高三数学一轮复习函数专题函数性质抽象函数分段函数Word下载.docx

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3、复合函数的单调性的判定：

f（x）,g（x）同增、同减，f（g（x））为增函数，f（x）,g（x）一增、一减，f（g（x））为减函数．

例1、设a＞0且a≠1，试求函数y=loga（4+3x-x2）的单调递增区间．

[解析]：

由题意可得原函数的定义域是（－１，４），

设u=4+3x-x2，其对称轴是x=3/2，

所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2]上单调递增；

在区间[3/2，4）上单调递减．①a＞１时，y=logau在其定义域内为增函数，

由x↑→u↑→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2]，

即为函数y=loga（4+3x-x2）的单调递增区间．

②０＜a＜１时，y=logau在其定义域内为减函数，

由x↑→u↓→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2，4），

即为函数y=loga（4+3x-x2）的单调递增区间．

例2、已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围。

由题意可知，a＞０．设u＝g（x）=2－ax，

则g（x）在［０，１］上是减函数，且x=１时，g（x）有最小值umin=2-a．

又因为u＝g（x）＝2－ax＞０，所以，只要umin=2-a＞０则可，得a＜２．又y=loga（2-ax）在[0，1]上是x减函数，u＝g（x）在［０，１］上是减函数，即x↑→u↓→y↓，所以y=logau是增函数，故a＞１．

综上所述，得１＜a＜2．

例3、已知f（x）的定义域为（０，＋≦），且在其上为增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f

（2）=1，试解不等式f（x）+f（x-2）&

3．

［解析］：

［此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值］

由题意可得，f（4）=f

（2）+f

（2）=2，3=2+1=f（4）+f

（2）=f（4〓2）=f（8）

又f（x）+f（x-2）=f（x2-2x）所以原不等式可化成f（x2-2x）&

f（8）

所以原不等式的解集为｛x|2&

x&

4｝

三、函数的奇偶性及应用

1、函数f（x）的定义域为D，x∈D，f（-x）=f（x）→f（x）是偶函数；

f（-x）=-f（x）→是奇函数

2、奇偶性的判定：

作和差f（-x）〒f（x）=0判定；

作商f（x）/f（-x）=〒1,f（x）≠0判定

3、奇、偶函数的必要条件是：

函数的定义域关于原点对称；

4、函数的图象关于原点对称奇函数；

函数的图象关y轴对称偶函数

5、函数既为奇函数又为偶函数f（x）=0,且定义域关于原点对称;

6、复合函数的奇偶性：

奇〒奇=奇，偶〒偶=偶，奇〓奇=偶，偶〓偶=偶，奇〓偶=奇．

12x?

1（x?

0）?

?

2例1.判断函数的奇偶性：

g（x）?

1?

x2?

2

11解：

当x＞0时，－x＜0，于是g（?

x）?

（?

x）2?

1?

（x2?

1）?

g（x）22

111当x＜0时，－x＞0，于是g（?

g（x）222

综上可知，g（x）是奇函数．

2x?

3?

0练习：

1.证明f（x）?

（x?

0），是奇函数.（x?

0）

例2.f（x）为R上的偶函数，且当x?

0）时，f（x）?

x（x?

1），则当x?

（0,?

）时，f（x）?

x（x+1）若f（x）是奇函数呢？

例3、已知函数f（x）?

（m?

2）x2?

1）x?

3是偶函数，求实数m的值．答案m?

1．

练习：

已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，

1则a=b=03

例4、已知函数f（x）?

x5?

ax3?

bx?

8，若f（?

2）?

10，求f

（2）的值。

答案：

f

（2）?

26

四、函数的周期性及应用

1、设函数y=f（x）的定义域为D，x∈D,存在非0常数T，有f（x+T）=f（x）→

f（x）为周期函数，T为f（x）的一个周期；

2、正弦、余弦函数的最小正周期为2π，函数y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的最小正周期是T=2π/|ω|；

3、正切、余切函数的最小正周期为π，函数y=Atan（ωx+φ）和y=Acot（ωx+φ）的周期是T=π/|ω|；

4、周期的求法：

定义域法；

公式法；

最小公倍数法；

利用函数的图象法；

5、一般地，sinωx和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanωx和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变（如：

y=|cos2x|的周期是π/2，y=|cotx|的周期是π．例1、设f（x）是（-≦，+≦）上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x,求f（7.5）［解析］：

由题意可知，f（2+x）=f（x）

f（7.5）＝f（8-0.5）＝f（-0.5）＝－f（0.5）＝－０.５

例2.设f（x）是定义在区间（?

