浅谈中学数学教学中思维训练方法Word文档下载推荐.docx
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信息储存的开始,可在教师的启发指引下,通过独立思考,弄清知识的来龙去脉,理解知识的意义,把握新知识与已有知识之间的区别与联系,这是储存信息过程的第一步。
在理解的基础上,进行思维加工,形成信息块或压缩成形象符号系列,使之便于记忆储存,这是第二步。
第三步,在单元学习结束时以至一门课程结束时,注意信
息的纵向、横向联系,特别是概念与概念,概念与定理之间逻辑联系,把信息放入到一个合理的知识框架——知识的逻辑结构中去。
为了与遗忘作斗争.应在适当的时候进行及时的复习。
写笔记,写知识结构框图,从厚到薄。
再根据框图,从基本概念出发,推导定理与公式直至自己在学习中的独立创见,从薄到厚。
这样,从厚到薄,从薄到厚的反复.是信息储存思维过程中的重要方法。
以上所述,是信息储存思维方法的概括描述,对于不同的信息,还应针对其特点,灵活运用。
信息检索的思维方法
在解决数学问题时,总得从自己的信息库中检索所需要的信息。
那末检索的思维过程是怎样的呢?
这一过程比较复杂,这里,只能作概括的描述。
一般是根据问题的要求、容(条件与结论或已知与未知)所涉及的信息围以及过去解决问题的经验教训,进行联想思索。
这里以发散思维为主,从有关信息中检索出问题所必需的知识.在涉及的知识面不宽,问题要求明确的情况下,检索过程比较简单.在涉及知识面宽,问题要求又比较曲折隐晦时,检索过程就相当困难.只有在信息存储时,对信息理解深刻,对知识的逻辑结构清楚,且存放的地位得当,才能加快检索过程,迅速想到所需的知识。
可见检索的基础是储存。
储存的功夫下得深,检索才能迅速。
检索的方法是善于审题,从问题的要求、容进行发散式、多角度、全方位地联想。
下面以复数这一单元为例,说明信息储存与检索的思维过程。
复数是中学阶段最后一次数的概念的扩.它在实数域的基础上,引入虚数单位“i”,保持原有的运算规律,扩为复数域.如果将“i”看作方程x2+1=0的一个根,定义i2=-1,则容易产生不易捉摸之感.如果把i看作为y轴上的单位向量(即模为1,幅角为π/2的向量)按向量的加、减运算法则定义复数的加法、减法,用向量的乘法(不同于向量的数量积与向量积的另一种向量乘法)即两向量的乘积的模等于此两向量模的积,两向量乘积的幅角等于此两向量幅病之和来定义复数的乘法,在这样的运算定义下,向量与复数完全可以看作同一类的元素。
(在高等数学中称为同构)。
据此,有
i2=cos(π/2+π/2)+isin(π/2+π/2)=cosπ+isinπ=-1+0·
i
(x,o)与实数x的运算规律也完全相同,即(x,o)=x。
因此,有i2=-1。
这与定义i2=-1是一致的。
这样来理解复数,易于建立虚数不虚的观念,便于借助于向量来处理复数问题,充分发挥几何直观与形象思维的作用,有利于提高思维能力。
为了便于记忆、储存,可通过单元小结,将复数的基本知识概括成如下页的框图。
复数与复平面、平面向量、平面直角坐标系,平面极丝标系、三角函数概念、平面曲线的参数方程、平面点集等等知识相联系,我们可以灵活运用,解决代数、三角、平几,解几中的大量问题。
为了巩固记忆,加深理解,还可根据这一框图,从复数的基本概念出发,独立推导出全部有关复数的基本知识。
以上就是从厚到薄,从薄到厚的全过程。
这就是信息储存的思维方法。
在储存上下了功夫,就可给信息检索带来方便。
下面再通过一个实例看看信息检索的思维过程。
已知复数Z满足Z2+Z+1=0,
(1)计算(Z+1)4+Z,并把所得结果写成复数的三角形式;
(2)求证:
对任意复数u,有恒等式
(u十1)3+(u+Z)3+(u+Z2)3=3(u3十1);
(3)试问:
使(1十Z)n是实数值的最小自然数n是多少?
为什么?
