高中数学 第三章 概率 31 事件与频率 313 频率与概率教学案 新人教B版必修3Word文档下载推荐.docx

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1．下列说法正确的是（　　）

A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女

B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖

C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大

D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1

解析：

选D　一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；

中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；

10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．

2．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明（　　）

A．该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件

B．该厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件

C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10000件产品中没有不合格产品

D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%

选D　合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．

利用频率与概率的关系求概率

[典例]　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：

小时）进行了统计，统计结果如表所示：

分组

[500,900）

[900,1100）

[1100,1300）

频数

48

121

208

频率

[1300,1500）

[1500,1700）

[1700,1900）

[1900，＋∞）

223

193

165

42

（1）求各组的频率；

（2）根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．

[解]　

（1）频率依次是：

0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.

（2）样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，

所以样本中寿命不足1500小时的频率是

＝0.6.

即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.

随机事件概率的理解及求法

（1）理解：

概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．

（2）求法：

通过公式fn（A）＝

＝

计算出频率，再由频率估算概率．　

国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：

抽取球数目

50

100

200

500

1000

2000

优等品数目

45

92

194

470

954

1902

优等品频率

（1）计算表中优等品的各个频率；

（2）从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？

解：

（1）如表所示：

0.9

0.92

0.97

0.94

0.954

0.951

（2）根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.

[层级一　学业水平达标]

1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（　　）

A.

　　　　　　　　　　B.

C.

D.

选D　抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：

正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为

.

2．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指（　　）

A．这个人抽1000次，必有1次中一等奖

B．这个人每抽一次，就得奖金10000×

0.001＝10元

C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001

D．以上说法都不正确

选C　摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10000×

0.001＝10元．

3．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．

P＝

＝0.03.

0.03

4．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：

射击次数

120

150

160

击中飞碟数

81

95

123

82

119

129

击中飞碟的频率

（1）将各次记录击中飞碟的频率填入表中；

（2）这个运动员击中飞碟的概率约为多少？

（1）射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是

＝0.81，同理可求得之后的频率依次约为0.792，0.820，0.820,0.793,0.806,0.807.

（2）击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.

[层级二　应试能力达标]

1．事件A发生的概率接近于0，则（　　）

A．事件A不可能发生　B．事件A也可能发生

C．事件A一定发生D．事件A发生的可能性很大

选B　不可能事件的概率为0，但概率接近于0的事件不一定是不可能事件．

2．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是

，某家长说：

“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对．”这句话（　　）

A．正确B．错误

C．不一定D．无法解释

选B　把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是

说明了对的可能性大小是

.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有2,3,4，…甚至12个题都选择正确．

3．下列说法正确的是（　　）

A．事件A的概率为P（A），必有0<

P（A）<

1

B．事件A的概率P（A）＝0.999，则事件A是必然事件

C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%

D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖

选C　A不正确，因为0≤P（A）≤1；

若A是必然事件，则P（A）＝1，故B不正确；

对于D，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确．故选C.

4．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3000辆帕萨特出租车；

乙公司有3000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？

（　　）

A．甲公司B．乙公司

C．甲、乙公司均可D．以上都对

选B　由题意得肇事车是甲公司的概率为

，是乙公司的概率为

，可以认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．

5．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为

，则总体中的个体数为________．

设总体中的个体数为x，则

，所以x＝120.

6．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月（按30天计）仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．

由频率的定义可知用电量超过指标的频率为

＝0.4，由频率估计概率知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.

0.4

7．投掷硬币的结果如下表：

投掷硬币的次数

c

正面向上的次数

102

b

404

正面向上的频率

a

0.482

0.505

则a＝________，b＝________，c＝________.

据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为________．

a＝

＝0.51，b＝500×

0.482＝241；

c＝

＝800.

易知正面向上的频率在0.5附近，所以若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5.

0.51　241　800　0.5

8．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化8513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：

（1）这种鱼卵的孵化概率（孵化率）是多少？

（2）30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？

（3）要孵化5000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？

（精确到百位）

（1）这种鱼卵的孵化概率P＝

＝0.8513.

（2）30000个鱼卵大约能孵化

30000×

＝25539（尾）鱼苗．

（3）设大概需备x个鱼卵，由题意知

所以x＝

≈5900（个）．

所以大概需备5900个鱼卵．

9．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次．

（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；

（2）请你估计袋中红球的个数．

（1）因为20×

400＝8000，

所以摸到红球的频率为：

＝0.75，

因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75.

