中学数学中函数思想与方法的研究docWord下载.docx
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2屮学数学函数的有关内容与概念简述2
2」函数的定义及有关概念2
2.2函数的分类2
2.3函数的性质3
3函数思想的研究4
3」函数思想的形成与发展5
3.2函数思想与其他数学思想的关系5
3.3函数思想研究的意义6
4函数思想与方法在解题屮的运用7
4」用函数思想解各类题型8
4.2函数思想在各数学领域的应用10
4.3抽象函数求解的问题11
5函数思想与方法在教学屮的体现13
5」函数思想在教学屮的应用与实践13
5.2新课程屮函数思想及其教学思考14
5.3小学生函数思想的培养14
6小结16
参考文献17
致谢错误！
未定义书签。
1前言
在屮学数学阶段，函数这一块内容人了很大一块比例，不管是从内容的量方面还是难易程度上，都具有一定的代表性，而且，不管在屮考还是在高考过程屮，这一块考到的内容可以说是最多最普遍的.这足以说明它的重要性和价值.因为函数思想不仅可以解决函数木身的问题，我们还可以借助函数来解决一些其他与Z有关的问题，这一点，木文会在下血论述的过稈屮具体展开.它还会对我们報个的数学教学有一定的帮助与煤响.所以说，我们来探究函数及如思想与方法是非常有必要的.
函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律.函数的思想方法就是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征，建立函数关系，并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法.函数思想是最基本的数学思想,它形成于17世纪,300多年来得到了发挥并有着广泛的应用.函数思想的木质特征是反映量与量Z间的运动变化的关系，其核心内容是对应关系⑴.在教学屮,教师应注意揭示函数与这内容的内在联系,引导学生在整个数学课程的学习中不断体会、理解函数思想带来的好处⑵.
本文主要从以下几个方血对函数思想与方法进行研究.首先简要地对屮学阶段的有关函数的知识做一个阐述，从函数的定义及有关概念、函数的分类、函数的性质等几方血进行论述.只有对中学数学屮的函数这一块内容有所了解，才能从木质上更加深入地进行有关函数思想与方法的探讨.然后，再进一步系统阐述函数思想的有关其形成与发展的情况，以及函数思想与其他数学思想的关系.最重要的是要说明研究函数思想的现实意义.Z麻还会结合具体的实例来说明函数思想与方法在具体解题过程屮的重要作川，主要是用函数思想解决各类题型以及它在其它各领域的应甩还有就是对一类抽象函数的讨论，这显得尤为重要,因为它是学生在学习过程中的难点.最后再来探讨函数思想在教冇实践过稈屮的应用与价值，以及如何培养屮学生在学习过稈屮函数思想的建立，从而促进教学的发展.
2中学数学函数的有关内容与概念简述
2.1函数的定义及有关概念
函数与我们的生活息息相关，在生活屮处处部存在着函数知识.
定义2・1在一个过程屮，固定不变的量称为常量.
定义2・2可以取不同数值的量称为变量.
定义23一般地，在某个变化过稈中，设有两个变量兀，y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值,那么就说y是X的函数（function）,兀叫做自变量（independentvariable）.
定义2.4表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式.用函数解析式表示函数的方法也叫解析法.
定义2.5把自变量兀的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法是列表法.
当然，对于函数的定义，还有另一种描述.
定义2.6设4,〃是非空的数集，如果按某个确定的对应关系/,使对于集合4屮的任意一个数x,在集合B屮都有唯一确定的数/（x）和它对应，那么就称/M->
B为从集合A到集合B的一个函数（function）,记作：
y=/（兀），xeA.
其屮，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与X的值相应的y的值叫做函数值，函数值的集合｛/（a-）IxeA｝叫做函数的值域.显然，值域是集合力的子集⑶.
2.2函数的分类
函数的分类行多种分法，但是最为普遍且最大的两类就是代数函数与超越函数.但是它们都是属于初等函数的.即基木初等函数以及由它们经有限次四则运算与父合而得到的初等函数⑷.因为在初屮阶段，我们接触的函数都是初等函数.
基木初等函数的类型有：
常数函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.而上述六类函数以及由它们经有限次四则运算与复合而得到的函数，统称为初等函数⑷.
变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数.如对数函数，反三角函数，指数函数，三角函数等就属于超越函数，如），=於，y=cosx.它们属于初等函数屮的初等超越函数.非超越函数则称为代数函数.
而对于基木初等函数，就有如下的定义：
定义2.7对定义域屮的一切x对应的函数值都取某个固定的常数的函数叫做常数函数.
定义2.8—般地，函数y=叫做幕函数（powerfunction），其屮x是自变量，Q是常
数.
定义2.9—般地，函数y=cr'
（°
〉0,且aH1）叫做指数函数（exponentialfunction）,其中x是白变量，函数的定义域是/?
