春人教版数学八年级下册171勾股定理.docx

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春人教版数学八年级下册171勾股定理

17.1勾股定理

（1）

教学目标

知识与技能：

体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系.

过程与方法：

让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，并体会数形结合和由特殊到一般的思想方法.。

通过数学活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果．

情感态度与价值观：

（1）在探索勾股定理的过程中，让学生体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.

（2）使学生在定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣.

（3）在数学活动中使学生了解勾股定理的历史，感受数学文化，激发学习热情．

（4）通过介绍勾股定理在中国古代的历史，激发学生的民族自豪感.

教学重点：

（1）探索和验证勾股定理.；

（2）通过数学活动体验获取数学知识的感受。

教学难点

在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理及用拼图的方法证明勾股定理．。

教学流程安排

创设情境

活动1：

章节引入

欣赏图片

引入课题

探索研讨

活动2、3、：

探索勾股定理

活动4：

证明勾股定理

定理应用

活动5：

练习1、2

小

结

教学过程设计

一、创设情境，引入课题

活动1:

欣赏图片：

2002年国际数学家大会的会标

师生互动：

教师提出问题，同学听说过勾股定理吗？

板书课题：

17.1勾股定理

（1）

二、探索研讨

1、探索勾股定理

活动2：

问题（3）相传2500年前，古希腊数学家毕达

哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家

用砖铺成的地面中反映了直角三角形

三边之间的某种数值关系

（1）我们也来观察一下你有什么发现？

（2）是不是所有的等腰直角三形三边都有这样的关系呢？

请同学们打开探究材料，观察图一、图二你得出什么结论？

（3）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点

师生互动：

教师解说并提出问题，引导学生观察图案，学生观察、交流、回答问题，师生共同评价，归纳结论，总结发现方法。

活动3：

类比上述方法运用探究材料在图三、图四的网格上探索两条直角边不相等的直角三角形三边的数量关系。

若网格中每一个小方格面积为1个单位面积，

那么正方形A、B、C的面积为多少？

你能从中发现什么结论呢？

师生互动：

教师提出问题，引导学生类比上述方法探索，学生思考、动手探索、计算回答问题，师生共同评价，归纳结论。

1、同学们由以上探索，依据该图形，能否用一句话概括出以上结论呢？

命题：

如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，

斜边为c，那么

师生互动：

教师提问，学生概括回答，教师板写结论。

2、证明勾股定理

活动4：

看左边的图案，这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：

四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（黄色）．

c2=b2-2ab+a2+2ab

化简得：

c2=a2+b2．

请同学们拿出探究材料中的四个全等的直角三角形图五，以小组为单位，类比以上方法用另一种拼图的方法验证这个命题。

师生互动：

教师组织学生拼图验证结论，巡视参与并引导提示：

①所拼图形面积能用直角三角形的边长来表示②所拼图形的面积要用两种不同方法表示，并用等号连结，化简验证；学生小组交流，动手拼图验证结论，小组代表展示实践结果；师生共同评价，概括归纳勾股定理。

播放视频，了解勾股定理的有关历史。

三、应用

活动5：

练习1、如图，在在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

1若a=12,b=5,则c等于多少？

2若a=6,c=10,则b等于多少？

3若b=7，c=8则a等于多少

师生互动：

学生动手操作；教师巡视引导，展示学生解答结果；师生共同评价，归纳定理应用注意事项。

练习2、去年10月份的一次强风把小明家门前的一棵8米高的大树从3米处折断了，折断的树枝会不会打到停在大树旁3.9米处的小轿车呢？

为什么？

师生互动：

教师引导学生分析题意，思考，帮助学生数学建型，并提问学生用什么办法来判断？

学生思考、回答、动手操作解决问题；教师巡视引导，展示学生解答结果，师生共同评价。

四、课堂小结

请同学畅所欲言谈谈本节课的收获

师生互动：

教师提出问题，学生回答，教师补充共同归纳。

五、布置作业

课本P28，习题17.1第1、2题

17.1勾股定理

（2）

教学任务分析

教

学

目

标

知识技能

1．运用勾股定理进行简单的计算．

2．运用勾股定理解释生活中的实际问题．

数学思考

通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法．

解决问题

能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题．

情感态度

通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．

重点

勾股定理的应用．

难点

勾股定理在实际生活中的应用．

教学流程安排

活动流程图

活动内容和目的

活动1回顾勾股定理

活动2运用勾股定理解释生活中的问题

活动3巩固练习探索新知

活动4小结与作业

通过一组练习让学生回顾直角三角形三边关系，为本节课勾股定理的应用做好铺垫．

通过解决教材中的两个例题，进一步熟悉和掌握勾股定理，同时培养学生从事物中抽象出几何模型（直角三角形）的能力．

通过练习及时反馈教学效果，了解不同层次的学生对知识和方法的掌握情况．设计课本习题的变式题，拓展学生思维能力，深化勾股定理的应用．

通过讨论交流、自由发言等形式，归纳本节课所用的知识方法．通过课外作业，反馈教学效果，调整教学方法．

教学过程设计

问题与情景

师生行为

设计意图

[活动1]