（2）设袋中红球有x个，根据题意得：

＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．

所以估计袋中红球接近15个．

2019-2020年高中数学第三章概率3.1事件与频率3.1.4概率的加法公式教学案新人教B版必修3

预习课本P98～99，思考并完成以下问题

（1）什么是互斥事件？

什么叫对立事件？

（2）什么是事件的并（或和）?

（3）互斥事件的概率加法公式是什么？

1．事件的关系

事件

定义

图形表示

互斥事件

在同一试验中，不可能同时发生的两个事件A与B叫做互斥事件

事件的并

一般地，由事件A和B至少有一个发生（即A发生，或B发生或A，B都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和），记作C＝A∪B

互为对立事件

在同一试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作

2.互斥事件的概率加法公式

（1）若A，B是互斥事件，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．

（2）若

是A的对立事件，则P（

）＝1－P（A）．

（3）若A1，A2，…，An两两互斥，则P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．

1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率是（　　）

A．0.99　　B．0.98　　　

C．0.97　　　D．0.96

D

2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（　　）

A．0.40B．0.30

C．0.60D．0.90

选A　依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.

3．若事件A和B是互斥事件，且P（A）＝0.1，则P（B）的取值范围是（　　）

A．[0,0.9]B．[0.1,0.9]

C．（0,0.9]D．[0,1]

4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________．

0.8

互斥事件与对立事件的判断

[典例]　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：

（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

（2）“至少有1名男生”与“全是男生”；

（3）“至少有1名男生”与“全是女生”；

（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．

[解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：

2名男生，2名女生，1男1女．

（1）“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；

但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．

（2）“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．

（3）“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

（4）“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

互斥事件和对立事件的判定方法

（1）利用基本概念

要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件所包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，明晰它们对事件结果的影响．

（2）利用集合观点

设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A，B.

①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅；

②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.　

从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

（3）“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．

（1）是互斥事件，不是对立事件．理由是：

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．

（2）既是互斥事件，又是对立事件．理由是：

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．

（3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.

互斥事件与对立事件的概率公式的应用

[典例]　某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）至少射中7环的概率．

[解]　设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则

（1）P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.1＋0.2＝0.3.

所以射中10环或9环的概率为0.3.

（2）因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式，得至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.

求复杂事件概率的注意事项

（1）正难则反是良策．

（2）用互斥事件的概率和进行求解时一定要将事件分拆为若干互斥的事件，不能重复和遗漏．

（3）采用对立事件求概率时，一定要找准对立事件，否则容易出现错误．　

一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：

（1）取出1球是红球或黑球的概率；

（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．

法一：

（1）从12个球中任取1球，红球有5种取法，黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．

∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝

（2）从12个球中任取1球，红球有5种取法，黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为

法二：

（利用互斥事件求概率）

记事件A1＝

，A2＝

，

A3＝

，A4＝

，则P（A1）＝

，P（A2）＝

P（A3）＝

，P（A4）＝

根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得

（1）取出1球为红球或黑球的概率为

P（A1∪A2）＝P（A1）＋P（A2）＝

＋

（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为

P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）

法三：

（利用对立事件求概率）

（1）由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为

P（A1∪A2）＝1－P（A3∪A4）＝1－P（A3）－P（A4）

＝1－

－

（2）A1∪A2∪A3的对立事件为A4.

所以P（A1∪A2∪A3）＝1－P（A4）＝1－

1．从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是（　　）

A．A与C互斥　　　　　　B．B与C互斥

C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥

选D　由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．

2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为（　　）

A．至多有2件次品B．至多有1件次品

C．至多有2件正品D．至少有2件正品

选B　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．

3．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是（　　）

A．全是白球与全是红球是对立事件

B．没有白球与至少有一个白球是对立事件

C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系

D．全是红球与有一个红球是包含关系

选B　从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个，所以选B.

4．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？

记“响第一声时被接”为事件A，“响第二声时被接”为事件B，“响第三声时被接”为事件C，“响第四声时被接”为事件D.“响前四声内被接”为事件E，则易知A，B，C，D互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率的加法公式得，

P（E）＝P（A∪B∪C∪D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.

即电话在响前四声内被接的概率是0.9.

1．如果事件A，B互斥，记

分别为事件A，B的对立事件，那么（　　）

A．A∪B是必然事件B.

∪

是必然事件

与

一定互斥D.

一定不互斥

选B　用Venn图解决此类问题较为直观．如图所示，

是必然事件，故选B.

2．根据湖北某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：

O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为（　　）

A．67%B．85%

C．48%D．15%

选A　O型血与A型血的人能为A型血的人输血，故所求的概率为52%＋15%＝67%.故选A.

3．下列各组事件中，不是互斥事件