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NBER,BEA,WORLDBANK,IMF,UN,OECD
Chapter1TheSolowGrowthModel
索洛增长模型
1.1SomeBasicFactsaboutEconomicGrowth
1.2Assumptions
1.3TheDynamicsoftheModel
1.4TheimpactofaChangeintheSavingRate
1.5QuantitativeImplications
1.6TheSolowModelandtheCentralQuestionsofGrowthTheory
1.7EmpiricalApplications
1.8TheEnvironmentandEconomicGrowthProblems
1.9ConclusionsandReviews
Facts:
1.Standardsofliving（averagerealincomes）andaveragegrowthratesaremuchhigherthanbefore.
Productivitygrowthslowdown
2.Therearealsoenormousdifferencesinstandardsofliving.
Growthmiraclesandgrowthdisasters
Severalgrowthmodels:
⏹1.哈罗德—多马增长模型（Harrod（1939）,Domar（1946））
⏹2.新古典增长模型
索洛－斯旺模型（Solow（1956）,Swan（1956））
Ramsey-Cass-Koopmansmodel（1928,1965）andDiamondmodel（1965）
⏹3.内生增长模型：
Romer（1986,1990）,Lucas（1988）
⏹完全竞争的封闭经济，生产单一产品，劳动和资本可相互替代。
⏹1.新古典生产函数（索洛模型的核心）
Y（t）=F（K（t）,A（t）L（t））
Y（t）：
产出
K（t）：
资本
L（t）：
劳动
A（t）：
知识或劳动的有效性
A（t）L（t）：
有效劳动
☐劳动增加型或哈罗德中性技术进步
☐最简单的形式：
没有技术进步（A不随时间变化）
2.生产函数的性质
☐
（1）F（.）为规模收益不变，即F（cK,cAL）=cF（K,AL）
根据这一假设，生产函数可改写为：
☐
（2）F（.）关于每一项投入边际产出为正，且边际产出递减。
即
F’>
0，F’’<
0
☐（3）F（.）满足稻田条件（InadaConditions），即
⏹3.劳动、知识、资本要素投入的变化
☐
（1）假定劳动、知识的初始水平既定，且分别以不变的增长率n和g增长（外生）
☐
（2）假定每个家庭将收入中固定份额s用于储蓄，这部分储蓄即为增加的投资，资本折旧率为δ，那么资本形成为
⏹1.k的动态变化
常见
☐由假定3，可有索洛模型的基本方程
推导
1.3TheDynamicsoftheModel
⏹
索洛方程描述了单位有效劳动的变化，仅仅依赖于k。
☐:
单位有效劳动的实际投资（actualinvestment）（每单位劳动的储蓄）
:
持平投资（break-eveninvestment），即为了使k保持在现有水平上所必须进行的投资量（即保持资本有效劳动比不变），或者是在平衡增长路径上（每单位有效劳动的资本不上升也不下降，资本与有效劳动增长速率相等）每单位有效劳动的投资。
图1.2实际投资与持平投资
图1.3k的相位图
2.稳定状态（steadystate）
☐在二线的交点（＝0），储蓄产生的投资量恰好等于能使经济保持在均衡路径上（即资本和有效劳动同速度增长），此时稳态出现。
如果经济开始处于稳态，那么它就会继续保持在那里。
☐实际投资可以高于或低于持平投资
⏹如果初始状态经济中k低于稳态水平（左边），实际投资超过了保持k不变的均衡增长所需要的量，人均资本量就会上升，从而趋向于稳态。
⏹如果k高于稳态水平，那么人均资本量将会逐年减少，从而经济最终趋向于稳态。
⏹索洛模型表明，无论初始状态如何，经济将随时间的变化趋向于同一个稳态，那时资本和劳动以相同速度增长。
3.平衡增长路径
k收敛于k*，＝0，经济处于稳态
在平衡增长路径（balancedgrowthpath）上，每一个变量以常数率增长:
（1）单位有效劳动资本k、单位有效劳动产出y水平取决于储蓄率、人口增长率、知识增长率以及折旧率，增长率为0
（2）人均资本（K/L）和人均产出（Y/L）的增长率为g（anunpleasantresult）
（3）资本K、有效劳动AL、总产出Y的增长率为n＋g
1.4TheImpactofachangeintheSavingRate
1.s变化对产出的影响
处于平衡增长路径上的索洛经济，储蓄率永久性的增加
水平效应:
单位有效劳动资本k和单位有效劳动产出水平y暂时性地提高
增长效应：
单位有效劳动产出增长率暂时性的增加，长期增长率不变
折旧率的降低也有类似的影响
⏹提高储蓄率s会使实际的投资线向上移动，并引起k上升。
但到达新的k*以后，在此点它又将保持不变。
⏹因此，储蓄率的变化只有水平效应而没有长期增长效应，它改变了平衡增长路径，并改变人均产出水平，但它不会改变平衡增长路径上人均产出的增长率。
⏹总产出的增长率总会稳定下来，与人口增长率相一致（不考虑技术进步时）。
这就是所谓的“趋同”假说，即无论什么国家，无论储蓄率差异有多大，在长期总产出的增长率都会与人口增长率一致
⏹在长期，总产出以n+g增长，但人均产出以g增长，因此在长期只有技术变化有增长效应，其它变化都只会产生水平效应
图1.5储蓄率增加的效应
2．储蓄率变化对消费的影响
设c*表示均衡增长路径上单位有效劳动的消费：
在均衡状态，k*=k*（s，n，g，δ）
储蓄率的提高
>
（1）增加
<
n＋g＋δ消费
（2）减少
=（3）无影响
为f（k）在k*处的斜率
（1）消费增加
（2）消费减少
（3）消费不受影响
f（k）
上图中，在k*处，
s的边际变动在长期内不会对消费产生影响，而且在平衡增长路径上，消费位于其最大的可能水平上。
消费函数一阶条件满足，消费最大。
k*即为著名的资本存量的黄金律水平（golden-rulelevelofthecapitalstock）。
