高中数学 基本知识基本思想基本方法复习教案Word文件下载.docx
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f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>
0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)是周期为2的周期函数;
5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);
6.a≥f(x)a≥[f(x)]max,;
a≤f(x)a≤[f(x)]min;
7.
(1)(a>
0,a≠1,b>
0,n∈R+);
(2)logaN=(a>
0,b≠1);
(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4)alogaN=N(a>
0,a≠1,N>
0);
8.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。
9.判断对应是否为映射时,抓住两点:
(1)A中元素必须都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
10.对于反函数,应掌握以下一些结论:
(1)定义域上的单调函数必有反函数;
(2)奇函数的反函数也是奇函数;
(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
(4)周期函数不存在反函数;
(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
(5)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A).
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;
二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:
一看开口方向;
二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
12.恒成立问题的处理方法:
(1)分离参数法;
(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;
13.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:
;
14.掌握函数
的图象和性质;
函
数
(b–ac≠0)
)
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
奇函数
单
调
性
当b-ac>
0时:
分别在上单调递减;
当b-ac<
分别在上单调递增;
在上单调递增;
图
象
y
X
o
X=-c
Y=a
x
三、数列
1.由Sn求an,an={注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不符合要单独列出。
一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式;
2.等差数列
3.等比数列
4.首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式解决;
5.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前n项和公式,在用等比数列前n项和公式时,勿忘分类讨论思想;
6.等差数列中,am=an+(n-m)d,;
等比数列中,an=amqn-m;
q=;
7.当m+n=p+q(m、n、p、q∈N*)时,对等差数列{an}有:
am+an=ap+aq;
对等比数列{an}有:
aman=apaq;
8.若{an}、{bn}是等差数列,则{kan+bbn}(k、b、a是非零常数)是等差数列;
若{an}、{bn}是等比数列,则{kan}、{anbn}等也是等比数列;
9.等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…)仍是等差(或等比)数列;
10.对等差数列{an},当项数为2n时,S偶—S奇=nd;
项数为2n-1时,S奇-S偶=a中(n∈N*);
11.若一阶线性递归数列an=kan-1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形式:
(n≥2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;
四、三角函数
1.三角函数符号规律记忆口诀:
一全正,二正弦,三是切,四余弦;
2.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;
3.记住同角三角函数的基本关系,熟练掌握三角函数的定义、图像、性质;
4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800,一般用正余弦定理实施边角互化;
5.正弦型函数的对称轴为;
对称中心为;
类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心;
6.
(1)正弦平方差公式:
sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B);
(2)三角形的内切圆半径r=;
(3)三角形的外接圆直径2R=
五、平面向量
1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。
(1)向量式:
a∥b(b≠0)a=b;
(2)坐标式:
a∥b(b≠0)x1y2-x2y1=0;
2.两个向量垂直的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)向量式:
a⊥b(b≠0)ab=0;
(2)坐标式:
a⊥bx1x2+y1y2=0;
3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab==x1x2+y1y2;
其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积;
4.设A(x1,x2)、B(x2,y2),则S⊿AOB=;
5.平面向量数量积的坐标表示:
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;
;
(2)若a=(x,y),则a2=aa=x2+y2,;
六、不等式
1.掌握不等式性质,注意使用条件;
2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式;
勿忘数轴标根法,零点分区间法;
3.掌握用均值不等式求最值的方法,在使用a+b≥(a>
0,b>
0)时要符合“一正二定三相等”;
注意均值不等式的一些变形,如
七、直线和圆的方程
1.设三角形的三个顶点是A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则⊿ABC的重心G为();
2.直线l1:
A1x+B1y+C1=0与l2:
A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0;
3.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是;
4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件:
A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>
0;
5.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:
x0x+y0y=r2;
6.以A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0;
7.求解线性规划问题的步骤是:
(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;
