10语言和有限状态机离散数学讲义海南大学共十一讲.docx
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10语言和有限状态机离散数学讲义海南大学共十一讲
10.语言和有限自动机
LanguageandFinite－StateMachine
§10.1语言Languages
由符号以一定规则组成单词word，
由单词以一定规则（语法）组成句子sentences。
以一定规则给句子的含义作出解释叫语义。
Grammars文法
G＝（V，S，v0，→）短语结构文法phrasestructuregrammar
V是有限符号集，
S⊆V，S终止符号集
v0∈V－S，初始符号，
→是V*上的有限产生关系productrelation。
w，w’∈V*,w→w’是产生规则，
w叫左边，w’叫右边。
N＝V－S，非终止符号集。
例1.S={John,Jill,drives,jogs,carelessly,
rapidly,frequently}
N={sentence,noun,verbphrase,verb,
adverb}
V=N∪S，v0＝sentence.
sentence→nounverbphrase
noun→John
noun→Jill
verbphrase→verbadverb
verb→drives
verb→jogs
adverb→carelessly
adverb→rapidly
adverb→frequently
sentence
nounverbphrase
Jillverbphrase
Jillverbadverb
Jilldrivesadverb
Jilldrivesfrequently
例2．正则文法，3型文法。
G=（V,S,v0,→）,
V＝{v0,w,a,b,c},S={a,b,c},
1．v0→aw.2.w→bbw.3.w→c.
G能接受的语句是
v0→aw→ab2w→……→ab2nw→ab2nc.
简记为v0⇒ab2nc
G确定的语言L（G）={ab2nc|n∈N}＝a（bb）*c.
例3．0型文法。
G=（V,S,v0,→）,
V＝{v0,w,a,b,c},S={a,b,c},
1.v0→av0b.2.v0b→bw.3.abw→c.
v0→av0b→aav0bb→anv0bn→anbwbn－1
＝an－1abwbn－1→an－1cbn－1
简记为v0⇒an－1cbn－1
G能接受的语句是ancbn，n≥0.
L（G）={ancbn|n≥0}
形式文法的分类
0型文法type0：
规则无限制.无限制文法。
1型文法type1：
每条规则左边的长度小于等于右边的长度。
lwr→lw’r,上下文有关文法。
2型文法type2：
A→α，A∈N，左边只含单个非终结字符。
上下文无关文法。
3型文法type3：
正则文法。
A→α或A→αB，A，B∈N，左边只含单个非终结字符，右边最右端可以有一个非终结符号。
右线性文法。
A→α或A→Bα，A，B∈N，左边只含单个非终结字符，右边最右端可以有一个非终结符号。
左线性文法。
语言
2型文法生成的语言叫2型语言，上下文无关语言。
3型文法生成的语言叫3型语言，正则语言。
L（G）＝{anbn|n≥3}
求文法G？
L（G）={xnym|n,m≥2}
求文法G？
§10.2特殊文法和语言的表示
BNF记号notation（Bachus－Naur形式）
例1.〈sentence〉:
:
＝〈noun〉〈verbphrase〉，
〈noun〉:
:
=John|Jill
〈verbphrase〉:
:
=〈verb〉〈adverb〉
〈verb〉:
:
=drives|jogs
〈adverb〉:
:
=carelessly|rapidly|frequently
例2.〈v0〉:
:
=a〈w〉
〈w〉:
:
=bb〈w〉|c
左边记号在右边出现，叫做递归recursive
例3．程序设计C语言
〈十进制数〉:
:
＝〈无符号整数〉|〈十进分数〉|
〈无符号整数〉〈十进分数〉
〈十进分数〉:
:
=.〈无符号整数〉
〈无符号整数〉:
:
=〈十进数字〉|
〈十进数字〉〈无符号整数〉
〈十进数字〉:
:
=0|1|2|3|4|5|6|7|8|9
23.14
例4.
G=（V,S,identifier,→）
N＝{identifier,remaining,digit,letter}
S＝{a,b,c,……,z,0,1,2,……，9}
V=N∪S
1．〈identifier〉:
:
＝〈letter〉|
〈letter〉〈remaining〉
2．〈remaining〉:
:
＝〈letter〉|〈digit〉|
〈letter〉〈remaining〉|
〈digit〉〈remaining〉
3.〈letter〉:
:
=a|b|……|z
4.〈digit〉:
:
=0|1|2|3|4|5|6|7|8|9
语法图SyntaxDiagrams
〈w〉:
:
＝〈w1〉〈w2〉〈w3〉
〈w〉:
:
＝〈w1〉〈w2〉|〈w1〉a|bc〈w2〉
〈w〉:
:
＝ab〈w〉
〈w〉:
:
＝ab|ab〈w〉
例5.
例6.
