中考数学压轴题精选精析含答案Word下载.docx

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∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.

②当P在OC上运动时，0≤t＜4.此时直线l交AB于Q。

∴AP=（4-t）2+32，AQ=2t，PQ=7－t

当AP=AQ时，（4－t）2+32=2（4－t）2,整理得，t2－8t+7=0.∴t=1,t=7（舍）

当AP=PQ时，（4－t）2+32=（7－t）2,整理得，6t=24.∴t=4（舍去）

当AQ=PQ时，2（4－t）2=（7－t）2整理得，t2－2t－17=0∴t=1±

32（舍）

当P在CA上运动时，4≤t＜7.此时直线l交AO于Q。

过A作AD⊥OB于

D,则AD=BD=4.

设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t－4，AP=7－t.

1/21

Q

（3+7）×

4－×

3×

（4－t）－

t（7－t）－

整理,得t－8t+12=0,

由S△APR=×

（7－t）×

4=8，得t=3（舍）

由cos∠OAC=

AE

AQ

AC

AO

5

41

.

8

当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F

PE

F

115

223

RD

在Rt△APF中，由cos∠PAF＝

AF

AP

＝

，得AF＝

即

153

235

226

43

∴综上所述，t=1或

时，△APQ是等腰三角形.

【考点】一次函数，二元一次方程组，勾股定理，三角函数，一元二次方程，等腰三角形。

【分析】

（1）联立方程y=－

x+7和y=

x即可求出点A的坐标，今y=－x+7=0即可得点B的坐标。

（2）①只要把三角形的面积用t表示，求出即可。

应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况了。

②只要把有关线段用t表示，找出AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ的条件时t的值即可。

应注意分别讨论

P在OC上运动（此时直线l与AB相交）和P在CA上运动（此时直线l与AO相交）时AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ

的条件。

12、（2011·

福州）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A

点右侧），点H、B关于直线l：

对称．

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、

MK，求HN+NM+MK和的最小值．

2/21

，得AQ=（t－4）．

当AP=AQ时，7－t=（t－4），解得t=

当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE=AP

得t－4=（7－t），解得t=5.

