312概率的意义 教案人教A版必修3Word文档下载推荐.docx
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1.通过实例进一步理解概率的意义．（重点）
2.能用概率的意义解释生活中的事例．（难点）
3.了解概率在其他领域中的统计规律.
对概率的正确理解
【问题导思】
有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次掷一枚质地均匀的硬币一定是一次正面朝上，一次反面朝上．你认为这种想法正确吗？
【提示】 这种想法是错误的．概率是大量试验得出的一种规律性结果，对具体的几次试验不一定体现出这种规律．
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性.
游戏的公平性
甲、乙两人做游戏，从装有3个白球1个黑球的袋子中任取1球，如果是白球，甲胜；
否则乙胜．试问这个游戏对两个人来说公平吗？
【提示】 不公平．甲获胜机会大．
1．裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．
2．在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则.
天气预报的概率解释
“昨天没有下雨，而天气预报说昨天降水的概率为90%.这说明预报是错误的”这种说法科学吗？
【提示】 不科学．
天气预报的“降水”是一个随机事件，“概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率为90%.在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.
决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.
正确理解概率的意义
某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？
如何理解治愈的概率是0.3?
【思路探究】 正确理解随机事件概率的意义，纠正日常生活中出现的一些错误认识是解决本题的关键．
【自主解答】 如果把治疗一个病人作为一次试验，“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈．
治愈的概率是0.3，指如果患病的人有1000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为这1000个人中大约有300人能治愈．
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数、哪一个具体的试验都没有关系．
某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次靶心了？
【解】 概率是经过大量的重复试验得出的一个统计值，但作为单独的一次或多次试验而言，很有可能该事件不发生或发生的可能性与大量试验的值相差很大．从概率统计的定义出发，击中靶心的概率是0.9，并不意味着射击10次就一定能击中9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为
n（其中n为射击次数）且n越大，击中的次数就越接近
n.
游戏公平性的判断
如图3－1－1所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；
转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：
自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜；
否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？
如果公平，请说明理由；
如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
图3－1－1
【思路探究】 因为只有甲、乙二人参加游戏，所以要判断规则是否公平，只需看两转盘数字和为6的概率是否为
，若是，则公平；
若不是，则不公平．
【自主解答】 列表如下：
A
B
3
4
5
6
1
7
2
8
9
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．
因为P（和为6）＝
＝
，即甲、乙获胜的概率不相等，所以这种游戏规则不公平．
如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么游戏规则就是公平的．
1．由题意列出表格，各种结果在表中一目了然，使得本题的解答更简易、方便．
2．利用概率的意义可以判定游戏规则，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的．这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需保证每人获胜的概率相等．
元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一
（2）班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定，机灵的小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎样认为的？
说说看．
【解】 其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的．我们取三张卡片，上面标上1,2,3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：
情况人名
一
二
三
四
五
六
甲
乙
丙
从上表可以看出：
甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二两种情况，甲中签；
第三、五两种情况，乙中签；
第四、六两种情况，丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先后.
概率的应用
为了估计水库中鱼的尾数，使用以下的方法：
先从水库中捕出2000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
【思路探究】 这实际上是概率问题，即2000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比．捕出的500尾鱼中带记号的鱼有40尾，就说明水库所有的鱼中，带记号的鱼的概率约为
，问题可解．
【自主解答】 设水库中鱼的尾数是n（n∈N*），每尾鱼被捕到的可能性相等，给2000尾鱼做上记号后，从水库中任捕一尾鱼，带记号的概率为
.又从水库中捕500尾鱼，有40尾带记号，于是带记号的频率为
.则有
≈
，解得n≈25000.所以估计水库中有25000尾鱼．
此类题主要考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力，解题的关键是假定每个样本被抽取的可能性是相等的，可用样本的频率近似估计总体的概率，或由此列出方程，求出总体．
某家具厂为某运动中心生产观众座椅．质检人员对该厂所产2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产2500座椅中大约有多少套次品？
【解】 设有n套次品，由概率的统计定义可知，
，解得n＝125.
故该厂所产2500套座椅中大约有125套次品.
不理解概率的意义致误
已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（ ）
A．合格产品少于9件
B．合格产品多于9件
C．合格产品正好是9件
D．合格产品可能是9件
【错解】 产品的合格率是90%，是指产品中有90%的产品是合格的，故抽出的10件产品中，合格产品正好为9件，故应选C.
【答案】 C
【错因分析】 因不理解概率的意义而错选C.
【防范措施】 一个事件的概率是通过大量的重复试验得到的，其反映了该随机事件发生的可能性大小，因此在本题中“抽出10件产品”相当于做了10次试验，而每次试验结果可能是正品，也可能是次品．故只有D正确．
【正解】 合格产品可能为90%×
10＝9，故选D.
【答案】 D
1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只能认为事件发生的可能性大．
2．孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律，这是一种科学的研究方法，我们应认真体会和借鉴．
3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
1．“某彩票的中奖概率为
”意味着（ ）
A．买1000张彩票就一定能中奖
B．买1000张彩票中一次奖
C．买1000张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性是
【解析】 由概率的意义知D正确．
2．某次考试共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某人说：
“每个选项正确的概率是
，我每题都选择第一个选项，则一定有3题选择结果正确”这句话（ ）
A．正确 B．错误
C．不一定D．无法解释
【解析】 解答一道选择题作为一次试验，每次试验选择的正确与否都是随机的，经过大量的试验其结果呈随机性，即选择正确的概率是
.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的结果选择正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大．同时也有可能都选错，亦或2题，4题，甚至12个题都选择正确．
【答案】 B
3．2010年上海世博会前夕，质检部门对世博会所用某种产品进行抽检，得知其合格率为99%.若世博会所需该产品共有20000件，则其中的不合格产品约有________件．
【解析】 由合格率为99%知不合格率为1%，故不合格产品约有20000×
1%＝200（件）．
【答案】 200
4．如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于
，这种理解正确吗？
【解】 这种理解是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”、“反面向上”的可能性都是
，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是
，而不会大于
.