正则文法和正则表达式
RegularGrammarandRegularExpressions
设A是一个字符集，由如下产生规则生成的字符串叫做A的正则表示,不引起歧义时简称正则表示，省略A：
Re1.空串是正则表示。
Re2.如果,则x是正则表示。
Re3.如果α，β是正则表示，则αβ，即α∙β，是正则表示。
Re4.如果α，β是正则表示，则（α∨β）是正则表示。
Re5.如果α是正则表示，则（α）*是正则表示。
定理1.S有限集，L⊆S*,则L正则当且仅当存在正则文法G＝（V,S,v0,→），L＝L（G）。
将正则文法用BNF图表示，合成一个图，只含一个v0，其他都是终结符号，称为G的主图。
通过这个图，正则文法和正则表示式有一个对应：
1．终结符对应自己。
2．两个片断D1和D2串连成D，D对应α1⋅α2。
3．两个片断D1和D2并连成D，
D对应α1∨α2。
4．一个片断D由D1的环构成，D对应α1*.
例8.
§10.3有限状态自动机
Finite－StateMachine
有限状态集S＝{s0,s1,s2,……,sn}。
有限输入集I，每个x∈I，有一个
状态转换函数fx：
S→S。
F＝{fx|x∈I}.
M=（S，I，F）叫有限状态自动机。
状态si，输入x，fx（si）下一个状态。
M=（S,I,F）与M’=（S，I，F）等价：
F：
S×I→S，
F（si,x）=fx（si）.
例1．
S＝{s0,s1},I={0,1}.
f0（s0）=s0，f0（s1）=s1，
f1（s0）=s1，f1（s1）=s0，
状态变换表：
0
1
s0
s0
s1
s1
s1
s0
例2．I＝{a,b},S={s0,s1,s2},
fa（s0）=s0，fa（s1）=s2，fa（s2）=s1，
fb（s0）=s1，fb（s1）=s0，fb（s2）=s2，
定义S上关系RM，
siRMsj当且仅当存在一个输入x，fx（si）=sj.
M的图：
MooreMachine识别机recognitionmachine
M＝（S,I,F,s0,T）,
s0初始状态，T可接受状态集。
自动机同余和商自动机
MachineCongruenceand
QuotientMachine
设M＝（S，I，F），R是M上同余关系：
R是S上等价关系，且对任意s，t∈S，sRt当且仅当对任意x∈I，fx（s）Rfx（t）.
令＝S/R={[s]|s∈S}
对任意x∈I，令
由R是同余关系，是上的函数。
令,
称有限自动机＝（，I，）为M对应R的商，记做＝M/R.
如果M＝（S,I,F,s0,T）,R是M上的同余关系，＝（，I，，s0，），
={[t]|t∈T}。
称为M的商MooreMachine.
例6.令S＝{s0,s1,s2,s3,s4,s5}，T={s1,s3,s4}.
状态变换表：
S上同余关系R：
a
b
s0
s0
s4
s1
s1
s0
s2
s2
s4
s3
s5
s2
s4
s4
s3
s5
s3
s2
[s0]={s0,s2}=[s2]
[s1]={s1,s3,s5}=[s3]=[s5]
[s4]＝[s4]
=S/R={[s0],[s1],[s4]}
a
b
[s0]
[s0]
[s4]
[s1]
[s1]
[s0]
[s4]
[s4]
[s1]
例7．I＝{0,1},
S={s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7}，
M={S,I,F}
S/R={{s0,s4},{s1,s2,s5},{s6},{s3,s7}}
0
0
1
§10.4.半群，自动机和语言semigroups，machinesandlanguages
M={S,I,F}
S＝{s0,s1,s2,……,sn}。
F＝{fx|x∈I}.
I*是一个独异点，空串Λ是单位元。
S上所有函数的集合SS，关于复合组成独异点，恒等变换1s是单位元。
任意x∈I，fx∈SS,设w＝x1x2……xn∈I*,
令fw＝fxn◦fxn-1◦…◦fx1，fΛ=1s，
对每个w∈I*,fw∈SS,称fw是w对应的状态变换函数。
例1.M={S,I,F},S＝{s0,s1,s2},I={0,1}。
状态变换表F：
0
1
s0
s0
s1
s1
s2
s2
s2
s1
s0
设w＝011∈I*，
fw（s0）=f1◦f1◦f0（s0）=f1◦f1（s0）=f1（s1）=s2.
fw（s1）=f1◦f1◦f0（s1）=f1◦f1（s2）=f1（s0）=s1.
fw（s2）=f1◦f1◦f0（s2）=f1◦f1（s1）=f1（s2）=s0.
例2．上例Moor机
0
fw（s0）=s2，fw（s1）=s1，fw（s2）=s0.
w’=01011
fw’（s0）=s1,fw’（s1）=s2,fw’（s2）=s0.
令M={S,I,F},定义函数
T：
I*→SS，
对任意w∈I*，T（w）=fw∈SS。
定理1.
（a）T（w1⋅w2）=T（w2）⋅T（w1）.
（b）M=T（I*）构成SS的子独异点。
a
例3.
b
S0
S2
S1
d
d
b,d
a,b
a
则fadd◦fbad=fbadadd.
证明.
fadd（s0）=s0,fadd（s1）=s0,fadd（s2）=s0,
fbad（s0）=s1,fbad（s1）=s1,fbad（s2）=s1,
fadd◦fbad（s0）=fadd（s1）=s0
fadd◦fbad（s1）=fadd（s1）=s0.
fadd◦fbad（s2）=fadd（s1）=s0.
fbadadd（
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