《选修45不等式选讲》知识点详解+例题+习题含详细答案说课材料.docx

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《选修45不等式选讲》知识点详解+例题+习题含详细答案说课材料

选修4－5　不等式选讲

最新考纲：

1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

（1）|a＋b|≤|a|＋|b|（a，b∈R）．

（2）|a－b|≤|a－c|＋|c－b|（a，b∈R）.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：

比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．

1．含有绝对值的不等式的解法

（1）|f（x）|>a（a>0）⇔f（x）>a或f（x）<－a；

（2）|f（x）|0）⇔－a

（3）对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．

2．含有绝对值的不等式的性质

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

问题探究：

不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么？

提示：

不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.

3．基本不等式

定理1：

设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：

如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理3：

如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

定理4：

（一般形式的算术—几何平均值不等式）如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

4．柯西不等式

（1）柯西不等式的代数形式：

设a，b，c，d为实数，则（a2＋b2）·（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立．

（2）若ai，bi（i∈N*）为实数，则（）（）≥（ibi）2，当且仅当bi＝0（i＝1,2，…，n）或存在一个数k，使得ai＝kbi（i＝1,2，…，n）时，等号成立．

（3）柯西不等式的向量形式：

设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．

1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．（　　）

（2）对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．（　　）

（3）|ax＋b|≤c（c>0）的解等价于－c≤ax＋b≤c.（　　）

（4）不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为Ø.（　　）

（5）若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）√　（5）√

2．不等式|2x－1|－x<1的解集是（　　）

A．{x|0

C．{x|0

[解析]　解法一：

x＝1时，满足不等关系，排除C、D、B，故选A.

解法二：

令f（x）＝则f（x）<1的解集为{x|0

[答案]　A

3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是

（　　）

A．|a＋b|＋|a－b|>2B．|a＋b|＋|a－b|<2

C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不能比较大小

[解析]　|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.

[答案]　B

4．若a，b，c∈（0，＋∞），且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为（　　）

A．1B．

C.D．2

[解析]　（＋＋）2＝（1×＋1×＋1×）2≤（12＋12＋12）（a＋b＋c）＝3.

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

∴（＋＋）2≤3.

故＋＋的最大值为.故应选C.

[答案]　C

5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．

[解析]　利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为－2≤a≤4.

[答案]　－2≤a≤4

考点一　含绝对值的不等式的解法

解|x－a|＋|x－b|≥c（或≤c）型不等式，其一般步骤是：

（1）令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．

（2）把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．

（3）在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．

（4）这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．

解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．

（1）（2015·山东卷）不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是（　　）

A．（－∞，4）B．（－∞，1）

C．（1,4）D．（1,5）

（2）（2014·湖南卷）若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.

[解题指导]　切入点：

“脱掉”绝对值符号；关键点：

利用绝对值的性质进行分类讨论．

[解析]　

（1）当x<1时，不等式可化为－（x－1）＋（x－5）<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为（－∞，1）；

当1≤x≤5时，不等式可化为x－1＋（x－5）<2，即2x－6<2，解得x<4，又1≤x≤5，所以此时不等式的解集为[1,4）；

当x>5时，不等式可化为（x－1）－（x－5）<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．

综上，不等式的解集为（－∞，4）．故选A.

（2）∵|ax－2|<3，∴－1

当a>0时，－

当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；

当a<0时，

[答案]　

（1）A　

（2）－3

用零点分段法解绝对值不等式的步骤：

（1）求零点；

（2）划区间、去绝对值号；（3）分别解去掉绝对值的不等式；（4）取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

对点训练

已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|.

（1）当a＝－3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若f（x）≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．

[解]　

（1）当a＝－3时，f（x）＝

当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2

当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4；

所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．

（2）f（x）≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|

⇔4－x－（2－x）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．

考点二　利用绝对值的几何意义或图象解不等式

对于形如|x－a|＋|x－b|>c或|x－a|＋|x－b|

|x－a|＋|x－b|的几何意义是数轴上表示x的点与点a和点b的距离之和，应注意x的系数为1.

（1）（2014·重庆卷）若不等式|x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

（2）不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围是__________．

[解题指导]　切入点：

绝对值的几何意义；关键点：

把恒成立问题转化为最值问题．

[解析]　

（1）∵|x－1|＋|x＋2|≥|（x－1）－（x－2）|＝3，

∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.

即实数a的取值范围是.

（2）解法一：

根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PA－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．

解法二：

令y＝|x＋1|－|x－2|，

则y＝

要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．

[答案]　

（1）　

（2）（－∞，－3）

解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f（x）f（x）max，f（x）>a恒成立⇔a

对点训练

（2015·唐山一模）已知函数f（x）＝|2x－a|＋a，a∈R，g（x）＝|2x－1|.

（1）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；

（2）若当x∈R时，恒有f（x）＋g（x）≥3，求a的取值范围．

[解]　

（1）g（x）≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f（x）≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.

依题意有，a－3≤－2，a≤1.

故a的最大值为1.

（2）f（x）＋g（x）＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，

当且仅当（2x－a）（2x－1）≤0时等号成立．

解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞）．

考点三　不等式的证明与应用

不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．

应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．

（2015·新课标全国卷Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：

（1）若ab>cd，则＋>＋；

（2）＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．

[解题指导]　切入点：

不等式的性质；关键点：

不等式的恒等变形．

[证明]　

（1）因为（＋）2＝a＋b＋2，（＋）2＝c＋d＋2，

由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得（＋）2>（＋）2.

因此＋>＋.

（2）①若|a－b|<|c－d|，则（a－b）2<（c－d）2，即（a＋b）2－4ab<（c＋d）2－4cd.

因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.

由

（1）得＋>＋.

②若＋>＋，则（＋）2>（＋）2，即

a＋b＋2>c＋d＋2.

因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是（a－b）2＝（a＋b）2－4ab<（c＋d）2－4cd＝（c－d）2.

因此|a－b|<|c－d|.

综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．

分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．

对点训练

（2014·新课标全国卷Ⅱ）设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：

（1）ab＋bc＋ac≤；

（2）＋＋≥1.

[证明]　

（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤.

（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），

即＋＋≥a＋b＋c.

所以＋＋≥1.

———————方法规律总结————————

[方法技巧]

1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．

2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时