高中数学人教B版选修45教学案第一章 章末小结 知识整合与阶段检测Word格式文档下载.docx
《高中数学人教B版选修45教学案第一章 章末小结 知识整合与阶段检测Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学人教B版选修45教学案第一章 章末小结 知识整合与阶段检测Word格式文档下载.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
解得-<
.故原不等式的解集为.
[例] 已知()=+(∈),不等式()≤的解集为{-≤≤}.
()求的值;
()若≤恒成立,求的取值范围.
[解]()由+≤得-≤≤.
又()≤的解集为{-≤≤},所以当≤时,不合题意.
当>
时,-≤≤,得=.
()法一:
记()=()-(),
则()=
所以()≤,因此的取值范围是≥.
()-=
=≤,
由()-≤恒成立,可知≥
所以的取值范围是≥.
平均值不等式的应用
利用平均值不等式求函数的最值及解实际问题,为近几年新课标各省市高考的热点,常与函数数列、解析几何、立体几何交汇命题,多以中档题形式出现.在利用平均值不等式求函数最值时,一定要满足下列三个条件:
①、为正数.②“和”或“积”为定值.③等号一定能取到,这三个条件缺一不可.
[例] 当<
时,函数()=的最小值为( )
. .
..
[解析]利用二倍角公式和同角三角函数关系,将函数式转化变形,再用均值不等式求解.
()==+.
∵∈,∴>
,>
故()=+≥=.
[答案]
[例] 为了提高产品的年产量,某企业拟在年进行技术改革.经调查测算,产品当年的产量万件与投入技术改革费用万元(≥)满足=-(为常数).如果不搞技术改革,则该产品当年的产量只能是万件.已知年生产该产品的固定投入为万元,每生产万件该产品需要再投入万元.由于市场行情较好,厂家生产的产品均能销售出去.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金).
()将年该产品的利润万元(利润=销售金额-生产成本-技术改革费用)表示为技术改革费用万元的函数;
()该企业年的技术改革费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
[解] ()由题意可知,当=时,=(万件),
∴=-.∴=.∴=-.
每件产品的销售价格为×
(元),
∴年的利润
=·
-(+)-
=-+(≥).
()∵≥,∴+(+)≥=,
∴≤-=.
当=+,即=,=.
∴该企业年的技术改革费用投入万元时,厂家的利润最大.
不等式的证明
证明不等式是近几年新课标高考的一个热点考向,常以解答题的形式出现,常与函数、数列等知识交汇命题,常用到的证明方法有:
.比较法证明不等式
比较法证明不等式的依据是:
不等式的意义及实数比较大小的充要条件.作差比较法证明的一般步骤是:
①作差;
②恒等变形;
③判断结果的符号;
④下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.
[例] 已知≥>
,求证:
-≥-.
[证明] --(-)
=(-)+(-)
=(-)(+)
=(-)(+)(+).
因为≥>
,所以-≥,+>
+>
从而(-)(+)(+)≥,
即-≥-.
.综合法证明不等式
综合法证明不等式的思维方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.
综合法证明不等式的依据是:
已知的不等式以及逻辑推证的基本理论:
证明时要注意的是:
作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误、如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当…时,取等号”的理由要理解掌握.
[例] 设>
++.
[证明]∵=
>
+,①
=>
+,②
∴由①②得:
.分析法证明不等式
分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.
当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.
由教材内容可知,分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件,而综合法是“由因导果”,逐步推导出不等式成立的必要条件,两者是对立统一的两种方法.一般来说,对于较复杂的不等式,直接用综合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法可结合使用.
[例] 已知>
,且+=,
求证:
+≤.
[证明] 要证+≤,
只要证≤,
即证+++≤.
只要证:
≤.
也就是要证:
+(+)+≤,
即证≤.
∵>
,+=.
∴=+≥,
∴≤,即上式成立.
故+≤.
.反证法和放缩法证明不等式
()反证法:
先假设要证明的结论是不正确的,然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析,得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而原来的命题结论正确.
()放缩法:
将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小),使不等式由繁化简,达到证明的目的.