问题

（1）求出下列直角三角形中未知的边．

回答：

①在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．

教师提出问题后让四位学生板演，剩下的学生在课堂作业本上完成．

问题

（2）学生分组讨论，自己解决；

教师巡视指导答疑．

在活动1中教师应重点关注：

（1）学生能否正确应用勾股定理进行计算；

（2）在解决直角三角形的问题时，需知道直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边；

（3）让学生了解在直角三角形中斜边最长；

（4）在解决问题2时，能否将一个长方形转化为两个全等的直角三角形．

教师利用学生已有的知识（勾股定理及直角三角形的相关知识）创设问题情境，有针对性地引导学生进行练习，为学习勾股定理在实际生活中的应用做好铺垫．

[活动2]

问题

（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图1所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？

为什么？

问题

（1）学生由活动1的结果可得出判断：

AB＜BC＜AC．

问题

（2）学生分组讨论，易回答①、②．

在解决前两问的基础上，教师着重引导学生将③的实际问题转化为数学模型，计算并回答：

∵木板宽2.2米大于1米，∴横着不能从门框通过；

∵木板宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框通过．

通过问题

（1）让学生熟悉直角三角形斜边与直角边的大小关系，为解决问题

（2）奠定基础．

问题

（2）是本节课的重点和难点．

问题与情景

师生行为

设计意图

图1

（3）教材第26页练习1．

（4）如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

①球梯子的底端B距墙角O多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们

猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

　　　　　　图2

∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此，从中抽象出数学模型直角

△ABC，并求出斜边的长度，所以木板能从门框通过．

教师与学生一起完成问题（3）．

教师提出问题（4），引导学生将实际问题转化为数学模型；

学生合作交流，讨论回答：

（1）在Rt△AOB中，

．

（2）的①由学生分组讨论做出猜想．②要求梯子的底端B是否也外移0.5米，就是求出BD的长，而BD=OD－OB，由

（1）可知OB，只需在求出OD即可．

在Rt△COD中，

梯的顶端A沿墙下滑0.5米，梯子的底端B外移0.58米．

在活动2中教师应重点关注：

（1）结合问题2训练学生用文字语言表达数学过程的能力；

（2）学生能否准确将实际问题转化为数学问题，建立几何模型；

（3）正确运用勾股定理解释生活中的问题．

为了让学生能有效地突破难点，本环节分别为它们设计了一到两个简单的由已有的知识和生活经验易于解答的小问题作台阶，顺利解决如何将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识．

通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：

数学来源于生活，并能服务于生活．

问题与情景

师生行为

设计意图

[活动3]

（1）教材第26页练习第2题．

（2）变式：

以教材第26页练习第2题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB．

（3）如图3，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式．

变式：

教材第29页第13题，如图4．

问题

（1）学生板演，其余学生在课堂练习本上独立完成．

问题

（2）和问题（3）将全班学生分成四人小组，给足时间分别进行讨论、交流；

教师参与学生活动，适当地给与指导．

在活动3中，教师应重点关注：

（1）根据学生在练习中反映出的问题，有针对性地对不同层次的学生进行指导；

（2）学生对问题

（2）能否构造适当的几何模型测量池塘的长AB；

（3）对学有余力的学生，在问题（3）中能否进一步加以拓展．

设计教材第26页练习第2题的变式，满足不同层次学生的学习需求，拓展学生思维空间，让学生联想与直角三角形或全等三角形相关的知识（等腰直角三角形、有一个角为30°的直角三角形、等边三角形等），使所学的知识得到进一步深化．

设计教材第29页第13题的变式题问题3，有助于启迪学生进一步思考将直角三角形ABC外的正方形或半圆再变为等边三角形等结论还能否成立．

[活动4]

（1）小结

（2）作业：

①教材第28页习题第2、3、4、5题．

②教材第29页习题第12题．

让学生充分讨论交流，说出自己的体会，最后师生共同归纳．

教师布置作业，学生记录并按要求在课外完成．

在活动4中，教师应重点关注：

（1）培养学生对所学内容进行归纳、整理、总结的好习惯；

（2）对学生在作业中反映出的问题，应做好记载，找出解决教、学不足的措施．

通过讨论交流、自由发言等形式，使学生掌握归纳的方法．通过布置课外作业，及时获知学生对本节课知识的掌握情况，适当的调整教学进度和教学方法，并对学习有困难的学生给与指导．

教学设计说明

本节课主要内容是勾股定理的应用，安排在勾股定理的探索之后，它既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形”的基础．本