.
定义2・1（）一般地,我们把函数y=logax（a>
0,且aHl）叫做对数函数（logarithmicfunction）,其中兀是自变量，函数的定义域是（0,+oc）.
定义2.11正弦、余弦、正切都是以角为白变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数（trigonometricfunction）.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数.当然，除了这三个三角函数以外，还有余切、正割、余割函数.
定义2.12三角函数的反函数叫做反三角函数.
2.3函数的性质
对于函数性质的研究，极为重要，也是必要的，因为它对我们能够更好地掌握函数有着极大地帮助，这种作用是不容忽视地.
研究函数性质的基木方法是作出函数图像、借助玄观、观察归纳、和对解析式进行讨论,进而证明观察所得出的结论⑸.函数图像丿'
'
、/「川与函数性质的研究是极为重要的.熟练地丿迸用图像的特征，对于解题会起到很大的作用，并对于形数结合，综合运用知识，也具有重要的意义，这就首先要求能作岀其图像⑹.
而对于函数的儿个性质，归纳如下：
定义2.13如果对于变量x所考虑的范用（用D表示）内，存在一个正数使在D上的函数值/（x）都满足
/M-M，
则称函数y=/（x）在D上有界，亦称/&
）在D上是有界函数.如杲不存在这样的正数M,则称函数y=/（x）在D上无界，亦称/（兀）在D上是无界函数.
定义2.14如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个白变量的值舜，兀2,当x.<
x2时，都有/（x1）<
/（x2）,那么就说函数/（x）在区间D上是增函数（increasingfunction）;
如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个自变量的值X】，%2,当坷v兀2时，部有/U）>
/（x2）,那么就说函数于（兀）在区间£
>
上是减函数（decreasingfunction）（31.
定义2.15一般地，如果对于函数/（兀）在区间D内的任意一个.祁有/（-x）=/（x）,那么/'
（X）就叫做偶函数（evenfunchon）;
—般地，如果对于函数/'
（x）在区间£
）内的任意一个X,祁有/（-x）=-/（x）,那么/（兀）就叫做奇函数（oddfunction）.
定义2.16对于函数y=/（x）,假如存在一个不为零的常数使得当x取定义域内的每一个值时，/（x+T）=/（x）都成立，那么就把函数y=/&
）叫做周期函数，不为零的常数丁叫做这个函数的周期.
定义2.17函数的最值：
设函数y=/（x）的定义域为/,如果存在实数M满足：
（1）对于任意实数都有/（x）>
M,
（2）存在x0e/.使得/（x0）=M,那么，我们称数M是函数=/&
）的最小值；
设函数y=/（a-）的定义域为/,如果存在实数M满足：
（1）对于任意实数xeh都有/（x）<
M,⑵存在x（）eZ.使得=那么，我们称数M是函数）,=/（兀）的最大值⑶.
以上就是木文对屮学阶段的函数的有关知识的总结.
3函数思想的研究
3.1函数思想的形成与发展
函数是屮学数学的一个重要概念，初屮阶段主要学习一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数.尽管内容不多，但函数的思想己经有所体现，仍占据着重要地位.基础知识是否牢固，函数的思想是否基木形成，对高中阶段的进一步学习祁有着相当大的影响.
函数的思想方法主要包括以下儿方面：
运用函数的有关性质解决函数的某些问题；
以运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决；
经过适当的数学变化和构造，使一个非函数的问题转化为函数的形式，并运用函数的性质来处理这一问题.
方稈与函数是数学教冇的重要内容.方稈在17世纪以前可以说是代数的代名词，从算术到方稈是数学思想方法的一次重大飞跃.函数的产生为数学注入了活力，使数学成为研究变化世界的有力工具.运用方程与函数的观点和方法处理和解决自然和社会屮未知数或变量2间的关系问题是一种重要的数学思想方法⑺.
函数思想是最基木的数学思想，它形成于17世纪,3（）0多年来得到了发挥并有着广泛的
应用.函数思想的木质特征是反映量与量Z间的运动变化的关系，其核心内容是对应关系
Hl
3.2函数思想与其他数学思想的关系
1函数思想与数形结合的思想
在学习函数这一块内容的过程屮，研究函数的单调性、周期性、有界性、奇偶性等性质,
函数的图彖是我们最感兴趣的问题也是我们碰到的最为普遍的几个问题.因为有了函数图象，可直观的认识函数的性质，使研究直观化、简单化，这种与图形相联系来研究函数,就是数形结合的思想凶.数形结合思想可以说是我们在研究函数的过稈中战方便，也是最容易想到的方法2—.当然，在tai函数图像时不仅可以按照列表、描点、连结大家所熟知的作图方法，而是指怎样利用课本上已给出的基木初等函数的图像作出其他函数的图像⑹.尤
••3•5
其是对复合函数图像的讨论，更是重要.比如说s】nx,sin%,sinx等函数图像的比较
[9]
数学屮对函数的研究是离不开数形结合的思想.最简单的…种就是数与数轴的研究，因为它是在一维的情况下进行的.在对各种初等函数的研究过稈屮，无不与图象结合在一起研究.特别是三角函数的学习屮，三角函数的性质也是借助图彖得到的.
