湖南省届高三年级下学期六校联考理科科数学试题及答案.docx
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湖南省届高三年级下学期六校联考理科科数学试题及答案
姓名
准考证号
湖南省2020届高三六校联考试题
数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
时量120分钟，满分150分。
答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
作答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。
第Ι卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）
A.B.C.D.
2.若复数z满足（为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点在（）
A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限
3.已知条件p：
条件q：
直线与圆相切，则p是q的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.若，，，则a，b，c的大小关系是（）
A.B.C.D.
5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：
“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推。
”这首歌决的大意是：
“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算。
”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为，则（）
A.17B.29C.23D.35
6.函数的部分图象大致是（）
7.已知非等向量与满足，且，则△ABC为（）
A.等腰非等边三角形B.直角三角形
C.等边三角形D.三边均不相等的三角形
8.在正方体内随机放入n个点，恰有m个点落入正方体的内切球内，则的近似值为（）
A.B.C.D.
9.执行如图所示的程序框图，若输出的数S=3，那么判断框内可以填写的是（）
A.B.C.D.
10.已知函数，给出下列四个说法：
①，②函数的一个周期为;
③在区间上单调递减；④的图象关于点（，0）中心对称.
其中正确说法的序号是（）
A.①②B.③④C.②④D.②③
11.定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有，若，则不等式的解集为（）
A.B.C.D.
12.如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的
直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，则切面的面积为（）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在的展开式中的系数为.
14.记为数列的前n项和，若，，则
.
15.若实数，y满足不等式，则的最大值为.
16.若点P是曲线：
上的动点，点Q是曲线:
上的动点，点
为坐标原点，则的最小值是.
三、解答题：
共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题，共60分。
17.（本小题满分12分）
在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若时，求的取值范围.
18.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱；中，AC⊥BC，，BC=2，D为棱上的动点.
（1）若D为的中点，求证：
∥平面；
（2）若平面平面ABC，且.是否存在点D，使二面角的平面角的余弦值为？
若存在，求出的值，若不存在，说明理由。
19.（本小题满分12分）
已知圆C：
，点D（2，0），点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平
分线交线段CP于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程.
（2）设点A（0，2），M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点
A.求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标.
20.（本小题满分12分）
自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护。
以下是湖南省2020年1月28日一31日这9天的新增确诊人数.
日期
23
24
25
26
27
28
29
30
31
时间x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
新增确诊人数y
15
19
26
31
43
78
56
55
57
经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.
（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x，每天新增确诊人数作为变量y，通过回归分析，得到模型用于对疫情进行分析.
对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：
根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数.
（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为，求最有可能（即概率最大）的值是多少.
附：
对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的
最小二乘估计分别为
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）证明：
当a=1时，有最小值，无最大值；
（2）若在区间上方程恰有一个实数根，求的取值范围，
（二）选考题：
共10分。
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.（本小题满分10分）选修4一4：
坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）射线的极方程为，若射线与曲线，分别交于异于
原点的A，B两点，且，求a的值.
23.（本小题满分10分）选修4一5：
不等式选讲
若不等式的解集非空。
（1）求实数m的取值范围；
（2）设m的最大值为M，若，且a+b=M，求的最小值。
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