上,
∴△CBG是Rt△CBG,
∴在Rt△CBG中,
23.证明:
(1)∵AD∥BE,
∴∠A=∠B,
在△ACD和△BEC中
∴△ACD≌△BEC(SAS),
(2)∵△ACD≌△BEC,