圆锥曲线的共轭直径.docx

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圆锥曲线的共轭直径

山东高考解析几何题的推广及背景溯源

2011年高考山东理科第22题，是一道以椭圆为背景考查定值问题、最值问题和存在性问题的解析几何压轴题，重点考查推理运算能力和数学综合素质。

本文笔者尝试对该题的结论作一般化推广，并对其背景作深度挖掘和溯源解析，与读者交流。

题目已知直线与椭圆交于两不同点，且面积，其中为坐标原点。

（Ⅰ）证明和均为定值；（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；（Ⅲ）椭圆上是否存在三点，使得若存在判断的形状；若不存在，请说明理由。

 一、推广与简解

可求得，的最大值为，笔者对此结论作一般化推广可得椭圆有如下性质:

性质 已知直线与中心为的椭圆相交于，两点，

则

（1）的面积最大值为，且当时，有；

（2）若线段的中点为，则的最大值为。

简解

（1）设是直线上任意一点，则，又，因三点共线，所以，所以，此即为直线的方程。

故点到直线的距离为。

所以。

点评 常规解法是先对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线方程为斜截式，与椭圆方程联立组成方程组，然后利用根与系关系、弦长公式和点到直线距离公式进行求解，由于涉及字母多运算量较大解答繁琐。

本解法运用三点共线充要条件的向量表示得到直线的一般方程，首先，避免了对斜率存在性的讨论，充分显示了向量在解决直线问题中的特有魅力；其次，求直线的方程与求直线的方程相比，求解过程简单得出的方程也简单；其三，受思维定势影响，习惯以为底边以点到直线的距离为底边上的高来计算的面积。

本解法以追求简单为目标，灵活选择以为底边以点到直线的距离为底边上的高来计算的面积，显然运算量小达到了以简驭繁的效果。

法1（用不等式性质）因，两式相加并利用重要不等式和绝对值三角不等式得，，

故。

当且仅当满足①，且②，且异号③时等号成立。

所以，故的面积最大其值为。

由①②得，，即。

法2（用椭圆参数方程）设，，则。

等号当且仅当时成立。

不妨设，因为，所以或，所以，故。

（2）法1由中点坐标公式得，所以有

。

同样可得，。

故，当且仅当时等号成立。

所以的最大值为。

法2 因为

，

所以，所以，当且仅当时等号成立。

所以的最大值为。

由性质知，题设中面积为的恰好是两点在椭圆上另一点为中心的面积最大的三角形，可见这一条件是命题人精心设计的真可谓匠心独运。

二、背景溯源

下面笔者对上述性质中的

（1）再给出一个较为直观的解法。

当时，则点为椭圆短轴的一个端点，显然当点为长轴的一个端点时，的面积最大其值为。

当时，直线的方程为即。

由图形直观知，要的面积最大，则椭圆在点处的切线必平行于直线，设切线方程为，因为，所以，将其代入椭圆方程得整理得，。

由化简得，，所以，故点到直线距离的最大值为，故的面积最大值为。

实际上，当的面积取得最大值时，若直线的斜率存在，由性质1第一问的椭圆参数方程解法知，，即是椭圆的两条共轭半径。

对于椭圆的共轭问题有如下性质（本文仅对性质7进行证明）。

性质1 经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径，若是椭圆的一条直径，在椭圆上作与平行的弦，

则弦中点的轨迹是椭圆的一条直径，我们称直径是的共轭直径，与平行的任一弦叫做的共轭弦。

与两共轭直径分别平行的弦或半径也共轭。

显然，椭圆的长轴和短轴是一对共轭直径，任意一对长半轴和短半轴是一对共轭半径。

性质2 椭圆的长轴和短轴是椭圆的唯一的一对互相垂直的共轭直径。

若、是椭圆的一对非互相垂直的共轭直径，则。

性质3 若是椭圆的非直径的弦，点是上一点，直线的斜率都存在，

且满足，则点是弦的中点，即共轭。

性质4 若是椭圆的非直径的弦，过弦中点的直线和的斜率都存在，

且满足，则直线过椭圆的中心。

性质5 已知是中心为的椭圆的任一弦，则当且仅当半径共轭时，

的面积最大其值为。

性质6 已知是椭圆的任一直径，点是异于的任意一点，

则当且仅当心半径与直径共轭时，的面积最大其值为。

性质7 以椭圆的任意一对共轭直径为对角线的四边形的面积为定值，

且该值即为该椭圆内接四边形面积的最大值。

证明

（1）设是椭圆的一对共轭直径，由上述定理易知。

（2）设是椭圆的任一内接四边形，连，作直径（若为直径，则与重合），

　　再作的共轭直径，由

（1）知。

由推论5知两点到的距离之和小于或等于直径的两个端点到共轭直径的距离之和，又显然有。

所以有。

当且仅当且即当四边形的对角线是一对共轭直径时面积最大，其值为。

圆是我们最熟悉的图形，对于圆有如下概念和性质：

（1）经过圆心的弦叫做圆的直径，若是圆的一条直径，在圆上作与平行的弦，

则弦中点的轨迹是圆的一条直径，并且这两条直径互相垂直。

（2）平分弦（非直径）的直径必垂直于弦。

（3）直径的垂直平分线必过圆心。

（4）垂直弦的直径必平分这条弦。

（5）已知是圆心为半径为的圆的任一弦，则当且仅当半径互相垂直时，的面积最大其值为。

（6）已知是圆心为半径为的圆的任一直径，点是异于的任意一点，

则当且仅当心半径与直径垂直时，的面积最大其值为。

（7）以半径为的圆内接四边形中，对角线为直径且互相垂直的四边形面积最在其值为。

由此可见，椭圆有关共轭的诸性质是我们耳熟能详的圆的相应性质的类比和推广。

　　参考文献

①邹生书.有心圆锥曲线与直径相关的切线性质[J].河北理科教学研究，2010（5）

②邹生书.由圆类比出有心曲线的几个性质.人教网高中数学，2011年5月4日发表.