,求证-≥+-.
[证明] 假设-<
+-,
则+<
平方得+++<
+++·
+,即<
平方得<
,即+<
又由平均值不等式得+≥,矛盾.
∴-≥+-成立.
[例] 求证:
++++…+<
[证明]由<
=(是大于的自然数),得
++++…+
+++++…+=+
=-<.
一、选择题
.已知全集=,且={->
},={-+<
},则(∁)∩等于( )
.[-) .()
.(].(-)
解析:
={->
}={>
或<
-},
={-+<
}={<
},
∴(∁)∩={<
≤}.
答案:
.“>
”是“<
”成立的( )
.充分不必要条件
.必要不充分条件
.充要条件
.既不充分也不必要条件
当<
时,有<
,即<
或>
所以“>
”成立的充分不必要条件.
.已知,,满足<
且>
,<
,则下列选项中不一定能成立的是( )
.<
.>
由>
,即>
,可得>
,故恒成立.
∵<
,∴-<
又<
,∴>
,∴->
,∴<
当=-,=时,>
,而<
,故不恒成立.
.若不等式-++>
,对于∈均成立,那么实数的取值范围是( )
.(-∞,).[)
.(-∞,).[]
由绝对值的几何意义知-++表示的是与数轴上的点(-)及()两点距离之和,,两点的距离为,线段上任一点到,两点距离之和也是.数轴上其它点到,两点距离之和都大于,
∴-++≥,故<
二、填空题
.若、为正数且≠,=+,=+,则与的大小关系为.
∵≠,∴+>
,+>
相加得+++>
+
即+>
+.
>
.(湖南高考)若关于的不等式-<
的解集为
,则=.
由不等式的解集可知-,为不等式对应的方程-=的根,即解得=-.
-
.不等式-++≥的解集是.
∵-++=
当≤-时,--≥⇒≤-;
当≥时,+≥⇒≥;
时,≤,舍去.
故不等式的解集为{≥或≤-}.
{≥或≤-}
.已知>
,则,,从大到小的顺序为.
+<
则>
.
三、解答题
.某数列由下列条件确定:
,+=·
,∈+.
()证明:
对≥总有≥;
对≥总有≥+.
证明:
()由=>
,及+=可以归纳证明>
,从而有+=≥=(∈+),所以当≥时,≥成立.
()当≥时,因为≥>
,+=,
所以+-=-=·
故当≥时,≥+成立.
.已知关于的不等式-+-≥(>
).
()当=时,求此不等式的解集;
()若此不等式的解集为,求实数的取值范围.
解:
()当=时,得-≥,
∴-≥,≥或≤,
∴不等式的解集为.
()∵-+-≥-,
∴原不等式解集为等价于-≥,
∴≥或≤.
又∵>
,∴≥.
∴实数的取值范围为[,+∞).
.()设是正实数,求证:
(+)(+)(+)≥;
()若∈,不等式(+)(+)(+)≥是否仍然成立?
如果成立,请给出证明,如果不成立,请举出一个使它不成立的值.
是正实数,
由基本不等式知,
+≥,+≥,+≥,
故(+)(+)(+)≥·
·
=(当且仅当=时等号成立).
()若∈,不等式(+)(+)(+)≥仍然成立.
由()知,当>
时,不等式成立;
当≤时,≤.
而(+)(+)(+)
=(+)(+)(-+)
=(+)(+)≥,
此时不等式仍然成立.
(时间分钟,总分分)
一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分)
.若<<,则下列结论不正确的是( )
.<.<
+>.-=-
法一:
(特殊值法):
令=-,=-,代入、、、中,知不正确.
由<<,得<<,所以>,>,故、正确.
又由>,>,且≠,得+>正确.
从而、、均正确,对于,由<<⇒<.
即-<,而-≥.
.设,,∈+,则“=”是“++≤++”的( )
.充分条件但不是必要条件
.必要条件但不是充分条件
.充分必要条件
.既不充分也不必要的条件
当===时,有++≤++,但≠,所以必要性不成立;
当=时,++==++,++=≥++,所以充分性成立,故“=”是“++≤++”的充分不必要条件.