(2)作出可行域,写出目标函数;
(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解;
八、圆锥曲线方程
1.椭圆焦半径公式:
设P(x0,y0)为椭圆(a>
b>
0)上任一点,焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则
(e为离心率);
2.双曲线焦半径公式:
设P(x0,y0)为双曲线(a>
0)上任一点,焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:
(1)当P点在右支上时,
(2)当P点在左支上时,
另:
双曲线(a>
0)的渐进线方程为;
3.抛物线焦半径公式:
设P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>
0)上任意一点,F为焦点,则;
y2=2px(p<0)上任意一点,F为焦点,则;
4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题;
5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数,≠0);
6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式,
一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦长
这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想;
7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为,焦准距为p=,抛物线的通径为2p,焦准距为p;
双曲线(a>
0,b>
0)的焦点到渐进线的距离为b;
8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax2+Bx2=1;
9.抛物线y2=2px(p>
0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB,A(x1,y1)、B(x2,y2),则有如下结论:
(1)=x1+x2+p;
(2)y1y2=-p2,x1x2=;
10.过椭圆(a>
0)左焦点的焦点弦为AB,则,过右焦点的弦;
11.对于y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为(,y0),以简化计算;
12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设A(x1,y1)、B(x2,y2)为椭圆(a>
0)上不同的两点,M(x0,y0)是AB的中点,则KABKOM=;
对于双曲线(a>
0),类似可得:
KAB.KOM=;
对于y2=2px(p≠0)抛物线有KAB=
13.求轨迹的常用方法:
(1)直接法:
直接通过建立x、y之间的关系,构成F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法;
(2)待定系数法:
所求曲线是所学过的曲线:
如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可;
(3)代入法(相关点法或转移法):
若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化,并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先用x、y的代数式表示x1、y1,再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程;
(4)定义法:
如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程;
(5)参数法:
当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。
九、直线、平面、简单几何体
1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上;
2.已知:
直二面角M-AB-N中,AEM,BFN,∠EAB=,∠ABF=,异面直线AE与BF所成的角为,则
3.立平斜公式:
如图,AB和平面所成的角是,AC在平面内,AC和AB的射影AB成,设∠BAC=,则coscos=cos;
4.异面直线所成角的求法:
(1)平移法:
在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;
(2)补形法:
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系;
5.直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。
通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键;
6.二面角的求法
(1)定义法:
直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;
(2)三垂线法:
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;
(3)垂面法:
已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直;
(4)射影法:
利用面积射影公式S射=S原cos,其中为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;
特别:
对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法)。
7.空间距离的求法
(1)两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算;
(2)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解;
(3)求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已知面的垂面是关键;
二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解;
8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为,则S侧cos=S底;
9.已知:
长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2+cos2+cos2=1;
若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;
10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长;
11.欧拉公式:
如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F-E=2;
并且棱数E=各顶点连着的棱数和的一半=各面边数和的一半;
12.球的体积公式V=,表面积公式;
掌握球面上两点A、B间的距离求法:
(1)计算线段AB的长,
(2)计算球心角∠AOB的弧度数;
(3)用弧长公式计算劣弧AB的长;
十、排列组合和概率
1.排列数公式:
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)…3.2.1;
2.组合数公式:
(m≤n),;
3.组合数性质:
4.常用性质:
n.n!
=(n+1)!
-n!
即
(1≤r≤n);
5.二项式定理:
(1)掌握二项展开式的通项:
(2)注意第r+1项二项式系数与第r+1系数的区别;
6.二项式系数具有下列性质:
(1)与首末两端等距离的二项式系数相等;
(2)若n为偶数,中间一项(第+1项)的二项式系数最大;
若n为奇数,中间两项(第和+1项)的二项式系数最大;
