小学数学竞赛三十四 奇妙的圆Word格式文档下载.docx
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解问题34.1的关键是考虑行走的方向性.
问题34.2“上帝”要求阿凡提分别给地球和篮球的腰上打一道箍,使这两个箍正好紧紧套住这两个“球”(图34—4).但阿凡提不小心把两个箍都打长了1米(即把两个圆的周长都增加了1米).试问:
当把这两道打长了的箍再套到这两个球上去的时候,它们和“球”的间隙哪一个大?
即:
是地球上的间隙大,还是篮球上的间隙大?
分析1篮球上的间隙大,这是显而易见的.因为地球那么大,赤道的周长那么长,增加1米相对于这个长度来说像没有增加一样,对于半径来说几乎没有影响.可是一个小小的篮球,周长还不到1米,再加1米做成箍,肯定要比篮球的“腰围”大得多,篮球在里面肯定是晃晃荡荡的.
同学们:
你认为上面的分析对吗?
下面我们给出一个使你大吃一惊的答案.
分析2两球的间隙一样大.事实上,我们可以通过计算来精确地解决这个问题:
假定地球和篮球上的“腰周长”分别是L和l,那么它们的直径就分别
箍的直径和“球”的直径之差就是所谓的间隙.我们算算看:
你看,这不是完全一样吗?
此题给了你什么启示?
自然界有许多真理都被假象掩盖着,使我们人类经常地受骗、上当.比如本问题“分析1”就是凭感觉、凭印象定性地作结论,结果就受了骗.“分析2”则运用了计算的科学方法,这样得到的结论才万无一失.这再一次告诉我们,我们看问题切勿看表象,在没有弄清问题的实质之前切勿轻易地作结论,否则就会掉进“陷阱”之中.
问题34.3一个大圆内有三个大小不等的小圆(如图34—5).这些小圆的圆心在大圆的同一条直径上,连同大圆在内每相邻的两个圆都相切.
l图34-5
已知大圆的周长是10厘米,求这三个小圆的周长之和.
分析按照常规思路(即易想到的思路)我们会这样想:
既然要求三个小圆的周长之和,只要求出每个小圆的周长即可.要求每个小圆的周长,必先求出每个小圆的直径.要求直径,必在题目的条件中去找.但是题目只说“大小不等的三个小圆”,它们究竟有多大是无法知道的.因此,照这样想下去什么结果也得不到,只会徒劳.但是否本问题无解呢?
千万别灰心,让我们另起一个思路来分析一下:
题目要求的是三个小圆的周长之和,并不是求各个小圆的周长,这一点值得注意.说不定它就是解决本问题的突破口.
再看看已知条件,立即就会发现:
虽然三个小圆的直径不得而知,但是它们的和作为一个整体正好等于大圆的直径.
通过这样一分析,我们不但找到了条件与结论的联系,而且自然地产生了解题思路——从整体考虑.
设三个小圆和大圆的直径分别是a、b、c、d,又已知条件隐含着a+b+c=d,πd=10.
故三个小圆的周长之和为:
πa+πb+πc=π(a+b+c)=πd=10.
即三个小圆的周长之和就等于大圆的周长.
其实,我们还可思考一下,本题的结论是否还可以扩展?
通过考察不难发现:
小圆的个数“三”这一条件并不重要.关键的条件是:
小圆的直径之和等于大圆的直径.到此不难猜想到:
无论有多少个小圆,也无论它们怎么排列,只要这些小圆的直径之和等于大圆的直径,就必然有小圆的周长之和等于大圆的周长.
问题34.4
(1)若在问题34.3中小圆的个数不是三个,而是n个[图34—6
(1)],其它条件不变,那么这些小圆的周长之和是多少?
(2)若小圆的个数是无穷多个呢?
[图34—6
(2)]
图34-6
解
(1)设小圆的直径分别为d1,d2,…,dn.则有:
d1+d2+…+dn=d,故小圆的周长之和为:
πd1+πd2+…+πdn=π(d1+d2+…+dn)=πd=10.
(2)这是英国著名的科学家牛顿出的一道题,我们现在所学的知识还不能解决它.因为我们还不会求无穷多个数(小圆直径)的和.请同学们先记住它.等到你们将来长大了,学了足够的知识再去解决它.但是你们能猜出本题的答案吗?
问题34.5在图34—7中左右两个正方形一样大小,且图34—7
(2)中四个小圆一样大.试问是图
(1)中的大圆面积大,还是图
(2)中四个小圆的面积之和大?
图34-7
解法1设小圆半径为r,则大圆的半径为2r.大圆的面积为π(2r)2=4πr2,而4个小圆的面积之和为4×
πr2,故大圆的面积等于四个小圆的面积之和.
解法2因为图
(2)中两个圆一排,所以图
(1)中圆的半径是图
(2)中圆的2倍,因此大圆的面积是小圆的4倍(为什么?
).但大圆的个数恰
问题34.6如果把图34-7
(2)中的4个圆拿出来,再把每排放n个圆,并放n排,问这n2个圆的面积之和与图
(1)中大圆面积的关系如何?
问题34.7如图34-8所示,两个大小相等的正方形内分别紧挨着排放9个等圆和16个等圆.试比较两个正方形内空隙的大小.
图34-8
分析按常规思路,要分别直接求出正方形
(1)和正方形
(2)中空隙的面积,再比较大小.但是这样做不仅麻烦而且根本就不可能,因为那些空隙呈我们根本就不会求这两种形状图形的面积.
我们换一个方向来思考这个问题:
由于空隙面积难以直接求得,可转过去求圆的面积之和.因为两正方形是一样大小,它们的面积也是一定的,若求出了圆的面积之和,用正方形的面积减去圆的面积之和就得到空隙的面积了.