当我们面对这一问题时,首先的印象是这是复数问题,头脑会浮现出复数的基本知识的框图.根据条件Z2+Z+1=0,在不同的人面前,可能有各种不同的反映,即使同一个人,也会出现各种反映。
第一种:
从Z2+Z+1=0,直接解得Z=-1/2+√3/2i,或-1/2-√3/2i。
第二种:
从Z2+Z+1=0想到1的3次根,由于Z≠1,则以Z-1乘以等式两边,得Z3-1=0,即Z3=1,从而有Z3n=1,Z3n+1=Z,Z3n+2=Z2,其中n为自然数。
第三种:
从Z2+Z+1=0,想到Z≠0,从此有Z3+Z2+Z=0,又因Z2+Z=-1,故有Z3-1=0,即Z3=1,Z4=Z,Z5=Z2,等等。
…………
问题
(1)要求计算(Z+1)4+Z,由于上述种种不同的信息检索,因此将有更多的情形,这里不再一一列举。
从上述第二或第三种想法入手,可得
(Z+1)4+Z=(-Z2)4+Z=Z8+Z=Z2+Z=-1
=cosπ+isinπ。
如果循上述第一种想法入手,分别将Z=-1/2+√3/2i,或-1/2-√3/2i代入计算,就较繁琐了。
问题
(2)要求证明恒等式(u+1)3+(u+Z)3+(u+Z2)3=3(u3+1),由于信息检索的不同,处理的办法也不同.仍利用Z3n=1,Z3n+1=Z,Z3n+2=Z2,则有
(u+1)3+(u+Z)3+(u+Z2)3
=3u3+3u2(1+Z+Z2)+3u(1+Z2+Z4)+1+Z3+Z6
=3u3+(3u2+3u)(1+Z+Z2)+1+1+1
=3(u3+1).
对于问题(3),则十分明确要用到复数Z=x+yi为实数的条件:
I(Z)=0。
(1+Z)n=(-Z2)n=(-1)nZ2n,当且仅当n为3的倍数3K(K为自然数)时,(1+Z)n为实数,所以,使(1+Z)n是实数值的最小自然数n=3.
当然,也可以Z=-1/2±
√3/2i代入得
1+Z=1/2±
√3/2i=cosπ/3±
isin,
(1+Z)n=(cosπ/3±
isinπ/3)n=cos(nπ/3)±
isin(nπ/3)
(1+Z)n为实数值的充要条件为sin(nπ/3)=0,即nπ/3=K(K∈Z)。
所以n=3K,从而得,使(1+Z)n是实数值的最小自然数n=3。
由于这一问题要求、容都很明确,因而信息的检索比较简单。
数学教育主要是数学思维的教育,培养学生的数学思维素质,关键在于培养他们的数学意识。
数学意识不同于具体的数学思想方法,它是人们学习数学、应用数学的主观意图和动态趋向,培养对象有了较强的数学意识,才能掌握正确的数学思想方法,具备较高的数学素质,因此,培养学生的数学意识具有十分重要的意义。
应当培养学生哪些方面的数学意识呢?
根据数学学科的特点,根据数学教学大纲对中学阶段培养目标的要求,宜城县教研室成国老师提出应当重点培养学生的同化意识、转化意识和量化意识。
同化意识
我们知道,数学知识具有严密的系统结构。
学生学习数学,掌握数学知识的过程中,也就形成了相应的认知结构,这是数学学习中的一个中心的心理成分,学生在学习数学的过程中,他们的认知结构表现出两种功能:
一是凭借已有的认知结构去解决课题;
二是利用已有的认知结构去掌握新的知识,在新知识与原有知识相一致的情况下,新知识就被纳入原有的认知结构之,从而扩大原有认知结构的含,这种过程叫同化。
当新知识与原有的认知结构不一致时,就要对原有的认知结构进行部分的改组,调整为新的认知结构。
这种不断循环的同化和调整过程,使学生获取更多的数学知识。
培养学生的同化意识,既有利于使学生主动地获取知识,又有利于培养学生运用数学知识解决数学问题的能力。
打开数学教科书,任意一节具体的数学容,都是在前面容的基础上来定义新概念、扩展延伸旧知识的,认清了这一点,就会使教学过程重点突出,学生也会学得轻松自如。
例如现行统编教材代数第三册中,一元二次方程的解法1(直接开平方法),课本出示例1为:
解方程x2=4,这是学生第一次接触解一元二次方程问题,学生根据已学过的“求一个数的平方根”的知识,即可求出x1=2,x2=-2。
本节唯一的新知识就是解法步骤,让学生知道用x1、x2表示未知数为x的一元二次方程的两个根。
下一次容是一元二次方程解法2(配方法),课本出示例题:
求解方程x2+6x+7=0。
移项得x2+6x=-7,
配方x2+6x+32=-7+32,
(x+3)2=2,
x1=-3+√2,x2=-3-√2。
这节的新知识只有配方这一点,通过配方调整后,使本节容与上节课的知识同化,再下一节课的容是解一元二次方程的第三种方法(公式法),与配方法相仿,只不过是从一元二次方程的一般形式出发,得出根的求根公式,学生同样经过调整同化的途径,化未知为已知,产生新的认知结构。
对中数教学过程稍加分析,不难看出同化过程是数学教学和学习的基本过程。
化归这种常用的数学思想方法,其实质是同化,它是同化在解题过程中的体现,这里列举几例来看看化归的功效。
例1鸡兔同笼不知数,三十六只头笼中露,看足却有一百整,不知多少鸡和兔?
