江苏省南京师范大附中届高三数学模拟考试试题Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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n＝1.
（1）求A的值；
（2）若＝－3，求tanC的值．
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F.
（1）求证：
AB∥EF；
（2）若AF⊥EF，求证：
平面PAD⊥平面ABCD.
17.（本小题满分14分）
如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向6千米处．
（1）警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°
，求PB的距离；
（2）警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前往B，两人同时
出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B后原地等待，直到甲到达A时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试求两人通过对讲机能保持联系的总时长．
18.（本小题满分16分）
如图，已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C经过点（0，），离心率为，直线l过点F2与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点N为△F1AF2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；
（3）设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G,E．连结AE，BD，试问：
当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？
若是，请求出定点T的坐标；
若不是，请说明理由．
19.（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝lnx－ax＋a，a∈R.
（1）若a＝1，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围；
（3）对于曲线y＝f（x）上的两个不同的点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），记直线PQ的斜率为k，若y＝f（x）的导函数为f′（x），证明：
f′＜k.
20.（本小题满分16分）
已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，
2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；
（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，的前n项和为An.若数列{pn}满足p1＝c1，且对∀n≥2，n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：
Sn＜4＋4lnn.
数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）
21.【选做题】在A，B，C，四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A.（选修42：
矩阵与变换）
已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值．
B.（选修44：
坐标系与参数方程）
在极坐标系中，已知圆C：
ρ＝2cosθ和直线l：
θ＝（ρ∈R）相交于A，B两点，求线段AB的长．
C.（选修45：
不等式选讲）
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
＋≥.
【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22.如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.
（1）求S＝的概率；
（2）求S的分布列及数学期望E（S）．
23.设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．
（1）若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对（A，B）的个数；
（2）若M＝{a1，a2，a3，…，an}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对（A，B）的个数．
参考答案及评分标准
1.{0，1} 2.－ 3.10 4.5 5. 6.4 7. 8.－＝1 9.－2ln2 10.充分不必要 11.9 12.（－3，－]∪[，3） 13. 14.
15.解：
（1）因为m·
n＝1，所以（－1，）·
（cosA，sinA）＝1，即sinA－cosA＝1，（2分）
则2＝1，即sin＝.（4分）
又0<
A<
π，所以－<
A－<
，故A－＝，所以A＝.（6分）
（2）由题知＝－3，整理得sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0.（8分）
又cosB≠0，所以tan2B－tanB－2＝0，解得tanB＝2或tanB＝－1.（10分）
又当tanB＝－1时cos2B－sin2B＝0，不合题意舍去，所以tanB＝2.（12分）
故tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝－＝.（14分）
16.证明：
（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.（2分）
又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平
面PDC.（4分）
因为AB⊂平面ABE，平
面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.（7分）
（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.（8分）
因为AF⊥EF，AB∥EF，所以AB⊥AF.（9分）
又AB⊥AD，点E在棱PC上（异于点C），所以F点异于点D，所以AF∩AD＝A.
又AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.（12分）
又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
（14分）
17.解：
（1）在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°
，∠APB＝75°
，
由正弦定理，得＝，
即BP＝＝＝＝3（－），
故PB的距离是9－3千米.（4分）
（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．
设甲、乙之间的距离为f（t），要保持通话则需要f（t）≤9.
①当0≤t≤1时，
f（t）＝＝3≤9，（6分）
即7t2－16t＋7≤0，解得≤t≤.
又t∈[0，1]，所以≤t≤1，（8分）
故两人通过对讲机保持联系的时长为小时.
②当1<
t≤4时，
f（t）＝＝3≤9，（10分）
即t2－6t＋3≤0，解得3－≤t≤3＋.
又t∈（1，4]，所以1<
t≤4，（12分）
故两人通过对讲机保持联系的时长为3小时．
由①②可知，两人通过对讲机能保持联系的总时长为3＋＝（小时）.