最优消费为
图s与c*的关系
s1<
sgold<
s2
c＝（1-s）f（k）
（1）s2：
降低s
（2）s1：
提高s
dynamicallyinefficientregion
当s2>
sgold时，经济处于过度储蓄状态，这时通过降低储蓄率，所有时点上的人均消费都会增加。
由于人均消费路径在所有的时点上总是低于可行的路径，这种过度储蓄的经济称为是“动态非效率”的。
图黄金律与动态非效率（dynamicallyinefficient）
1.储蓄率增加对产出y的长期效应
由可知
由平衡增长的条件可知
两边对s求导数，解得
于是，
两边同乘s/y*，并用替换s，得
定义为在k=k*处资本的产出弹性，它也是资本收入占总收入的份额。
因此，
其中，为储蓄率的产出弹性
举例：
假设=1/3，则=1/2
当储蓄增加10%时，每单位有效劳动的产出长期内仅变化5%
结论：
储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响。
2.收敛的速度
考察k以多快的速度趋近k*。
由索洛模型的核心方程可知：
在k=k*处对作一阶泰勒级数近似，可得：
☐含义：
在平衡增长路径上，k向k*收敛的速度与k与k*之间的距离成比例。
对k微分，并在k=k*处取值可得，
假设=1/3，则（表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。
证明：
⏹当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。
第1年增长0.04（5%）=0.2%，18年后增长0.5（5%）=2.5%。
⏹结论：
储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。
Results：
Variationsoftheaccumulationofphysicalcapitaldonotaccountforasignificantpartofeitherworldwideeconomicgrowthorcross-countryincomedifferences.
directapproach
记每工人平均产出为y，每工人平均资本为k，一个国家加’表示，另一个国家不加’。
根据条件，假设每工人平均产出的差异为X倍，即有
因此
同样地，
。
根据弹性定义
同样地，
索洛模型中，长期人均产出增长仅仅依赖于技术进步，但是短期增长依赖于技术进步或资本积累，因此该模型可以用来预测短期经济增长问题
经验应用：
因素分解
K,αL分别表示在t时刻产出关于资本和劳动的弹性，和为1
人均产出的增长分解成人均资本增长的贡献与索洛残值的贡献Abramovitz（1956）,Solow（1957）
⏹存在几种不同的收敛假说
⏹第一个是绝对收敛假说,即国家间的人均收入在长期内会趋于收敛,且不以一国经济的任何其他特征为条件.
⏹第二个假设是条件收敛假说,这一假说认为具有相同的结构特征,如相同的人口增长率,技术,国民偏好和国家政策等的国家人均收入水平在长期内会趋于收敛.具有相同的结构特征也就意味着不同的国家会有相同的稳态.因此,这一假设的主要思想认为一国经济离其稳态越远,增长速度就越快.
⏹第三个假设是俱乐部收敛假说,这一假说认为具有相同结构特征的国家并不一定会趋于收敛,除非它们具有相似的初始条件.俱乐部假设暗含着世界经济会有多个稳态存在，一个国家会收敛到哪一个稳态取决于它的初始位置.
可以看出,条件收敛和俱乐部收敛的分歧在对世界经济稳态的数目的不同看法上.以上三种收敛假设理论都是从贫困地区比富裕地区增长更快的意义上来描述经济向期望值的回归,一般称为收敛.
⏹收敛的原因
☐模型预期各国将收敛于平衡增长路径
⏹各国处于相对平衡增长路径不同的点，人均产出存在差异，由此可以预见穷国会追赶富国。
☐暗含人均资本更多的国家，资本收益率更低
☐穷国可以利用他国的知识扩散，缩小与富国的差距
⏹Baumol（1986）
☐利用Maddison（1982）数据，考察了16个工业国家1870-1979年的收敛
☐b=-0.995，完全收敛
⏹DeLong（1988）指出Baumol的结论难以成立
☐样本选择
☐度量误差
⏹主要结论
⏹
（1）无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数。
⏹
（2）在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高的增长率。
⏹（3）人均产出（Y/L）的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。
⏹（4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律”增长。
⏹（5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；
储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响，且作用缓慢。
经济意义
⏹
（1）成为跨国经济绩效预期的基础。
条件收敛预期被广泛用来解释各国和地区经济增长
⏹
（2）除了资本积累，更重视技术进步。
提高储蓄率等政策不能改进经济增长绩效。
发展中国家不能只重视资本数量的积累，应更关注资本质量的提高
⏹（3）强调市场机制在经济增长过程中的作用。
无论经济处于什么样的初始状态，市场机制只要是完全的，就可以选择合适的资本—产出比，来保证充分就业
⏹（4）较早认识到人口增长对经济增长的影响。
索洛模型中经济增长是每单位有效劳动资本使用量的函数，人口增长是通过影响每个工人使用的资本量来影响产出水平的。
理论缺陷
（1）关于经济增长的条件收敛预期有悖经济事实。
（2）在缺少技术进步时，长期人均增长将会停止，不符合现实。
“令人不愉快的”推论
（3）由于技术变迁外生性，索洛模型并没有对这一经济增长源泉做出充分的解释
（4）K，L边际生产率递减的假定不符合实际
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