这是古老的“鸡兔同笼”问题,作为算术问题,难住了不少人,波利亚对这个问题提出了一个有趣的思路:
“如果鸡都缩起一只脚,兔子都竖起前腿,仅用后两只腿落地,那又怎样呢?
”这个思路的得出是强烈的化归意识在解题中体现。
显然,对于36只头来说,只剩下50只脚,那么50-36=14,那多余的14只脚当然是兔子的了。
例2求(2x-1)3(3x2-x+1)4的各项系数之和。
此题展开后计算,是比较麻烦的,把求多项式各项系数之和,化归为求多项式当x=1时的值,问题就变得非常容易了。
解记∫(x)=(2x-1)3(3x2-x+1)4,设各项系数之和为N,则
N=∫
(1)=81。
转化意识
转化的作用是巨大的,许多题目看起来十分复杂,扑朔迷离,一经转化就会变得十分明朗、简单易解。
笛卡尔在《指导思维的法则》中写道:
“当一个问题被提出来以后,我们应当立即看一看,首先研究另外一些问题是否更为有利,另外是哪些问题,以及按什么顺序进行研究。
”这里说的意思就是要善于把问题转化。
转化的方式很多,常见的有变更、分解、替换、添加等等。
中外历史上许多著名的数学故事,如冲称象、高斯计算百子图、遗产分割问题等等,都体现了转化的思想。
(1)变更。
在解决数学问题时,往往要把原来的问题变更为与之等价的命题形式,使求解目标更加明确。
例4已知a、b、c是使等式
1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)=1
成立的任意数,求证:
a、b、c中至少有一个数为1。
这个题目猛一看似乎无从下手,稍加分析可知,其问题可变列为求证
(a-1)(b-1)(c一1)=0。
证明由题设条件可知:
a+b+c=l,
abc=ab+bc+ca。
∵(a-1)(b-1)(c-2)
=abc-ab-ac-bc+a+b+c-1,
∴(a-1)(b-1)(c-1)=0。
故a、b、c中至少有一个为1。
(2)分解。
对于一些问题经过变形后分解讨论,既可以使解答更为全面,也能使问题容易解决
例5在△ABC中,a、b、c为其三边的长。
求证:
W=a2b(a-b)+b2c(b-c)
+c2a(c-a)≥0。
(第24届IMO试题)
一名参赛学生给了如下证明:
W=b(a-b)(a-c)(a+b-c)
+a(b-c)2+(b+c-a)
由于W是关于a、b、c的轮换对称式,不妨设a≥b≥c,故有W≥0。
此题把W分解成两个非负数之和,然后根据三角形两边之和大于第三边及W关于a、b、c的对称性巧妙证出,此证法获得了竞赛的特别奖。
这类例子还很多,如图形的分解、问题的讨论等,限于篇幅,不一一举例。
(3)替换。
对于一个数学问题,通过变换、换元、代换等方式,将其加以变形,也是解决问题的常见方法。
例6若x=4-√3则分式(x4-6x3-2x2+18x+23)/(x2-8x+15)=_________。
(1986年全国初中数学竞赛试题)
如果直接把x=4-√3代入分式计算,则十分繁杂,考虑此分式特点,容易与一元二次方程根与系数的关系联系在一起,设x1=4+√3,x2=4-√3,以x1、x2为根的方程为x2-8x+13=0,将原分式适当变形与此方程靠拢,有
原式=
显然其值等于5。
对于替换问题,现行数学教材中也有很多例子,教师应该不失时机地对学生进行替换意识的培养,如初中代数第三册第十一章第三大节可化为一元二次方程的方程中,就有许多换元法的实例。
此外,初中几何中的轴对称图形也渗透了对称变换的思想,这对于学生以后学习几何的合同变换、相似变换、旋转变换,领会几何的变换思想奠定了基础。
(4)添加。