×

（t－4）=×

（7－t），解得t=

或5或

考点：

二次函数综合题；

解二元一次方程组；

待定系数法求二次函数解析式；

抛物线与x轴的交点；

图象法求一

元二次方程的近似根；

勾股定理。

专题：

计算题；

代数几何综合题。

分析：

（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；

把A的坐标代入直线l即可判断A

是否在直线上；

（2）根据点H、B关于过A点的直线l：

对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC

和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；

（3）解方程组，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K

作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK

的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

解答：

解：

（1）依题意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），

解得x1=﹣3，x2=1，

∵B点在A点右侧，

∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），

答：

A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）．

证明：

∵直线l：

，

当x=﹣3时，，

∴点A在直线l上．

3/21

（2）解：

∵点H、B关于过A点的直线l：

对称，

∴AH=AB=4，

过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，

则，，

∴顶点，

代入二次函数解析式，解得，

∴二次函数解析式为，

二次函数解析式为．

（3）解：

直线AH的解析式为，

直线BK的解析式为，

由，

解得，

即，

则BK=4，

∵点H、B关于直线AK对称，

∴HN+MN的最小值是MB，，

4/21

过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，

则QM=MK，，AE⊥QK，

∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，

∴∠BKQ=∠HEQ=90°

由勾股定理得QB=8，

∴HN+NM+MK的最小值为8，

答HN+NM+MK和的最小值是8．

点评：

本题主要考查对勾股定理，解二元一次方程组，二次函数与一元二次方程，二次函数与X轴的交点，用待

定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个

综合性比较强的题目，有一定的难度．

13、（2011·

呼和浩特）已知抛物线y1=x2+4x+1的图象向上平移m个单位（m＞0）得到的新抛物线过点（1，8）．

（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成y2=a（x﹣h）2+k的形式；

（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新

的图象．请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数

在﹣3＜x≤时对应的函数值y的取值范围；

（3）设一次函数y3=nx+3（n≠0），问是否存在正整数n使得

（2）中函数的函数值y=y3时，对应的x的值为﹣1

＜x＜0，若存在，求出n的值；

若不存在，说明理由．

二次函数综合题。

（1）根据抛物线y1=x2+4x+1的图象向上平移m个单位，可得y2=x2+4x+1+m，再利用又点（1，8）在图象

上，求出m即可；

（2）根据函数解析式画出图象，即可得出函数大小分界点；

5/21

（3）根据当y=y3且对应的﹣1＜x＜0时，x2+4x+3=nx+3，得出n取值范围即可得出答案．

（1）由题意可得y2=x2+4x+1+m，

又点（1，8）在图象上，

∴8=1+4×

1+1+m，

∴m=2，

∴y2=（x+2）2﹣1；

（2）

当时，0＜y≤﹣1；

（3）不存在，

理由：

当y=y3且对应的﹣1＜x＜0时，x2+4x+3=nx+3，

∴x1=0，x2=n﹣4，

且﹣1＜n﹣4＜0得3＜n＜4，

∴不存在正整数n满足条件．

此题主要考查了二次函数的综合应用以及图象交点求法，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别

注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．

14、（2011·

成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴

上．已知|OA|：

|OB|=1：

5，|OB|=|OC|，△ABC的面积SABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG

6/21

垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH

为正方形时，求出该正方形的边长；

（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？

若存在，求出点M的坐标；

若不存

在，请说明理由．

综合题。

（1）由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由△ABC=AB×

OC=15，可求m的值，确定A、B、C三点

坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；

（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，根据2（m﹣2）=EH，列方程求解；

（3）存在．因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，则直线y=x+9或直线y=x

﹣19与BC的距离为7，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．

（1）∵|OA|：

5，|OB|=|OC|，

设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，

由ABC=AB×

OC=15，得×

6m×

5m=15，解得m=1（舍去负值），

∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1，

∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），

即y=x2﹣4x﹣5；

（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，

由2（m﹣2）=EH，得2（m﹣2）=﹣（m2﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m2﹣4m﹣5，

解得m=1±

或m=3±

7/21

∵m＞2，∴m=1+或m=3+，

边长EF=2（m﹣2）=2﹣2或2+2；

（3）存在．

由

（1）可知OB=OC=5，

∴△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，

依题意，直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7，

联立，，

解得或，

∴M点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．

本题考查了二次函数的综合运用．关键是采用形数结合的方法，准确地用点的坐标表示线段的长，根据图

形的特点，列方程求解，注意分类讨论．

15、（2011·

南充）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣x+p相交于点A

和点C（2m﹣4，m﹣6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q的

坐标；

（3）在

（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积

及点M的坐标．

8/21

二次函数的最值；

平行四边形的性

质。

（1）把点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）代入直线y=﹣x+p上得到方程组，求出方程组的解，得出

A、B、C的坐标，设抛物线y=ax2+bx+c=a（x﹣3）（x+1），把C（2，﹣3）代入求出a即可；

（2）AC所在直线的解析式为：

y=﹣x﹣1，根据平行四边形ACQP的面积为12，求出AC边上的高为2，过点D

作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，求出DK、DN，得到PQ的解析式为

y=﹣x+3或y=﹣x﹣5，求出方程组的解即可得到P1（3，0），P2（﹣2，5），根据ACPQ是平行四边形，求出Q

的坐标；

（3）设M（t，t2﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T，则T（t，﹣t+3），

求出MT=﹣t2+t+6，过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，求出

MS=﹣（t﹣）2+，即可得到答案．

（1）∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y=﹣x+p上

∴

，解得：

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），

设抛物线y=ax2+bx+c=a（x﹣3）（x+1），

∵C（2，﹣3），代入得：

﹣3=a（2﹣3）（2+1），

∴a=1

∴抛物线解析式为：

y=x2﹣2x﹣3，

抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3．

AC=3，

AC所在直线的解析式为：

y=﹣x﹣1，

9/21

∠BAC=45°

∵平行四边形ACQP的面积为12，

∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2，

过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=2，

∴DN=4，

∵ACPQ，PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条，

∴PQ的解析式或为y=﹣x+3或y=﹣x﹣5，

∴，

解得：

或，

，方程无解，

即P1（3，0），P2（﹣2，5），

∵ACPQ是平行四边形，A（﹣1，0），C（2，﹣3），

∴当P（3，0）时，Q（6，﹣3），

当P（﹣2，5）时，Q（1，2），

∴满足条件的P，Q点是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）

点P，Q的坐标是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）．

设M（t，t2﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），

过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T，则T（t，﹣t+3），

MT=（﹣t+3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+6，

过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，

MS=MT=（﹣t2+t+6）=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，M（，﹣），△PQM中PQ边上高的最大值为，