答：
两人通过对讲机能保持联系的
总时长是小时.（14分）
（注：
不答扣1分）
18.解：
（1）由题意知b＝.因为＝，所以＝，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.（4分）
（2）因为点N为△F1AF2的内心，
所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，
则＝＝＝＝.（8分）
（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，
此时AE与BD交于F2G的中点.（9分）
下面证明：
当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T.
设直线l的方程为y＝k（x－1），
联立化简得（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0.
因为直线l经过椭圆C内的点（1，0），所以Δ＞0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝.（11分）
由题意，得D（4，y1），E（4，y2），则直线AE的方程为y－y2＝（x－4）．
令x＝，此时y＝y2＋×
＝
＝＝
＝＝＝0，
所以点T在直线AE上．
同理可证，点T在直线BD上.
（16分）
所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T.
19.
（1）解：
f′（x）＝－a＝，x>
0，
当a≤0时，f′（x）>
0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无极值；
（2分）
当a>
0时，x∈，f′（x）>
0，f（x）在上单调递增，
x∈，f′（x）<
0，f（x）在上单调递减．
故函数有极大值f＝a－lna－1，无极小值.（4分）
（2）解：
由
（1）可知当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，不可能有两个零点；
当a＞0时，函数有极大值f＝a－lna－1.
令g（x）＝x－lnx－1（x＞0）,则g′（x）＝1－＝.
当x∈（0，1），g′（x）<
0，g（x）在（0，1）上单调递减；
当x∈（1，＋∞），g′（x）>
0，g（x）在（1，＋∞）上单调递增，
函数g（x）有最小值g
（1）＝0.
若要使函数f（x）有两个零点，必须满足a>
0且a≠1.（6分）
下面证明a>
0且a≠1时，函数有两个零点．
因为f
（1）＝
0，所以下面证明f（x）还有另一个零点．
①当0<
a<
1时，f＝a－lna－1>
f＝－2lna＋a－＝＝－.
令h（a）＝2alna－a2＋1（0<
1），则h′（a）＝2（lna＋1）－2a＝2（lna－a＋1）<
h（a）在（0，1）上单调递减，h（a）>
h
（1）＝0，则f<
0，所以f（x）在上有零点．
又f（x）在上单调递减，
所以f（x）在上有唯一零点，从而f（x）有两个零点．
②当a>
f＝－a－a×
＋a＝－a×
<
0.
易证ea>
a，可得<
，所以f（x）在上有零点．
综上，a的取值范围是（0，1）∪（1，＋∞）.（10分）
（3）证明：
f（x1）－f（x2）＝lnx1－lnx2＋a（x2－x1），
k＝＝＝－a.
又f′（x）＝－a＝，f′＝－a，（12分）
所以f′－k＝－＝
＝.
不妨设0＜
x2＜x1,t＝，则t＞1，则－ln＝－lnt.
令h（t）＝－lnt（t>
1），则h′（t）＝－<
因此h（t）在（1，＋∞）上单调递减，所以h（t）＜h
（1）＝0.
又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，
所以f′－k＜0，即f′＜k.（16分）
20.解：
（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列的公比为q（q≠1），
由题意，得⇒解得d＝1，q＝2，（4分）
所以an＝n，bn＝2n－1.
（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有2amanbi＝ambj＋anbk，即2mn·
2i－1＝m·
2j－1＋n·
2k－1.
由于i<
j<
k，且为正整数，所以j－i≥1，k－i≥2，
所以2mn＝m·
2j－i＋n·
2k－i≥2m＋4n，（6分）
可得mn≥m＋2n,即＋≤1.
①当1≤m≤2时，不等式＋≤1不成立；
②当或时，2mn·
2k－1成立；
（8分）
③当n≥4时，>
0，<
1，即m>
2，则有m＋n>
6；
所以m＋n的最小值为6，
当且仅当j－i＝1，k－i＝2，且或时取得.（10分）
（3）由题意，得p2＝＋c2，p3＝＋c3，…
Sn＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝（c1＋c2＋c3＋…＋cn）（11分）
＝Tn.