添加是数学解强题中的重要手段,数学中常见的代数计算中的添项、化简中的同乘共轭因式,几何中的添加辅助线,构造辅助图形均属此围。
一则众所周知的“遗嘱”故事中说道:
一个老人去世后,把十七匹马全部留给三个儿子,长子得一半,次子得三分之一,幼子得九分之一,不许杀马。
为了不违背父亲的遗愿,他们请教当地的一个智者,智者借给他们一匹马,使他们顺利地完成遗产分割,并把借的马还给了智者。
这个巧用添加的办法完成分马的故事流传到世界各地。
还有一个添加的典型例子,就是高斯计算s=l+2+3+……+100的方法,将上式倒过来,s=100+99+……+l,然后两式相加,故s=100(100+1)/2。
著名学者振宁将此故事及方法讲给他的孩子们听,大家都懂,也很欣赏,但一年之后都忘了。
省身教授在谈到此事时说:
“不同的地方是,我们了解这个推论的美,听过之后,永远不忘。
”具有数学意识的人,对这个故事不会忘记,还会举一反三,我们的数学教育就是要培养出“听过不忘的人”。
量化意识
在数学家的眼中,世界上的任何问题都可以归纳为数学关系,数学关系成为他们的思维模式。
笛卡尔就曾经有一个期望,要将任何种类的问题归结为数学问题;
再将任何种类的数学问题转化为代数问题;
最后再将任何种类的代数问题化归为单个方程的求解。
十七世纪初,笛卡尔就是基于这种思维模式创设了解析几何方法。
这种企图把什么都归结为数学关系的思维模式,是一种十分重要的量化意识,或是一种强烈的“用数学”的意识,这种意识在教学过程中学生们很少有感受,他们只是在解决书本上的题目和应付考试时才感受到数学的存在。
我国著名数学家徐利治教授说:
“数学是研究广义的量(即模式结构形式)的学科。
”开尔文说:
“没有数量就没有科学。
”要使数学发挥出应有的作用,必须善于把研究对象量化。
量化可以使数学更好地为科学服务,为生产和生活服务。
量化意识的主要表现方面有抽象意识、计算意识和推理意识。
(1)抽象。
应用数学解决实际问题,必须把现实问题抽象为数学问题。
华罗庚说:
“从具体到抽象是数学发展的一条重要大道,因此具体的例子往往是抽象概念的源泉,而所用的方法也往往是高深数学里所用方法的依据。
”
抽象的过程,往往需要多次的反复才能完成。
例如从现实世界抽象出数学模型,再由数学模型抽象出某种数学关系,这样才能对研究的事物进行定量分析。
建立数学模型,解决现实世界的各种问题,使数学成为自然科学不可缺少的工具。
例7男女学生若于人围坐一圆桌,若相邻者为同性别,中间插一朵红花;
若相邻者不同性别,中间就插一朵蓝花,若插红花与蓝花朵数相同,则男女总人数必是4的倍数。
将此问题抽象分析,由于男女学生相邻只有两种情况,可以化男女学生为两类不同元素x、x,并分别赋予+1和-1两个数值,然后依题意建立数学模型:
x1,x2,…,xn是一种排列,他们的值为+1或-1,求证:
x1x2+x2x3+…+xnx1=0
时n必为4的倍数。
可以这样来证明:
设y1=x1x2,y2=x2x3…,yn=xnx1。
因xi(i=1,-n)的值分别为+1和-1,则y1y2…yn=(x1x2)(x2x3)…(xnx1)=(x1x2…xn)2=1,故yi(i=1,2…n)中取-1的个数应是偶数,yi(i=1,2…n)取+1的个数应该与取-1的个数相同,于是n是两个相等的偶数之和,它一定是4的倍数。
抽象后产生的数学模型,可以对学科的发展产生巨大影响,正如马克思说过的:
“一门科学只有当它达到了能运用数学时,才算真正发展了。
1884年,瑞士的一个中学教师巴尔末夸口说:
“我能用公式把任意4个数字有规律地联系起来”,有人便把已知的氢光谱的红、绿、蓝、紫4条谱线的波长数据给了他,他竟顺利地用一个公式——巴尔末公式
1/λ=R(1/a2-1/n2)把这些谱线的波长联系起来,在当时的物理界引起了轰动。
(2)计算。
精于算计是具有数学头脑的人在处理事情时的优良品质,计算是人人都要用到的数学技能,却不是人人都善于计算。
对于认识的对象进行正确的计算,须有较强的计算意识,不然会闹很多笑话。
历史上,国王许诺奖赏棋盘上的大米未能兑现就是一个例子,又如,把一报纸反复对折50次,其厚度会达到地球到达月球那么高,不经计算,一般人难以想象,也难以置信。
计算意识的一个反映是估算,估算在世界许多国家的数学教学中受到重视,我国小学数学把估算列为教学容,但在中学阶段却被忽视。
根据义务教育初中数学教学大纲的特点“放宽严谨性,增强实用性”,中学数学教学中除了要重视学生用数学知识解决实际问题的训练外,还应该对估算给予一定重视。
估算对于有效地解决某些近似问题、验证某些计算的合理性、迅速地解数学选择题有独到的作用。
为了便于说明,这里仅举一例。
例8假设有1元的硬币共1亿枚,如果一个人把它数完,需要时间是_______,a三天,b大约一个月,c大约一年;
d三年以上。
不经估算,这个问题很难回答正确,如果具有计算意识的人,可以估计出大概需要的时间,若按1秒钟数1枚的速度来数,一天24小时不吃饭、不睡觉可数60×
60×
24=86400(枚)一年可数86400×
365=31536000(枚)。
即一年可数约3千万,故需3年以上,如果考虑到吃饭睡觉的时间,大约需用10年才能数完。
照这样计算,有10亿枚硬币让一个人数,他一生也数不完。
(3)推理。
推理是应用数学概念,采取合理的教学方法解决问题的重要手段,它的作用,凡是学过数学的人都有体会,值得注意的是,我们应该对抽象于客观事物的数学模型的数量关系善于推理,这种推理,人人都有过,但往往是在不自觉的状态下进行的,我们强调的是培养自觉推理的意识。
例9从世界上任选6人,其中必有3个人要么相互认识,要么都不认识。
不妨设任选6人中有“我”,那么,我对其余5人,必然或者认识其中之3人,或不认识其中之3人,不妨设认识其中3人,在这3人中若有2人互相认识,那么连同“我”就有3人相互认识了;
若都不认识,题目也得证。
这里很自然地用到了抽屉原则,采取推理方法很快解决了问题。
在日常生活中,我们也常常利用抽屉原则进行推理。
例如,四人打扑克牌时,如果你手中无A,那么可判断有人至少有两个A。
推理可以证明许多命题(常用演绎推理),可以发现更多的数学规律(如著名的哥德巴赫猜想就是用归纳推理提出来的),还可以产生许多新的数学公式和法则(式的运算法则就是在数的运算法则的基础上类比得出的)。
善于推理,使人思维更加敏捷,办事更加缜密。
推理意识,已受到世界各国数学界普遍重视。
最近,美国全国数学督导委员会提出21世纪面向全体学生的数学,最重要的由12种能力组成:
①解决问题;
②交流数学思想;
③数学推理;
④应用数学于日常情景;
⑤对结果合理性的判断;
⑥估算;
⑦一定的计算技能;
⑧代数思维;
⑨测量;
⑩几何;
⑾统计;
⑿概率。
把数学推理放在第三位。
历史和实践证明,数学的重要性,已远远超过了学科的界限,著名科学家钱学森建议“数学应该与自然科学与社会科学并列”称之为“数学科学”。
参考书目:
①思格斯:
《自然辩证法》
②Polya:
《数学与猜想》
③Polya:
《数学的发现》
④Polya:
《怎样解题》。
⑤Courant:
《数学是什么》
(附:
如有问题请老师与我联系,我的手机:
)