椭圆及其标准方程数控编程模板Word下载.docx
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分三种情况说明动点的轨迹.)
三、活动设计
提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口
答.
四、教学过程
(一)椭圆概念的引入
前面,大家学习了曲线的方程等概念,哪一位同学回答:
问题1:
什么叫做曲线的方程?
求曲线方程的一般步骤是什么?
其中哪几个步骤必不可少?
对上述问题学生的回答基本正确,否则,教师给予纠正.这样便于学生温故而知新,在已有知识基础上去探求新知识.
问题2:
当a>
Jf(x)=盘与扎垃)=/是同解方程吗?
当自>
0时£
00=O(Jf仗)-十㉚=0O=乩
提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形.
问题3:
圆的几何特征是什么?
你能否可类似地提出一些轨迹命
题作广泛的探索?
一般学生能回答:
平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是
圆”对同学提出的轨迹命题如:
”到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”
”到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.”
”到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.
教师要加以肯定,以鼓励同学们的探索精神.
比如说,若同学们提出了”到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”,那么动点轨迹是什么呢?
这时教师示范引导学生绘图:
取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13),当绳长大于F1和F2的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就能够画出一个椭圆.
教师进一步追问:
椭圆,在哪些地方见过?
有的同学说:
立体几何中圆的直观图.”有的同学说:
人造卫星运行轨道”等……
在此基础上,引导学生概括椭圆的定义
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫
做焦距.
学生开始只强调主要几何特征一一到两定点F1、F2的距离之
和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调:
(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是
椭球形,使学生认识到需加限制条件:
在平面内”.
(2)这里的常数有什么限制吗?
教师边演示边提示学生注意:
若常数=|F1F2|,则是线段F仆2;
若常数V|F仆2|,则轨迹不存在;
若要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件:
”此常数大于|F1F2|”.
(2)椭圆标准方程的推导
1.标准方程的推导
由椭圆的定义,能够知道它的基本几何特征,但对椭圆还具有哪些性质,我们还一无所知,因此需要用坐标法先建立椭圆的方程.
如何建立椭圆的方程?
根据求曲线方程的一般步骤,可分:
(1)建系设点;
(2)点的集合;
(3)代数方程;
(4)化简方程等步骤.
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表示式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.
以两定点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(如图2-14).设|F仆2|=2c(c>
0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有F1(-1,0),F2(c,0).
(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为:
P二{M||MF1|+|MF2|=2a
(3)代数方程
得方程』(齢疔+屮+J(k-c)2=2a.
(4)化简方程
化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演,其
余同学在下面完成,教师巡视,适当给予提示:
1原方程要移项平方,否则化简相当复杂;
注意两次平方的理
由详见问题3说明.整理后,再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
2为使方程对称和谐而引入b,同时b还有几何意义,下节课还
要
讲.由2a>
2cRj^aa-ca>
0,今则得方程与+务=1
ab
(a>
b>
0).
关于证明所得的方程是椭圆方程,因教材中对此要求不高,可
从略.
因此方程卜石十〉匸>
0)即为所求悯圆的标准方星它表
示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0)、F2(c,0).这里
c2二a2-b2.
2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)
2-2
(1)笃■+表示焦点在诸由上的椭凰焦点是Fi(-g
0)、F2(c,0),这里c2=a2-b2;
22
⑵存+告二l(2>
b〉D)表示焦点在薜由上的椭凰焦点是F](D,
-c)、F2(0,c),这里c2=a2+b2,只须将
(1)方程的x、y互换即可得到.
教师指出:
在两种标准方程中,丁a2>
b2,•••能够根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
(3)例题与练习
例题平面内两定点的距离是8,写出到这两定点的距离的和
是10的点的轨迹的方程.
分析:
先根据题意判断轨迹,再建立直角坐标系,采用待定系数法得出轨迹方程.
解:
这个轨迹是一个椭圆,两个定点是焦点,用F1、F2表示.取过点F1和F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.
t2a=10,2c=8.
二a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9.二b=3
因此,这个椭圆的标准方程是
请大家再想一想,焦点F1、F2放在y轴上,线段F1F2的垂直
平分
线为蚌虬轨迹方程是什么形式呢。
+y=
练习1写出适合下列条件的椭圆的标准方程
a=4,0—V15,焦点在请由上-
由学生口答,方程为二+疋=1・
10
练习2下列各组两个椭圆中,其焦点相同的是
由学生口答,答案为D.
(四)小结
1.定义:
椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大
于|F1F2|)的点的轨迹.
3.
图形如图2-15、2-16.
4.焦点:
F1(-c,0),F2(c,0).F1(0,-c),F2(0,c).
五、布置作业
1.如图2-17,在椭圆上的点中,A1与焦点F1的距离最小
|A1F1|=2,A2
F1的距离最大,|A2F1|=14,求椭圆的标准方程.
2.求椭圆★_+务=1上一点MJ》%4)与雋点的距离*
J
厂
7
rs
0F£
*
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2-17
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(D椭圆经过两点0)、Q(0,
⑵长轴是鹽轴的3倍,椭圆经道咸F⑶0)i
焦点坐标是(粽岳0)和整尽0),并且经过点F(虧,
-屈.
4.己知椭圆p-+^-=l(a>
b>
0),FPE是它的焦点,AB
是过F1的直线被椭圆截得的线段长,求厶ABF2的周长.
作业答案:
3713
2・|M盘I=y,IM^H-xay2
3'
⑴玄+
4.由椭圆定义易得,△ABF2的周长为4a.
六、板书设计
L
M
J、K
图
2-14
4.&
^fi@^+j=l(a>
O)FFPF提沸借瓦AB
X二a*SQRT<
b*b-y*y>
/b
/BX为变量
为函数
Z为函数
X=B*SQRT(A*A-Z*Z)
Y二b*SQRT<
a*a-x*x>
/ax为变量
/AZ为变量
X为函数
X为变量
#1=A#2=B#3=XZ#4=YX
#3=#1*SQRT(#2*#2-#4*#4)/#2#4=#4-0。
5G72
Z为函数
Z为变量
#4=#2*SQRT(#1*#1-#3*#3)/#1
#3=#3-0。
5G71