2函数思想与分类讨论的思想
依据数学研究对彖木质属性的相同点和养异点，将数学对彖分为不同种类的数学思想即为分类的思想，这是解决问题的一种逻辑方法，当然也是一种数学思想，而且是一种常用的数学思想，在幣个数学的学习过程屮也同样具有一定的地位与作用.
屮学数学分类讨论的思想也是无处不在，对于正比例函数y二也的函数值根据x的值大于零、小于零或等于零三种情况来确定，在对于函数单调性的研究过稈屮，对一次函数y=b+b单调性的研究，要对一次函数的一次项系数£
分大于零或小于零两种情况来讨论,
而对二次函数y=ax2+bx+c则首先要按其二次项系数的大于零还是小于零，即其开口方向分类，然后再根据所给区间与二次函数的对称轴的关系来分类讨论；
同样地，在学习三角函数时，由周期性来进行分类.指数函数与对数函数根据底数来进行讨论.当然，除了函数单调性以外，在研究其它方血的知识时，也同样会川到分类讨论的思想凶.
3函数思想与构造思想
根据条件和结论的结构特征，利用备知识间的内在联系，有目的地构造一特定的数学模世，从而使问题得以解决的思想，即构造思想.
在中学函数的学习屮，在理论部分，如基木初等函数其实就是一些构造性的定义.利用这些已定义好的基木初等函数进而来衍生出初等函数；
而在应用方面：
一是从实际问题屮抽象、概括岀相应的函数模型，使得对实际问题得以解决，对于这一类问题，我们可能用到的会比较多；
二是构造函数模型來反应若干个静态与动态的关系,这种情况也是普遍存在的|«
1
3.3函数思想研究的意义
首先，不得不承认函数这一块内容在屮学数学屮的重要性与所占比重是多么的大.函数
可以说是屮学数学屮最重要的纟H.成部分乙一.而且有的时候几何的有关知识可以借助函数来理解，而几何学的有关题li,可以通过建立函数，并且往往这样做会更使我们印象深刻.所以说函数可以连接几何学与代数学的有关知识.还有，函数这块内容是始终贯穿整个数学学习的，从最简单的一次函数，二次函数，到后面的三角函数、指数函数、对数函数等等，再到幕函数等更为复杂的函数类型.还有一些是复合的函数研究，这些内容都是紧紧贯穿整个屮学阶段的数学学习的.如果学生能够系统地掌握函数内容，相信会对数学的其他知识的学习带来一定的帮助，起到一定地推动作川，对于学生函数思想的养成，也会有一定地辅助作用.函数这一块内容在屮学数学屮所r1!
的比重，以及它在具体考试屮所涉及到的内容与比例那就更为明显了.所以，我们只有认真地研究这个问题，才能了解它的重要性以及我们在教学过程屮应注愆哪些问题，才能更好地促进教师的教与学生的学，才能真真体现出新课标的教学理念，真正做到科学地学习.所以，对于函数思想的研究具有极大的现实意义.
4函数思想与方法在解题中的运用
4.1用函数思想解各类题型
川函数思想解备类题型是比较普遍的.当然，木文所讲的备类题世是指：
选择题、填空题、解答题等等.下面将一一进行说明：
题型一：
选择
例1已知函数/（3x）=log2（牛1,则/
（1）的值是（）1101
A.-B.lC.log.75D.2
2-
木题是一个有关函数值计算的问题，但不是纯粹地将白变量代入，求出它的值即可，因为在已知条件屮，给出的是/（3兀），而不是/（x）.所以，要算/
（1）,不能把兀=1代入函数解析式，而是首先要根据已知条件，求出/（x）,再在求出的/（兀）表达式屮，令兀=1.当然这迅大题冃的做法，对于选择题，我们也可以这样考虑，育接在/（3x）的解析式中令x=-即可，所求出来的函数值也是一样的.当然在具体求解过程屮，也比较复杂，它涉及到算术平方根以及对数的计算，最示算出的结果是/（!
）=-,所以应该选A.
2
所以，从以上的解题说明过稈屮，我们可以发现，在用函数思想解选择题的时候，不仅可以用常规方法，而且在具体的解题过程中，可以运用某些解题技巧，包括特殊值法、图像法等等.凡是能把题目做出来的方法，就是好办法.尤其是在做选择题的时候，这种非常规的方法有时更管用，解题更方便.
