高考一轮数学复习教案精品 第七节解三角形应用举例含答案.docx

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高考一轮数学复习教案精品第七节解三角形应用举例含答案

第七节解三角形应用举例

本节主要包括3个知识点：

1.距离问题；　2.高度问题；3.角度问题.

突破点

（一）　距离问题

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1．测量距离问题的三种类型

（1）两点间不可达又不可视．

（2）两点间可视但不可达．

（3）两点都不可达．

2．解决距离问题的方法

选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

两点都不可到达的距离问题

[例1]　如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠ACB＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠ADB＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.

若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．

[解]　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，

∴∠DAC＝60°，∴AC＝CD＝（km）．

在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠DCB＝45°，

由正弦定理，得BC＝·sin∠CDB＝·sin30°＝.

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB

＝＋－2×××＝.

∴AB＝（km）．即A，B两点间的距离为km.

两点不可到达又不可视的距离问题

[例2]　如图所示，要测量一座山的山脚两侧A，B两点间的距离，其方法为先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.

若测得AC＝400m，BC＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．

[解]　在△ABC中，由余弦定理得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，

∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.

∴AB＝200（m）．

即A，B两点间的距离为200m.

两点间可视但有一点不可到达的距离问题

[例3]　如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法是在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠BAC＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.

若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.

[解析]　在△ABC中，B＝180°－75°－45°＝60°，

所以由正弦定理得，＝，

∴AB＝＝＝20（m）．

即A，B两点间的距离为20m.

[答案]　20

[方法技巧]

距离问题的求解策略

（1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为（　　）

A．50mB．50m

C．25mD.m

解析：

选A　由题，B＝30°，由正弦定理得

AB＝＝＝50（m）．

2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：

（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a；④测量a，b，B.则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（　　）

A．①②③B．②③④

C．①③④D．①②③④

解析：

选A　已知三角形的两角及一边，可以确定三角形，故①③正确；已知两边及其夹角，可以确定三角形，故②正确；已知两边与其中一边的对角，三角形的个数可能为一个、两个或零个，即三角形不能唯一确定，故④错误．

3.如图，为了测量两座山峰上两点P，Q之间的距离，选择山坡上一段长度为300米且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________米．

解析：

设AQ∩PB＝C（图略），可知∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°，又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴△ABQ为等腰三角形，∴AC＝CQ，BC⊥AQ，∴△PQA为等腰三角形，∵∠PAQ＝60°，∴△PQA为等边三角形，故PQ＝AQ，在Rt△ACB中，AC＝AB·sin60°＝300×＝，∴PQ＝AQ＝900.故P，Q两点间的距离为900米．

答案：

900

4.如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC＝，

∠BAD＝，AB＝BC＝400米，AD＝250米，则应开凿的隧道CD的长为________．

解析：

在△ABC中，AB＝BC＝400，∠ABC＝，所以△ABC为等边三角形，所以AC＝400，∠ACB＝.又因为∠BAC＝，∠BAD＝，所以∠DAC＝∠BAD－∠BAC＝.在△ADC中，AD＝250，AC＝400，∠DAC＝，由余弦定理可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠DAC，即CD2＝2502＋4002－2×250×400×cos.解得CD＝350（米）．

答案：

350米

5.要测量河对岸A，B两点之间的距离，选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为________km.

解析：

如图所示，在△ACD中，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，则∠CAD＝∠ADC＝30°，

∴AC＝CD＝（km）．

在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，则∠CBD＝60°.

∴由正弦定理得BC＝＝.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝（）2＋2－2×××cos75°＝3＋2＋－＝5，

∴AB＝（km），即A，B之间的距离为km.

答案：

突破点

（二）　高度问题

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．

2．坡角与坡度

坡面与水平面所成的二面角的度数叫坡角（如图②，角θ为坡角）；坡面的铅直高度与水平长度之比叫坡度（如图②，i为坡度），坡度又称为坡比．

考点

贯通

抓高考命题的“形”与“神”

测量高度问题

[典例]　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

[解析]　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，

∠ABC＝180°－75°＝105°，

故∠ACB＝45°.

又AB＝600m，

故由正弦定理得＝，

解得BC＝300m.

在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300×＝100（m）．

[答案]　100

[方法技巧]

求解高度问题的三个关注点

（1）在处理有关高度问题时，关键是要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角）的含义．

（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．

（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　　

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是（　　）

A.米B.米

C．200米D．200米

解析：

选A　如图所示，AB为山高，CD为塔高，则由题意知，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝200（米）．则AC＝＝（米）．在△ACD中，∠CAD＝60°－30°＝30°，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°.由正弦定理得＝，∴CD＝＝（米）．

2．（2017·宁波期中）某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为（　　）

A．20mB．20（1＋）m

C．10（＋）mD．20（＋）m

解析：

选B　如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故AE＝DE＝AB＝20m，CE＝AE·tan60°＝20m.所以CD＝20（1＋）m，故选B.

3.如图，塔AB底部为点B，若C，D两点相距为100m并且与点B在同一水平线上，现从C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，则塔AB的高约为（精确到0.1m，≈1.73，≈1.41）（　　）

A．36.4m　　　　B．115.6m

C．120.5m　　　　D．136.5m

解析：

选D　由题，∠DAC＝∠ACB－∠ADC＝15°.在△ACD中，＝，所以AC＝＝＝m，在Rt△ABC中，AB＝AC＝＝50（＋1）≈136.5m.

4．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．

解：

如图，设电视塔AB高为xm，

则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.

在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，

则BD＝x.

在△BDC中，由余弦定理得，

BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，

即（x）2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，

解得x＝40，所以电视塔高为40m.

突破点（三）　角度问题

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图①）．

2．方向角

相对于某一正方向的水平角

（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图②）；

（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；

（3）南偏西等其他方向角类似．

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

测量角度问题

[典例]　在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

[解]　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，

则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.

根据余弦定理得（14x）2＝122＋（10x）2－240xcos120°，

解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.

根据正弦定理得＝，

解得sinα＝＝.

所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.

[方法技巧]

解决角度问题的三个注意事项

（1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．

（2）求角的大小时，