解由问题34.6的结论知道,把正方形内挨紧排放n2个等圆时,它们的面积之和与其内放一个大圆的面积S相等.本题图
(1),
(2)正是n=3和n=4的特例,故它们的面积和也都是S,从而它们的空隙面积也相等.
解决本问题的思想比较特殊.我们不是去求所需比较的图形的面积,而是去求与它们互相补充的那一部分的面积.应用这一思想方法的条件是正方形面积是一个定值.
问题34.8在一个边长为10厘米的正方形中,最多可排多少个不相交的直径为1厘米的圆?
在讲下一个问题之前,请同学们先作一个实验.用几根等长的绳索把两端连接起来,放到方格网纸片上去作成圆、长方形、正方形和任意一个闭曲线的形状,如图34-9,然后再用数小方格的方法去分别大致地计算一下它们的面积,看哪个大.
通过计算我们就会发现下述结论:
结论1在平面封闭图形中,周长为一定值时,圆的面积最大.
图34-9
结论2在平面封闭图形中,面积为一定值时,圆的周长最小.
显然有了结论1成立必然有结论2成立.但上面结论1是由实验观察得出的,还必须进行严格的科学证明,这个工作要等到同学们上了中学后才能完成.现在请大家记住这两个结论,并学会应用它们解题.
问题34.9图34-10是一幅军事地图.ABCD是一个正方形,A丙C为一段圆弧线.现有一支部队要从司令部A出发到达前沿阵地C执行作战任务.图中有四条路线,如果由你当司令员,你会指挥部队走哪一条道路?
图34-10
分析显然路线A甲C与AJC是等长的.对于路线A乙C,我们无法知道每一小线段的长度,因此全长也难以知道,但是只要我们有整体观念事情就好办了.事实上,路线A乙C中每一条水平线段的长虽不知道,但总长与AD相等;
同理竖直线段的总长与DC相等,故上述三条路线的长都一样.现在问题转向把路线A丙C的长与前三条相比.
线路A丙C是一段圆弧,假如它是一个整圆就好分析了.这一假设使我们获得了启示:
能否把这段圆弧扩展成整个圆呢?
如图34-11先把正方形ABCD以AB为轴作一个对称图,再把整个图沿CC′为轴作一个对称图,即得到一个整圆.
图34-11
显然由折线组成的闭曲线与大正方形DEFG的周长完全相同.只要能证明圆的周长小于正方形DEFG的周长,就证明了线路A丙C比A丁C短.事实上它们都是原来周长的1/4.
为了证明正方形DEFG的周长大于圆的周长,设想我们先作一个与圆面积相等的正方形MNOP,则正方形DEFG的面积大于正方形MNOP的面积,故正方形DEFG的周长必大于正方形MNOP的周长.但又由于正方形MNOP的面积与圆的面积相等,由结论2知正方形MNOP的周长又大于圆的周长,则正方形DEFG的周长就更大于圆的周长,于是问题得证.
关于圆还有许多奇妙的特性,比如:
圆关于它的任意一条直径是对称的,这一性质就特别有用.但是,由于篇幅所限我们就不能在这里介绍了.
最后值得一提的是圆周率π(它是圆的周长与直径之比,是一个常数,也就是说无论大圆或小圆这一比值都是一样的),这个值究竟是多大呢?
为了求它,古往今来不知有多少数学家绞尽脑汁,但唯有我国数学家对它的贡献最大.魏晋时,我国数学家刘徽就用割圆术求得了π=3.1416.最辉煌的成就,要数南北朝时的科学家祖冲之,他精确地推算出π值在3.1415926和3.1415927之间,这一成果比法国的奥托和荷兰的安托尼兹早了1000多年,这真是祖国的光荣!
现在人们已经知道π是一个无限小数.
练习34
1.有两个圆C1、C2,它们的直径分别为1米和3753米.现在分别把两直径都加长4米,问:
(1)哪一个圆的周长增加的多些?
(2)哪一个圆的面积增加的多些?
2.有一个圆的直径是10米,在它的一条直径上排满了10个大小不等、相邻两圆都相切的圆.我们不知道这10个圆的直径分别是多少,你能求出它们的周长之和吗?
3.用怎样的最短线可以把一个正三角形分成等面积的两个部分?
4.把一个生日蛋糕切n刀(不许折叠),最多可以切多少块?
5.
(1)在平面上画两两相交的三个圆,把平面分成了8块区域.试将1、2、3、4、5、6、7分别填入圆中的7块区域,使得每个圆内所填的数字之和相等.
图34-12
(2)平面上放20个呼啦圈,它们最多可以把平面分成多少部分?
6.古代几何学家梁拉多达维奇采用下面的方法,仅用圆规和直尺就巧妙地化圆为长方形.如图34-13,他先作一个直圆柱,它的底半径等于圆的半径,高等于圆半径的一半.再把它沿AB剪开展在平面上,即得一与圆面积相等的长方形.
同学们你能用圆规和直尺作出与圆等面积的正方形吗?
图34-13
练习34答案
问题34.6仍相等.
问题34.8最多可排107个
圆(见图).
(问题34-8图)
1.
(1)一样多.
(2)C2增加的多些.
2.它们的周长之和为10π米.
3.仿“问题34.9”去做.如图可知所求最短线段是以下顶点为圆心的一段圆弧.
“退”的思想方法)
5.
(1)填法见图.
(2)分成2+20×
(20-1)=382个区域.
本题可用“退”的思想,也可用“以进求退”的思想:
一般地:
n个圆把平面最多分成2+n(n-1)个区域.
(第5题图)
6.不可能.这是世界著名的平面几何作图“三大不能”问题之一(即圆不能化方).