当然这些方法在做填空题的时候，也可以运用.
题型二：
填空题
例2若二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=心2+处+p,使得2山）・2”'
）在（-00,+00）上单调递减，试写出满足上述要求的函数：
/（x）=,g（x）=.（填上
你认为正确的一组函数即可，不必考虑所有可能情况）［⑼
其实，在解这道题的时候，也是特殊值法的运用，就是让我们来找两个二次函数/（X）和g（x）,使得它满足题意.当然在找的过程屮，首先要对题li的来龙去脉有个了解，不能盲目地找，这是考察我们有关函数知识是不是学的透，学得活.然后再来找，就显得比较轻松T.这里考察我们的有函数的增减性以及代数的计算，它是不可能把所有的情况部找到的,
所以就让学生巧妙地解题，采用特殊值法来进行验算，得出结论.这里，我提供一纟H.答案:
/（x）=x2+x+1,^（x）=-x2一2兀+1.
通过上面的这个填空题，我们也可以看到，运用函数思想解填空题的时候，也可以采用与解选择题的方法一样，运用技巧，包括特殊值法或图像法等，这样解题更方便，更有效.当然这样解题还存在着不足，就是可能会考虑的不够完整.
所以，在解选择题以及填空题的时候，我们要综合考虑，不能缺少条件，当然也不要多.
题型三：
解答题
例3已知/
（1）=2,对于正整数〃，/（n+l）=/2（H）-/（n）+l,求证：
对于正整数
分析与解答：
由已知f（n+1）=+1可得
/（n+l）-l=/（nX/（n）-l），
又由/
（1）=2和上述递推式易知/（〃）为增函数，并且
/（刃+1）-1-1）/（«
）-!
/（〃）’El
111
/GO/GO-1巾+1）-「
将〃=1,2,3,…丿分别代入上式并相加，可得
V=<
1
认）5）一1弘+1）一1"
所以对于正整数h>
2,有
—!
—I—!
—I—I—!
—<
/（0/
（2）巾）
得到木题的结论有两个比较关键的步骤，一是由已知条件恒等变形得到关于亠的一，f\n）
个递推式；
二是得到递推式以后把所有的〃代进去并相加的做法•其实，从这个题日我们也
可以看出，函数是可以和许多其他的知识联系在一起探讨的，这里就是与不等式联系在一起,
使得问题复杂化.
卜面，木文将具体讨论这个问题，就是函数思想在其他备领域的应用.
1函数思想在解方程中的应用
函数与方稈有着内在联系，这里主要探讨的是函数思想对方程所起到的作用.对方程等
内容的研究都可统一到函数思想下进行研究，比如大家熟悉的解方=0的问题，就
是求其所对应的函数/（x）的零点.所以，我们在具体解题过程小，首先应该想到用函数思
解：
原方程可变形为:
令/（x）=logjjx?
+1+x）,则有
a"
*+1+x）=_/（x）.
/（-x）=log"
（jF+l_x）=-log
/（兀）是奇函数且在/?
上为单调函数,
•■•/&
）=/-弓’
\/丿
X
从而x=—,x=0.
2函数思想在数列中的应用
数列的实质是函数，它是一种定义域为离散点的一种特殊的函数.用函数思想解数列,
能够加深对数列概念以及公式的理解，加强知识点Z间的联系，增强化归能力.
例5已知数列｛%｝,a〃=S+lfl—,求数列匕｝|瑕大项2.
分析：
要求仏｝屮的最大项，当然应从研究数列各项的值的大小变化入手，相当于研究函数的单调性，但从形式上无法判断，只有借川单调性的定义来判断.
解:
%宀=（“+2（1一制_（“+1〔1一制冷閑（9-”）・
当15〃v9（〃wN）时，tzn+1>
an,即67]<
a2-•<
a9;
—9时，d“+]=（Xn,即％（）=Cig;
当n>
9（neN）时,a/l+l<
an,即a10>
aH>
an••-
故数列的最大值项为％。
=a9=^.
3函数思想在不等式证明中的应用
函数在解不等式问题时，也起着重要的作用，可以说函数与不等式是不可分割的.
例6已知锐角三角形4BC,求证sinA+sinB+sinC>
cosA+cosB+cosC.
如果木题用三角公式来求太麻烦了，根据结构构造三角函数就可以简便解出.
TTTTTT
证明：
因为均为锐角，所以A+B>
-,则Ov——B<
A<
—,
222
（Ji\（JiA
令y=sinxxe0,—,由y=sin兀在0,—的单调性，
I2丿I2丿
即：
/、
71
sinA>
sinB=cosB,
\2丿
同理sinB>
cosC,s
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