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ①，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn ②.
①－②，得Tn＝1＋＋＋＋…＋－＝2－2－n，（12分）
解得Tn＝4－（n＋2）<
4，
所以Sn<
4.
设f（x）＝lnx＋－1（x>
1），则f′（x）＝－＝>
所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，有f（x）>
f
（1）＝0，可得lnx>
1－.（14分）
当k≥2，且k∈N*时，>
1，有ln>
1－＝，
所以<
ln，<
ln，…，<
ln，
可得1＋＋＋…＋<
1＋ln＋ln＋…＋ln＝1＋lnn，
所以Sn<
4<
4＋4lnn.（16分）
2018届高三模拟考试试卷
数学附加题参考答案及评分标准
21.A.证明：
在△ABC中，因为CM是∠ACB的平分线，所以＝.
又AC＝AB，所以＝ ①.（4分）
因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，
所以BM·
BA＝BN·
BC，即＝ ②.（8分）
由①②可知＝，所以BN＝2AM.（10分）
B.解：
矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ－1）（λ－x）－4.（3分）
因为λ1＝3是方程f（λ）＝0的一个根，
所以（3－1）（3－x）－4＝0，解得x＝1. （6分）
由（λ－1）（λ－1）－4＝0，解得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.（10分）
C.解：
圆C：
ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即（x－）2＋y2＝2.
直线l：
θ＝（ρ∈R）的直角坐标方程为y＝x，即x－y＝0.（6分）
圆心C（，0）到直线l的距离d＝＝1.（8分）
所以AB＝2＝2. （10分）
D.证明：
（证法1） 因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以[（2a＋1）＋（2b＋1）]＝1＋4＋＋
≥5＋2＝9.（8分）
而（2a＋1）＋（2b＋1）＝4，所以＋≥. （10分）
（证法2）因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得
[（2a＋1）＋（2b＋1）]≥
＝（1＋2）2＝9. （8分）
由a＋b＝1，得（2a＋1）＋（2b＋1）＝4,所以＋≥.（10分）
22.解：
（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，
其中S＝的为有一个角是30°
的直角三角形（如△P1P4P5），共6×
2＝12种，
所以P＝＝. （3分）
（2）S的所有可能取值为，，.
S＝的为顶角是120°
的等腰三角形（如△P1P2P3），共6种，所以P＝＝.（5分）
S＝的为等边三角形（如△P1P3P5），共2种，所以P＝＝. （7分）
又由
（1）知P＝＝，故S的分布列为
S
P
所以E（S）＝×
＋×
＝. （10分）
23.解：
（1）若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}，
则A＝∅，{a1}，{a2}，则（A，B）的个数为3；
若集合B含有1个元素，则B有C种，不妨设B＝{a1}，则A＝∅，
此时（A，B）的个数为C×
1＝2.
综上，（A，B）的个数为5. （3分）
（2）集合M有2n个子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，
则不同的有序集合对（A，B）的个数为2n（2n－1）.（5分）
若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对（A，B）的个数为
C（C－1）＋C（C－1）＋C（C－1）＋…＋C（C－1）
＝（C）2＋（C）2＋（C）2＋…＋（C）2－（C＋C＋C＋…＋C）.（7分）
又（x＋1）n（x＋1）n的展开式中xn的系数为（C）2＋（C）2＋（C）2＋…＋（C）2，
且（x＋1）n（x＋1）n＝（x＋1）2n的展开式中xn的系数为C，
所以（C）2＋（C）2＋（C）2＋…＋（C）2＝C.
因为C＋C＋C＋…＋C＝2n，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，
有序集合对（A，B）的个数为C－2n.（9分）
所以当A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对（A，B）的个数为
＝.（10分）
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