.不等式的解集是( )
.().()
.(,).()
用筛选法,容易验证=是不等式的解,否定;
=不是不等式的解,否定;
=使与取“=”,∵<,故否定.
.若>
,则下列不等式中一定成立的是( )
.+>
.->
->
⇒>
∴+>
.若不等式+-≥对于一切实数均成立,则实数的最大值是( )
..
令()=+-,
当≥时,()=+-=(+)-≥;
时,()=-+=(-)+≥.
综上可知,()的最小值为,
故原不等式恒成立只需≤即可,
从而的最大值为.
.“-<”是“<”的( )
∵-<
⇔-<-<⇔-<<.
∵-<<⇒<,反之不成立.
从而得出“-<”是“<
”的充分不必要条件.
.(江苏高考)对任意,∈,-++-++的最小值为( )
-++-++≥--+--(+)=+=.
.若实数,满足+=,则+的最小值是( )
.
+≥===.
.设、、是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( )
.-≤-+-
.+≥+
.-+≥
-≤-
因为-=(-)-(-)≤-+-,所以选项恒成立;
在选项两侧同时乘以,得+≥+⇒(-)+(-)≥⇒(-)-(-)≥⇒(-)(++)≥,所以选项恒成立;
在选项中,当>时,恒成立,<时,不成立;
在选项中,分子有理化得
≤恒成立.
.已知,,,∈+且=+++,则下列判断中正确的是()
.<
用放缩法,<
.以上四个不等式相加,得<
二、填空题(本大题共小题,每小题分,共分)
.已知不等式-<(+)的解集为,且≠∅,则的取值范围是.
∵≠∅,
∴-<(+)⇒-(+)<-<(+)⇒<<+.
∴<+.解得>-.
(-,+∞)
.若关于的不等式-<
的解集为(),则实数的值为.
原不等式可化为-<
+,又知其解集为(),所以解得=.
.设,,∈,且,,不全相等,则不等式++≥成立的一个充要条件是.
++-
=(++)(++---)
=(++)[(-)+(-)+(-)],
而,,不全相等⇔(-)+(-)+(-)>
∴++≥⇔++≥.
++≥
.用长为的铁丝围成一个矩形,则可围成的矩形的最大面积是.
设矩形长为(<
),则宽为(-),
面积=(-).由于>
可得≤=,当且仅当=-即=时,=.
所以矩形的最大面积是.
三、解答题(本大题共小题,共分)
.(本小题满分分)已知函数()=---.
()作出函数=()的图象;
()解不等式--->
()()=
图象如下:
()不等式--->
,即()>
由-+=,得=.
由函数()图象可知,原不等式的解集为(-∞,).
.(本小题满分分)设,,,是正数,求证:
下列三个不等式:
①+<
+;
②(+)(+)<
③(+)<
(+)中至少有一个不正确.
假设不等式①②③正确.
∵,,,都是正数,
∴①②两不等式相乘得(+)<
+.④
由③式,得(+)<
(+)≤·
(+).
又∵+>
+,
由④式,得(+)<
-,与平方和为正数矛盾.
∴假设不成立,即①②③式中至少有一个不正确.
.(本小题满分分)(新课标全国卷Ⅰ)若>
,且+=.
()求+的最小值;
()是否存在,,使得+=?
并说明理由.
()由=+≥,
得≥,且当==时等号成立.
故+≥≥,且当==时等号成立.
所以+的最小值为.
()由()知,+≥≥.
由于>
,从而不存在,,使得+=.
.(本小题满分分)(辽宁高考)设函数()=-+-,()=-+.记()≤的解集为,()≤的解集为.
()求;
()当∈∩时,证明:
()+[()]≤.
当≥时,由()=-≤得≤,
故≤≤;
时,由()=-≤得≥,故≤<
所以()≤的解集为=
由()=-+≤,
得≤,解得-≤≤.
因此=,
故∩=.
当∈∩时,()=-,于是
()+·
[()]=()[+()]=·
()=(-)=-≤.