高中物理人教版选修31教学案第三章 第6节 带电粒子在匀强磁场中的运动附答案.docx
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高中物理人教版选修31教学案第三章第6节带电粒子在匀强磁场中的运动附答案
第6节带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，即洛伦兹力对带电粒子不做功。
2．带电粒子沿垂直磁场方向进入匀强磁场时，洛伦兹力提供向心力，带电粒子做匀速圆周运动。
3．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的牛顿第二定律表达式为qvB＝m，轨道半径为r＝，周期为T＝，可见周期与带电粒子的速度没有关系。
4．回旋加速器由两个D形盒组成，带电粒子在D形盒中做圆周运动，每次在两个D形盒之间的窄缝区域被电场加速，带电粒子最终获得的动能为Ek＝。
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．用洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中运动
实验操作
轨迹特点
不加磁场时
电子束的径迹是直线
给励磁线圈通电后
电子束的径迹是圆
保持电子速度不变，改变磁感应强度
磁感应强度越大，轨迹半径越小
保持磁感应强度不变，改变电子速度
电子速度越大，轨迹半径越大
2．洛伦兹力的作用效果
洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向，不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力不对带电粒子做功，不改变粒子的能量。
3．带电粒子的运动规律
沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。
洛伦兹力总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。
二、质谱仪和回旋加速器
1．质谱仪
图3 6 1
（1）原理图：
如图3 6 1所示。
（2）加速
带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：
qU＝mv2。
①
（3）偏转
带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
qvB＝。
②
（4）由①②两式可以求出粒子的运动半径r、质量m、比荷等。
其中由r＝可知电荷量相同时，半径将随质量变化。
（5）质谱仪的应用
可以测定带电粒子的质量和分析同位素。
图3 6 2
2．回旋加速器的结构和原理
（1）两个中空的半圆金属盒D1和D2，处于与盒面垂直的匀强磁场中，D1和D2间有一定的电势差，如图3 6 2所示。
（2）带电粒子在D形盒中只受洛伦兹力的作用而做匀速圆周运动，运动半周后带电粒子到达D形盒的狭缝处，并
被狭缝间的电场加速，加速后的带电粒子进入另一D形盒，由粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动的半径公式r＝知，它运动的半径将增大，由周期公式T＝可知，其运动周期与速度无关，即它运动的周期不变，它运动半个周期后又到达狭缝再次被加速，如此继续下去，带电粒子不断地被加速，在D形盒中做半径逐渐增大，但周期不变的圆周运动。
1．自主思考——判一判
（1）带电粒子进入匀强磁场后一定做匀速圆周运动。
（×）
（2）运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期与速度无关。
（√）
（3）运动电荷进入磁场后（无其他场）可能做匀速圆周运动，不可能做类平抛运动。
（√）
（4）回旋加速器的半径越大，带电粒子获得的最大动能就越大。
（√）
（5）利用回旋加速器加速带电粒子，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径R。
（√）
（6）带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关，而周期与速度、半径都无关。
（√）
2．合作探究——议一议
（1）带电粒子若垂直进入非匀强磁场后做半径不断变化的运动，这时公式r＝是否成立？
提示：
成立。
在非匀强磁场中，随着B的变化，粒子轨迹的圆心、半径不断变化，但粒子运动到某位置的半径仍由B、q、v、m决定，仍满足r＝。
（2）回旋加速器中所加的交变电压的周期由什么决定？
提示：
由于回旋加速器工作时，必须满足交变电压周期和粒子在磁场中运动周期相同，即粒子在磁场中运动周期决定了电压周期。
（3）粒子经回旋加速器加速后，最终获得的动能与交变电压大小有无关系？
提示：
无关，仅与盒半径有关。
带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1．带电粒子垂直进入匀强磁场中，只受洛伦兹力，由其提供向心力做匀速圆周运动，运动半径r＝，运动周期T＝，除了半径和周期外，我们有时还分析粒子运动的速度、时间等问题。
2．分析方法：
“三定”，即一定圆心，二定半径，三定圆心角。
（1）圆心的确定：
因为洛伦兹力始终与电荷运动方向垂直，洛伦兹力为粒子做圆周运动提供了向心力，总是指向圆心。
根据此点，我们可以很容易地找到圆周的圆心。
在实际问题中，圆心位置的确定极为重要，通常有两种方法：
①画出粒子运动中的任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为圆心，如图3 6 3甲。
图3 6 3
②通过入射点或出射点作速度方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图乙。
（2）半径的确定和计算：
半径的计算一般是利用几何知识（三角函数关系、三角形知识等）求解。
（3）圆心角的确定：
确定圆心角时，①利用好四个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2×弦切角。
②利用好三角形尤其是直角三角形的相关知识。
计算出圆心角θ，则带电粒子在磁场中的运动时间t＝T。
[典例] 如图3 6 4所示，一带电荷量为2.0×10－9C、质量为1.8×10－16kg的粒子，
图3 6 4
在直线上一点O沿与直线夹角为30°方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6s后到达直线上另一点P，求：
（1）粒子做圆周运动的周期；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）若O、P之间的距离为0.1m，则粒子的运动速度多大？
[思路点拨]
（1）画出粒子由O点到P点的运动轨迹，确定圆心、圆心角。
（2）确定粒子运动时间与周期的关系。
（3）确定粒子运动的半径及其与OP之间的关系。
[解析]