10/21

△PQM的最大面积是，，点M的坐标是（，﹣）．

本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，解二元一次方

程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有

一定的难度．

16、（2011·

达州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线

的顶点为P，连接AC．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；

（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；

若不存在，请说明理由．

（1）利用交点式将抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，代入y=a（x﹣x1）（x﹣x2），求出二

次函数解析式即可；

（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的长度，得出Q点的坐标，再求出直线DC的解析式，将两函数联立求出

交点坐标即可；

（3）首先求出二次函数顶点坐标，S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC，以及S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP=得出使得S△MAP=2S△ACP

点M的坐标．

（1）设此抛物线的解析式为：

y=a（x﹣x1）（x﹣x2），

∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，

∴y=a（x﹣1）（x+3），

又∵抛物线与y轴交于点C（0，3），

11/21

∴a（0﹣1）（0+3）=3，

∴a=﹣3

∴y=﹣（x﹣1）（x+3），

即y=﹣x2﹣2x+3，

用其他解法参照给分；

（2）∵点A（1，0），点C（0，3），

∴OA=1，OC=3，

∵DC⊥AC，OC⊥x轴，

∴△QOC∽△COA，

∴，即，

∴OQ=9，，

又∵点Q在x轴的负半轴上，

∴Q（﹣9，0），

设直线DC的解析式为：

y=mx+n，则，

解之得：

∴直线DC的解析式为：

∵点D是抛物线与直线DC的交点，

（不合题意，应舍去），

∴点D（，

（3）如图，点M为直线x=﹣1上一点，连接AM，PC，PA，

设点M（﹣1，y），直线x=﹣1与x轴交于点E，

∴AE=2，

∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的顶点为P，对称轴为x=﹣1，

∴P（﹣1，4），

∴PE=4，

则PM=|4﹣y|，

12/21

∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC，

=，

=5，

又∵S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP，

SAEP=，

∴+S△ACP=5﹣4=1，

∵S△MAP=2S△ACP，

∴|4﹣y|=2，

∴y1=2，y2=6，

故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP，

点M（﹣1，2）或（﹣1，6）．

此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合

是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．

17、（2011·

重庆）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．

一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；

另

一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运

动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时

间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系

式和相应的自变量t的取值范围；

13/21

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的，使tAOH是等腰三角形？

若存大，求出

对应的t的值；

相似三角形的判定与性质；

根据实际问题列二次函数关系式；

等腰三角形的性质；

等边三角形的性质；

矩

形的性质；

解直角三角形。

代数几何综合题；

动点型；

分类讨论。

（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°

，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；

（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况，分

别写出函数关系式；

（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特

殊三角形的性质，列方程求t的值．

1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°

，BF=3﹣t，在RtCBF中，BC=2，tan∠CFB=，即tan60=，

解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；

（2）当0≤t＜1时，S=2t+4；

当1≤t＜3时，S=﹣t2+3t+；

当3≤t＜4时，S=﹣4t+20；

当4≤t＜6时，S=t2﹣12t+36；

理由如下：

在RtABC中，tan∠CAB==，

∴∠CAB=30°

，又∵∠HEO=60°

，∴∠HAE=∠AHE=30°

∴AE=HE=3﹣t或t﹣3，

14/21

（

1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM=AH=，

在Rt△AME中，cos∠MAE═，即cos30°

∴AE=，即3﹣t=或t﹣3=，

∴t=3﹣或t=3+，

2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°

又∵∠HEO=60°

，∴∠EHO=90°

，EO=2HE=2AE，

又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=