一、选择题
1．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是（ ）
A．若他投100次，一定有50次投中
B．若他投一次，一定投中
C．他投一次投中的可能性大小为50%
D．以上说法均错
【解析】 概率是指一件事情发生的可能性大小．
2．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”．下列对此预测的正确理解是（ ）
A．本市明天将有90%的地区降雨
B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
【解析】 由概率的意义知，D正确．
3．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%，下列解释正确的是（ ）
A．100个手术有99个手术成功，有1个手术失败
B．这个手术一定成功
C．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术
D．这个手术成功的可能性是99%
【解析】 成功率大约是99%，说明手术成功的可能性是99%.
4．同时向上抛掷100个质量均匀的铜板，落地时这100个铜板全都正面向上，则这100个铜板更可能是下面哪种情况（ ）
A．这100个铜板两面是一样的
B．这100个铜板两面是不一样的
C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不一样的
D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不一样的
【解析】 掷一个铜板，正面向上概率为
，由题意结合极大似然法思想知A正确．
【答案】 A
5．（2013·
烟台高一检测）一枚质地均匀的硬币如果连续抛掷100次，那么第99次出现反面朝上的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】 由于每次试验出现正、反面朝上的概率是相等的，均为
二、填空题
6．小明在抛掷图钉时，在200次至300次抛掷中钉尖触地的频率约在35%～35.4%之间，那么再抛掷100次，钉尖触地次数的取值范围是________．
【解析】 由于在抛掷图钉试验中，“针尖触地”这一事件的发生是随机的，故再抛掷100次，针尖触地次数的取值范围是[0,100]．
【答案】 [0,100]
图3－1－2
7．玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：
“拿一个飞镖射向如图3－1－2所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步”．你认为这个游戏规则公平吗？
________.（填“公平”或“不公平”）
【解析】 如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域则只有3个，所以玲玲先走的概率是
，倩倩先走的概率是
.所以不公平．
【答案】 不公平
8．管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条．根据以上数据可以估计该池塘约有________条鱼．
【解析】 设该池塘约有x条鱼．
则
，
∴x＝750.
【答案】 750
三、解答题
9．以下说法正确吗？
请说明理由．
（1）某厂产品的次品率为0.02，从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有2件次品．
（2）某销售商为了提高某品牌日用品的销售量，决定在某超市搞促销活动：
凡购买该品牌的日用品一件，就可以抽奖一次，中奖率为
.某顾客觉得该品牌的日用品好用也是必需的用品，所以决定购买10件，认为肯定有3次能中奖的机会，更有优惠．
（3）某市气象预报说：
“明天本市降雨的概率为60%”．有人认为明天本市有60%的区域要下雨，40%的区域不下雨；
也有人认为明天本市有60%的时间下雨，有40%的时间不下雨．
【解】
（1）这种说法不对．因为产品的次品率为0.02，是指产品为次品的可能性为2%，所以从该厂产品中任意地抽取100件，其中可能有2件次品，而不是一定有2件次品．
（2）不对．购买该品牌的日用品一件，就可以抽奖一次，是做一次试验，试验的结果中奖率为
，不中奖率为
.购买10件，抽奖10次，相当于做10次试验，每一次试验结果中奖率为
（3）不对．明天本市降雨的概率为60%，是指本市明天下雨的可能性为60%，不是指下雨的区域也不是下雨的时间．
图3－1－3
10．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图3－1－3所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：
两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．
请回答下列问题：
（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案，并且怎样猜？
为什么？
（2）为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
（3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
【解】
（1）可以选择B猜“不是4的整数倍数”或C猜“是大于4的数”．“不是4的整数倍数”的概率为
＝0.8，“是大于4的数”的概率为
＝0.6，它们都超过了0.5，故乙获胜希望较大．
（2）为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．
（3）可以设计为猜“是大于5的数”或“小于6的数”，也可以保证游戏的公平性．
11．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化8513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
（1）这种鱼卵的孵化概率（孵化率）是多少？
（2）30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
（3）要孵化5000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？
（精确到百位）
【解】
（1）这种鱼卵的孵化概率
P＝
＝0.8513.
（2）30000个鱼卵大约能孵化
30000×
＝25539尾鱼苗．
（3）设大概需备x个鱼卵，由题意知，
∴x＝
≈5900（个）．
∴大概需备5900个鱼卵.
抛掷10枚硬币，全部正面向上，试就这一现象分析，这些硬币的质地是否均匀？
【思路探究】
假设质地均匀
求概率
判断
【自主解答】 对于质地均匀的硬币，则抛掷一次出现正面向上的概率是
，而对于抛掷一次来说，其结果是随机的，则连续抛掷10枚硬币全正面向上的概率是
≈0.0009766.
可见，对质地均匀硬币而言，10枚全部正面向上的概率很小，几乎是不可能发生的，但它又确实发生了．根据极大似然法思想，如果就这些硬币是否均匀作出判断，我们更倾向于认为质地是不均匀的，即硬币的反面可能更重一些．
设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一个箱子中取出的？
【解】 甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是
；
乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是
.由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．由极大似然法，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽出的.
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