（1）作出粒子轨迹，如图所示，由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°，则＝
周期T＝t＝×1.5×10－6s＝1.8×10－6s。
（2）由于粒子做圆周运动所需的向心力为洛伦兹力，得Bqv＝，所以
B＝＝ω＝＝T＝0.314T。
（3）由几何知识可知，半径R＝OP＝0.1m
故粒子的速度
v＝＝m/s＝3.49×105m/s。
[答案]
（1）1.8×10－6s
（2）0.314T
（3）3.49×105m/s
分析带电粒子在磁场中做圆周运动问题的要点
（1）确定粒子的运动轨迹、半径、圆心角等是解决此类问题的关键。
（2）掌握粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径公式和周期公式是分析此类问题的依据。
1．（2015·全国卷Ⅰ）两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行。
一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子（不计重力），从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的（ ）
A．轨道半径减小，角速度增大
B．轨道半径减小，角速度减小
C．轨道半径增大，角速度增大
D．轨道半径增大，角速度减小
解析：
选D 分析轨道半径：
带电粒子从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的速度v大小不变，磁感应强度B减小，由公式r＝可知，轨道半径增大。
分析角速度：
由公式T＝可知，粒子在磁场中运动的周期增大，根据ω＝知角速度减小。
选项D正确。
2.质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图3 6 5中虚线所示，下列表述正确的是（ ）
图3 6 5
A．M带负电，N带正电
B．M的速率小于N的速率
C．洛伦兹力对M、N做正功
D．M的运行时间大于N的运行时间
解析：
选A 根据左手定则可知N带正电，M带负电，选项A正确；由qvB＝m得r＝，由题知m、q、B相同，且rN＜rM，所以vM＞vN，选项B错误；由于洛伦兹力的方向始终与带电粒子的运动方向垂直，故洛伦兹力不会对M、N做功，选项C错误；又周期T＝＝，两个带电粒子在磁场中运动的周期相等，由图可知两个粒子在磁场中均偏转了半个周期，故在磁场中运动的时间相等，选项D错误。
3.如图3 6 6所示，一束电子（电荷量为e）以速度v由A点垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，在C点穿出磁场时的速度方向与电子原来的入射方向成30°夹角，则电子的质量是多少？
电子穿过磁场的时间是多少？
图3 6 6
解析：
电子在磁场中运动，只受洛伦兹力的作用，故其轨迹是圆周的一部分，又因洛伦兹力总是与速度方向垂直，故电子做圆周运动的圆心在电子射入
和穿出磁场时受到的洛伦兹力作用线的交点上，
即过轨迹上两点作速度的垂线可找到圆心O点，如图所示。
由几何关系可知，弧AC所对的圆心角θ＝30°，OC为半径，则r＝＝2d
由eBv＝m得r＝，所以m＝
因为弧AC所对的圆心角是30°，故电子穿过磁场的时间为
t＝T＝·＝＝。
答案：
回旋加速器问题
1．交变电压的周期：
带电粒子做匀速圆周运动的周期T＝与速率、半径均无关，运动相等的时间（半个周期）后进入电场，为了保证带电粒子每次经过狭缝时都被加速，须在狭缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压，所以交变电压的周期也与粒子的速率、半径无关，由带电粒子的比荷和磁场的磁感应强度决定。
2．带电粒子的最终能量：
由r＝知，当带电粒子的运动半径最大时，其速度也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Ekm＝。
可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度B和D形盒的半径R。
3．粒子被加速次数的计算：
粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n＝（U是加速电压的大小），一个周期加速两次。
4．粒子在回旋加速器中运动的时间：
在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2＝T＝（n是粒子被加速次数），总时间为t＝t1＋t2，因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。
[典例] 有一回旋加速器，其匀强磁场的磁感应强度为B，所加速的带电粒子质量为m，带电量为q，
（1）求回旋加速器所加高频交流电压的周期T的表达式。
（2）如果D形盒半圆周的最大半径R＝0.6m，用它来加速质子，能把质子（质量m＝1.67×10－27kg，电量q＝1.6×10－19C）从静止加速到具有4.0×107eV的能量，求所需匀强磁场的磁感应强度B。
[解析]
（1）粒子在磁场中做圆周运动的周期，由qvB＝，v＝可得T＝
高频交流电压具有和粒子圆周运动同样的周期T′＝。
（2）质子在回旋加速器的磁场中绕行到半径为最大半径R时，qvB＝，E＝mv2
由以上两式，代入数据可得：
B＝1.53T。
[答案]
（1）T＝
（2）1.53T
回旋加速器问题的两点提醒
（1）回旋加速器所加高频交流电压的周期等于粒子圆周运动的周期且不随粒子半径的变化而变化。
（2）粒子的最终能量与加速电压的大小无关，由磁感应强度B和D形盒的半径决定。
1．（多选）1932年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图3 6 7所示，这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是（ ）
图3 6 7
A．离子由加速器的中心附近进入加速器
B．离子由加速器的边缘进入加速器
C．离子从磁场中获得能量
D．离子从电场中获得能量
解析：
选AD 离子从加速器的中间位置进入加速器，最后由加速器边缘飞出，所以A对，B错。
加速器中所加的磁场是使离子做匀速圆周运动，所加的电场由交流电提供，它用以加速离子。
交流电的周期与离子做圆周运动的周期相同。
故C错，D对。
2．（多选）图3 6 8甲是回旋加速器的工作原理图。
D1和D2是两个中空的半圆金属盒，它们之间有一定的电势差，A处的粒子源产生的带电粒子，在两盒之间被电场加速。
两半圆盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，所以粒子在半圆盒中做匀速圆周运动。
若带电粒子在磁场中运动的动能Ek随时间t的变化规律如图乙所示，不计
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