高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版.docx

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高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

（全国卷I新课标）

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2013课标全国Ⅰ，文1）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝（　　）．

A．{1,4}B．{2,3}C．{9,16}D．{1,2}

2．（2013课标全国Ⅰ，文2）＝（　　）．

A．B．C．D．

3．（2013课标全国Ⅰ，文3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）．

A．B．C．D．

4．（2013课标全国Ⅰ，文4）已知双曲线C：

（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）．

A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝±x

5．（2013课标全国Ⅰ，文5）已知命题p：

∀x∈R,2x＜3x；命题q：

∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是（　　）．

A．p∧qB．p∧qC．p∧qD．p∧q

6．（2013课标全国Ⅰ，文6）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（　　）．

A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an

7．（2013课标全国Ⅰ，文7）执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于（　　）．

A．[－3,4]B．[－5,2]

C．[－4,3]D．[－2,5]

8．（2013课标全国Ⅰ，文8）O为坐标原点，F为抛物线C：

y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为（　　）．

A．2B．C．D．4

9．（2013课标全国Ⅰ，文9）函数f（x）＝（1－cosx）sinx在[－π，π]的图像大致为（　　）．

10．（2013课标全国Ⅰ，文10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（　　）．

A．10B．9C．8D．5

11．（2013课标全国Ⅰ，文11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）．

A．16＋8π

B．8＋8π

C．16＋16π

D．8＋16π

12．（2013课标全国Ⅰ，文12）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）．

A．（－∞，0]B．（－∞，1]

C．[－2,1]D．[－2,0]

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13．（2013课标全国Ⅰ，文13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋（1－t）b.若b·c＝0，则t＝______.

14．（2013课标全国Ⅰ，文14）设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为______．

15．（2013课标全国Ⅰ，文15）已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．

16．（2013课标全国Ⅰ，文16）设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝______.

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（2013课标全国Ⅰ，文17）（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18．（2013课标全国Ⅰ，文18）（本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：

h）．试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5

（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

19．（2013课标全国Ⅰ，文19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

（1）证明：

AB⊥A1C；

（2）若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

20．（2013课标全国Ⅰ，文20）（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

21．（2013课标全国Ⅰ，文21）（本小题满分12分）已知圆M：

（x＋1）2＋y2＝1，圆N：

（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答．注意：

只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．（2013课标全国Ⅰ，文22）（本小题满分10分）选修4—1：

几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

23．（2013课标全国Ⅰ，文23）（本小题满分10分）选修4—4：

坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）．

24．（2013课标全国Ⅰ，文24）（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（2）设a＞－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

（全国卷I新课标）

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．

答案：

A

解析：

∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，

∴A∩B＝{1,4}．

2．

答案：

B

解析：

＝.

3．

答案：

B

解析：

由题意知总事件数为6，且分别为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），满足条件的事件数是2，所以所求的概率为.

4．

答案：

C

解析：

∵，∴，即.

∵c2＝a2＋b2，∴.∴.

∵双曲线的渐近线方程为，

∴渐近线方程为.故选C.

5．

答案：

B

解析：

由20＝30知，p为假命题．令h（x）＝x3－1＋x2，

∵h（0）＝－1＜0，h

（1）＝1＞0，

∴x3－1＋x2＝0在（0,1）内有解．

∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.

6．

答案：

D

解析：

＝3－2an，故选D.

7．

答案：

A

解析：

当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3）．

当1≤t≤3时，s＝4t－t2.

∵该函数的对称轴为t＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．

∴smax＝4，smin＝3.

∴s∈[3,4]．

综上知s∈[－3,4]．故选A.

8．

答案：

C

解析：

利用|PF|＝，可得xP＝.

∴yP＝.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝.

故选C.

9．

答案：

C

解析：

由f（x）＝（1－cosx）sinx知其为奇函数．可排除B．当x∈时，f（x）＞0，排除A.

当x∈（0，π）时，f′（x）＝sin2x＋cosx（1－cosx）＝－2cos2x＋cosx＋1.

令f′（x）＝0，得.

故极值点为，可排除D，故选C.

10．

答案：

D

解析：

由23cos2A＋cos2A＝0，得cos2A＝.

∵A∈，∴cosA＝.

∵cosA＝，∴b＝5或（舍）．

故选D.

11．

答案：

A

解析：

该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

V半圆柱＝π×22×4＝8π，

V长方体＝4×2×2＝16.

所以所求体积为16＋8π.故选A.

12．

答案：

D

解析：

可画出|f（x）|的图象如图所示．

当a＞0时，y＝ax与y＝|f（x）|恒有公共点，所以排除B，C；

当a≤0时，若x＞0，则|f（x）|≥ax恒成立．

若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x2＋2x|相切为界限，

由得x2－（a＋2）x＝0.

∵Δ＝（a＋2）2＝0，∴a＝－2.

∴a∈[－2,0]．故选D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13．答案：

2

解析：

∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝.

∴b·c＝[ta＋（1－t）b]·b＝0，

即ta·b＋（1－t）b2＝0.

∴＋1－t＝0.

∴t＝2.

14．答案：

3

解析：

画出可行域如图所示．

画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A（3,3）时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.

15．答案：

解析：

如图，

设球O的半径为R，

则AH＝，

OH＝.

又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.

∵在Rt△OEH中，R2＝，∴R2＝.

∴S球＝4πR2＝.

16．答案：

解析：

∵f（x）＝sinx－2cosx＝sin（x－φ），

其中sinφ＝，cosφ＝.

当x－φ＝2kπ＋（k∈Z）时，f（x）取最大值．

即θ－φ＝2kπ＋（k∈Z），θ＝2kπ＋＋φ（k∈Z）．

∴cosθ＝＝－sinφ＝.

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．

解：

（1）设{an}的公差为d，则Sn＝.

由已知可得

解得a1＝1，d＝－1.

故{an}的通项公式为an＝2－n.

（2）由

（1）知＝，

从而数列的前n项和为

＝.

18．

解：

（1）设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.

由观测结果可得

＝（0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5）

＝2.3，

＝（0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2）

＝1.6.

由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．

（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．

19．