高中数学人教B版选修45教学案第一章 章末小结 知识整合与阶段检测Word格式文档下载.docx

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解得－<

.故原不等式的解集为.

[例]　已知（）＝＋（∈），不等式（）≤的解集为{－≤≤}．

（）求的值；

（）若≤恒成立，求的取值范围．

[解]（）由＋≤得－≤≤.

又（）≤的解集为{－≤≤}，所以当≤时，不合题意．

当>

时，－≤≤，得＝.

（）法一：

记（）＝（）－（），

则（）＝

所以（）≤，因此的取值范围是≥.

（）－＝

＝≤，

由（）－≤恒成立，可知≥

所以的取值范围是≥.

平均值不等式的应用

利用平均值不等式求函数的最值及解实际问题，为近几年新课标各省市高考的热点，常与函数数列、解析几何、立体几何交汇命题，多以中档题形式出现．在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：

①、为正数．②“和”或“积”为定值．③等号一定能取到，这三个条件缺一不可．

[例]　当<

时，函数（）＝的最小值为（　　）

．　　　　　　　　　．

．．

[解析]利用二倍角公式和同角三角函数关系，将函数式转化变形，再用均值不等式求解．

（）＝＝＋.

∵∈，∴>

，>

故（）＝＋≥＝.

[答案]

[例]　为了提高产品的年产量，某企业拟在年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量万件与投入技术改革费用万元（≥）满足＝－（为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是万件．已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）．

（）将年该产品的利润万元（利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用）表示为技术改革费用万元的函数；

（）该企业年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

[解]　（）由题意可知，当＝时，＝（万件），

∴＝－.∴＝.∴＝－.

每件产品的销售价格为×

（元），

∴年的利润

＝·

－（＋）－

＝－＋（≥）．

（）∵≥，∴＋（＋）≥＝，

∴≤－＝.

当＝＋，即＝，＝.

∴该企业年的技术改革费用投入万元时，厂家的利润最大.

不等式的证明

证明不等式是近几年新课标高考的一个热点考向，常以解答题的形式出现，常与函数、数列等知识交汇命题，常用到的证明方法有：

．比较法证明不等式

比较法证明不等式的依据是：

不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：

①作差；

②恒等变形；

③判断结果的符号；

④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．

[例]　已知≥>

，求证：

－≥－.

[证明]　－－（－）

＝（－）＋（－）

＝（－）（＋）

＝（－）（＋）（＋）．

因为≥>

，所以－≥，＋>

＋>

从而（－）（＋）（＋）≥，

即－≥－.

．综合法证明不等式

综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件（由因导果），最后推导出所要证明的不等式成立．

综合法证明不等式的依据是：

已知的不等式以及逻辑推证的基本理论：

证明时要注意的是：

作为依据和出发点的几个重要不等式（已知或已证）成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误、如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当…时，取等号”的理由要理解掌握．

[例]　设>

＋＋.

[证明]∵＝

>

＋，①

＝>

＋，②

∴由①②得：

．分析法证明不等式

分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件（执果索因），最后得到的充分条件是已知（或已证）的不等式．

当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．

由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．

[例]　已知>

，且＋＝，

求证：

＋≤.

[证明]　要证＋≤，

只要证≤，

即证＋＋＋≤.

只要证：

≤.

也就是要证：

＋（＋）＋≤，

即证≤.

∵>

，＋＝.

∴＝＋≥，

∴≤，即上式成立．

故＋≤.

．反证法和放缩法证明不等式

（）反证法：

先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件（已有的定义、定理、公理等）矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确．

（）放缩法：

将需要证明的不等式的值适当地放大（或缩小），使不等式由繁化简，达到证明的目的．

，求证－≥＋－.

[证明]　假设－<

＋－，

则＋<

平方得＋＋＋<

＋＋＋·

＋，即<

平方得<

，即＋<

又由平均值不等式得＋≥，矛盾．

∴－≥＋－成立．

[例]　求证：

＋＋＋＋…＋<

[证明]由<

＝（是大于的自然数），得

＋＋＋＋…＋

＋＋＋＋＋…＋＝＋

＝－＜.