7.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f
(1);
奇数项系数和为;
偶数项的系数和为;
8.等可能事件的概率公式:
(1)P(A)=;
(2)互斥事件分别发生的概率公式为:
P(A+B)=P(A)+P(B);
(3)相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)=P(A)P(B);
(4)独立重复试验概率公式Pn(k)=(5)如果事件A、B互斥,那么事件A与、与及事件与也都是互斥事件;
(6)如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1-P(AB)=1-P(A)P(B);
(6)如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个发生的概率是1-P()=1-P()P();
理科选修内容基本知识
十、概率与统计
1.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:
(1)pi≥0,i=1,2,…;
(2)p1+p2+…=1;
2.二项分布:
记作~B(n,p),其中n,p为参数,并记;
3.记住以下重要公式和结论:
x1
X2
…
xn
P
P1
P2
Pn
(1)期望值E=x1p1+x2p2+…+xnpn+…;
(2)方差D=
(3)标准差
(4)若~B(n,p),则E=np,D=npq,这里q=1-p;
4.掌握抽样的三种方法:
(1)简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法);
(2)系统抽样,也叫等距离抽样;
(3)分层抽样,常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形;
5.总体分布的估计:
用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图;
6.正态总体的概率密度函数:
式中是参数,分别表示总体的平均数与标准差;
7.正态曲线的性质:
(1)曲线在x=时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降低;
(2)曲线的对称轴位置由确定;
曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖;
反过来曲线越高瘦;
(3)曲线在x轴上方,并且关于直线x=对称;
8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布的概率P(x1<
<
x2),可由变换而得,于是有P(x1<
x2)=;
9.假设检验的基本思想:
(1)提出统计假设,确定随机变量服从正态分布;
(2)确定一次试验中的取值a是否落入范围;
(3)作出推断:
如果a∈,接受统计假设;
如果a,由于这是小概率事件,就拒绝假设;
十一、极限
1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明,其步骤是:
(1)验证命题对于第一个自然数n=n0(k≥n0)时成立;
(2)假设n=k时成立,从而证明当n=k+1时命题也成立,(3)得出结论。
数学归纳法是一种完全归纳法,其中两步在推理中的作用是:
第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,二者缺一不可。
第二步证明时要一凑假设,二凑结论;
2.数列极限
(1)掌握数列极限的直观描述性定义;
(2)掌握数列极限的四则运算法则,注意其适用条件:
一是数列{an}{bn}的极限都存在;
二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商,对于无限个数列的和(或积),应先求和(或积),再求极限;
(3)常用的几个数列极限:
(C为常数);
,(<
1,q为常数);
(4)无穷递缩等比数列各项和公式(0<
);
3.函数的极限:
(1)当x趋向于无穷大时,函数的极限为a
(2)当时函数的极限为a
:
(3)掌握函数极限的四则运算法则;
4.函数的连续性:
(1)如果对函数f(x)在点x=x0处及其附近有定义,而且还有,就说函数f(x)在点x0处连续;
(2)若f(x)与g(x)都在点x0处连续,则f(x)±
g(x),f(x)g(x),(g(x)≠0)也在点x0处连续;
(3)若u(x)在点x0处连续,且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处也连续;
5.初等函数的连续性:
①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;
②基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;
③连续函数的极限运算:
如果函数在点x0处有极限,那么;
十二、导数
1.导数的定义:
f(x)在点x0处的导数记作
2.根据导数的定义,求函数的导数步骤为:
(1)求函数的增量
(2)
(2)求平均变化率;
(3)取极限,得导数;
3.可导与连续的关系:
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续;
但是y=f(x)在点x0处连续却不一定可导;
4.导数的几何意义:
曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是相应地,切线方程是
5.导数的四则运算法则:
6.常见函数的导数公式:
7.复合函数的导数:
8.导数的应用:
(1)利用导数判断函数的单调性:
设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果那么f(x)为增函数;
如果那么f(x)为减函数;
如果在某个区间内恒有那么f(x)为常数;
(2)求可导函数极值的步骤:
①求导数;
②求方程的根;
③检验在方程根的左右的符号,如果左正右负,那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值;
如果左负右正,那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值;
(3)求可导函数最大值与最小值的步骤:
①求y=f(x)在(a,b)内的极值;
②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值。
十四、复数
1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和复数的几何表示;
2.熟练掌握、灵活运用以下结论:
(1)a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R);
(2)复数是实数的条件:
①z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R);
②z∈Rz=;
③z∈Rz2≥0;
3.复数是纯虚数的条件:
①z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R);
②z是纯虚数z+=0(z≠0);
③z是纯虚数z2<
0;
4.解答复数问题,要学会从整体的角度出发去分析和求解(整体思想贯穿整个复数内容)。
如果遇到复数就设z=a+bi(a,b∈R),则有时会给问题的解答带来不必要的运算上困难,若能把握住复数的整体性质,充分运用整体思想,则能事半功倍;
5.复数的代数形式及其运算:
(1)复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R);
z1±
z2=(a+b)±
(c+d)i.z1.z2=(a+bi)·
(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)I;
z1÷
z2=(z2≠0);
6.几个重要的结论:
6.运算律仍然成立:
(1)
7.进行复数的运算时,常要注意或适当变形创造条件,从而转化为关于计算问题.注意以下结论的灵活应用:
8.;
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