一、选择题

．已知全集＝，且＝{－>

}，＝{－＋<

}，则（∁）∩等于（　　）

．[－）　　　　　　　　　．（）

．（]．（－）

解析：

＝{－>

}＝{>

或<

－}，

＝{－＋<

}＝{<

}，

∴（∁）∩＝{<

≤}．

答案：

．“>

”是“<

”成立的（　　）

．充分不必要条件

．必要不充分条件

．充要条件

．既不充分也不必要条件

当<

时，有<

，即<

或>

所以“>

”成立的充分不必要条件．

．已知，，满足<

且>

，<

，则下列选项中不一定能成立的是（　　）

．<

．>

由>

，即>

，可得>

，故恒成立．

∵<

，∴－<

又<

，∴>

，∴－>

，∴<

当＝－，＝时，>

，而<

，故不恒成立．

．若不等式－＋＋>

，对于∈均成立，那么实数的取值范围是（　　）

．（－∞，）．[）

．（－∞，）．[]

由绝对值的几何意义知－＋＋表示的是与数轴上的点（－）及（）两点距离之和，，两点的距离为，线段上任一点到，两点距离之和也是.数轴上其它点到，两点距离之和都大于，

∴－＋＋≥，故<

二、填空题

．若、为正数且≠，＝＋，＝＋，则与的大小关系为．

∵≠，∴＋>

，＋>

相加得＋＋＋>

＋

即＋>

＋.

>

．（湖南高考）若关于的不等式－<

的解集为

，则＝.

由不等式的解集可知－，为不等式对应的方程－＝的根，即解得＝－.

－

．不等式－＋＋≥的解集是．

∵－＋＋＝

当≤－时，－－≥⇒≤－；

当≥时，＋≥⇒≥；

时，≤，舍去．

故不等式的解集为{≥或≤－}．

{≥或≤－}

．已知>

，则，，从大到小的顺序为．

＋<

则>

.

三、解答题

．某数列由下列条件确定：

，＋＝·

，∈＋.

（）证明：

对≥总有≥；

对≥总有≥＋.

证明：

（）由＝>

，及＋＝可以归纳证明>

，从而有＋＝≥＝（∈＋），所以当≥时，≥成立．

（）当≥时，因为≥>

，＋＝，

所以＋－＝－＝·

故当≥时，≥＋成立．

．已知关于的不等式－＋－≥（>

）．

（）当＝时，求此不等式的解集；

（）若此不等式的解集为，求实数的取值范围．

解：

（）当＝时，得－≥，

∴－≥，≥或≤，

∴不等式的解集为.

（）∵－＋－≥－，

∴原不等式解集为等价于－≥，

∴≥或≤.

又∵>

，∴≥.

∴实数的取值范围为[，＋∞）．

．（）设是正实数，求证：

（＋）（＋）（＋）≥；

（）若∈，不等式（＋）（＋）（＋）≥是否仍然成立？

如果成立，请给出证明，如果不成立，请举出一个使它不成立的值．

是正实数，

由基本不等式知，

＋≥，＋≥，＋≥，

故（＋）（＋）（＋）≥·

·

＝（当且仅当＝时等号成立）．

（）若∈，不等式（＋）（＋）（＋）≥仍然成立．

由（）知，当>

时，不等式成立；

当≤时，≤.

而（＋）（＋）（＋）

＝（＋）（＋）（－＋）

＝（＋）（＋）≥，

此时不等式仍然成立．

（时间分钟，总分分）

一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分）

．若＜＜，则下列结论不正确的是（　　）

．＜．＜

＋＞．－＝－

法一：

（特殊值法）：

令＝－，＝－，代入、、、中，知不正确．

由＜＜，得＜＜，所以＞，＞，故、正确．

又由＞，＞，且≠，得＋＞正确．

从而、、均正确，对于，由＜＜⇒＜.

即－＜，而－≥.

．设，，∈＋，则“＝”是“＋＋≤＋＋”的（　　）

．充分条件但不是必要条件

．必要条件但不是充分条件

．充分必要条件

．既不充分也不必要的条件

当＝＝＝时，有＋＋≤＋＋，但≠，所以必要性不成立；

当＝时，＋＋＝＝＋＋，＋＋＝≥＋＋，所以充分性成立，故“＝”是“＋＋≤＋＋”的充分不必要条件．

．不等式的解集是（　　）

．（）．（）

．（，）．（）

用筛选法，容易验证＝是不等式的解，否定；

＝不是不等式的解，否定；

＝使与取“＝”，∵＜，故否定.

．若>

，则下列不等式中一定成立的是（　　）

．＋>

．－>

－>

⇒>

∴＋>

．若不等式＋－≥对于一切实数均成立，则实数的最大值是（　　）

．．

令（）＝＋－，

当≥时，（）＝＋－＝（＋）－≥；

时，（）＝－＋＝（－）＋≥.

综上可知，（）的最小值为，

故原不等式恒成立只需≤即可，

从而的最大值为.

．“－＜”是“＜”的（　　）

∵－＜

⇔－＜－＜⇔－＜＜.

∵－＜＜⇒＜，反之不成立．

从而得出“－＜”是“<

”的充分不必要条件．

．（江苏高考）对任意，∈，－＋＋－＋＋的最小值为（　　）

－＋＋－＋＋≥－－＋－－（＋）＝＋＝.

．若实数，满足＋＝，则＋的最小值是（　　）

．

＋≥＝＝＝.

．设、、是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（　　）

．－≤－＋－

．＋≥＋

．－＋≥

－≤－

因为－＝（－）－（－）≤－＋－，所以选项恒成立；

在选项两侧同时乘以，得＋≥＋⇒（－）＋（－）≥⇒（－）－（－）≥⇒（－）（＋＋）≥，所以选项恒成立；

在选项中，当＞时，恒成立，＜时，不成立；

在选项中，分子有理化得

≤恒成立．

．已知，，，∈＋且＝＋＋＋，则下列判断中正确的是（）

．<

用放缩法，<

.以上四个不等式相加，得<

二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）

．已知不等式－＜（＋）的解集为，且≠∅，则的取值范围是．

∵≠∅，

∴－＜（＋）⇒－（＋）＜－＜（＋）⇒＜＜＋.

∴＜＋.解得＞－.

（－，＋∞）

．若关于的不等式－<

的解集为（），则实数的值为．

原不等式可化为－<

＋，又知其解集为（），所以解得＝.

．设，，∈，且，，不全相等，则不等式＋＋≥成立的一个充要条件是．

＋＋－

＝（＋＋）（＋＋－－－）

＝（＋＋）[（－）＋（－）＋（－）]，

而，，不全相等⇔（－）＋（－）＋（－）>

∴＋＋≥⇔＋＋≥.

＋＋≥

．用长为的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是.

设矩形长为（<

），则宽为（－），

面积＝（－）．由于>

可得≤＝，当且仅当＝－即＝时，＝.

所以矩形的最大面积是.

三、解答题（本大题共小题，共分）

．（本小题满分分）已知函数（）＝－－－.

（）作出函数＝（）的图象；

（）解不等式－－－>

（）（）＝

图象如下：

（）不等式－－－>

，即（）>

由－＋＝，得＝.

由函数（）图象可知，原不等式的解集为（－∞，）．

．（本小题满分分）设，，，是正数，求证：

下列三个不等式：

①＋<

＋；

②（＋）（＋）<

③（＋）<

（＋）中至少有一个不正确．

假设不等式①②③正确．

∵，，，都是正数，

∴①②两不等式相乘得（＋）<

＋.④

由③式，得（＋）<

（＋）≤·

（＋）．

又∵＋>

＋，

由④式，得（＋）<

－，与平方和为正数矛盾．

∴假设不成立，即①②③式中至少有一个不正确．

．（本小题满分分）（新课标全国卷Ⅰ）若>

，且＋＝.

（）求＋的最小值；

（）是否存在，，使得＋＝？

并说明理由．

（）由＝＋≥，

得≥，且当＝＝时等号成立．

故＋≥≥，且当＝＝时等号成立．

所以＋的最小值为.

（）由（）知，＋≥≥.

由于>

，从而不存在，，使得＋＝.

．（本小题满分分）（辽宁高考）设函数（）＝－＋－，（）＝－＋.记（）≤的解集为，（）≤的解集为.

（）求；

（）当∈∩时，证明：

（）＋[（）]≤.

当≥时，由（）＝－≤得≤，

故≤≤；

时，由（）＝－≤得≥，故≤<

所以（）≤的解集为＝

由（）＝－＋≤，

得≤，解得－≤≤.

因此＝，

故∩＝.

当∈∩时，（）＝－，于是

（）＋·

[（）]＝（）[＋（）]＝·

（）＝（－）＝－≤.