?

）上且以2为周期的函数，对k?

Z，用Ik表示区间（2k?

1,2k?

1）,已知当x?

I0时，f（x）?

x2.求f（x）在Ik上的解析式.

解：

设x?

（2k?

1）,?

2k?

x?

1

I0时，有f（x）?

x2,?

由?

1得f（x?

2k）?

2k）2

f（x）是以2为周期的函数，?

f（x?

f（x）,?

f（x）?

2k）2.

例3．设f（x）是定义在（?

）上以2为周期的周期函数，且f（x）是偶函数，在区间?

2,3?

上，

f（x）?

2（x?

3）2?

4.求x?

1,2?

时，f（x）的解析式.解：

当x?

3,?

2?

，即?

，f（x）?

f（?

2（?

4?

4又f（x）是以2为周期的周期函数，于是当x?

2时，有f（x）?

4）

4）?

1）2?

4（1?

2）.2

2）.

例4.已知f（x）的周期为4，且等式f（2?

f（2?

x）对任意x?

R均成立，判断函数f（x）的奇偶性.

由f（x）的周期为4，得f（x）?

f（4?

x），由f（2?

x）得f（?

x），?

f（x）,故f（x）为偶函数.

函数专题一分段函数

4x?

3（x?

例1．求函数f（x）?

3（0?

1）的最大值.

5（x?

【解析】当x?

0时,fmax（x）?

f（0）?

3,当0?

1时,fmax（x）?

f

（1）?

4,当x?

1时,?

5?

4,综上有fmax（x）?

4.例2．在同一平面直角坐标系中,函数y?

f（x）和y?

g（x）的图象关于直线y?

x对称,现将y?

g（x）的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数f（x）的表达式为（）答案A.

0）A.f（x）?

2（0?

2）

0）B.f（x）?

2（1?

2）C.f（x）?

1（2?

6（1?

2）D.f（x）?

3（2?

2?

1）（x?

0）例3．判断函数f（x）?

2的奇偶性.?

0）y

x

【解析】

当x?

0时,?

0,f（?

x）2（?

x2（x?

f（x）,当x?

0时,f（?

0,当x?

0,?

f（x）因此,对于任意x?

R都有f（?

f（x）,所以f（x）为偶函数.?

0）例4．判断函数f（x）?

2的单调性.

（x?

x

3x

显然f（x）连续.当x?

0时,f&

#39;

（x）?

3x2?

1恒成立,所以f（x）是单调递增函数,当x?

0恒成立,f（x）也是单调递增函数,所以f（x）在R上是单调递增函数;

或画图易知f（x）在R上是单调递增函数.例5．写出函数f（x）?

|1?

2x|?

|2?

x|的单调减区间.?

3x?

2）?

【解析】f（x）?

x（?

2）,画图易知单调减区间为（?

2].?

例6．设函数f（x）?

1,若f（x0）?

1,则x0得取值范围是（）答案D.2?

A.（?

1,1）B.（?

1,?

）C.（?

（0?

）D.（?

（1,）

1）例7．

设函数f（x）?

则使得f（x）?

1的自变量x?

4（x?

1）y

的取值范围为（）

A．（?

2]?

[0,10]B.（?

[0,1]

C.（?

[1,10]D.[?

2,0]?

[1,10]

1时,f（x）?

2或x?

0,所以x?

2或0?

1,当x?

1时,

10,所以1?

10,综上所述,x?

10,故选A项.

抽象函数--“f（x）”有关问题

一、利用函数性质，解f（x）的有关问题

1.判断函数的奇偶性

例1已知f（x?

y）?

2f（x）f（y）,对一切实数x、y都成立，且f（0）?

0,求证f（x）为偶函数。

证明：

令x=0,则已知等式变为f（y）?

2f（0）f（y）……①在①中令y=0则2f（0）=2f（0）≧f（0）≠0?

f（0）=1?

f（y）?

2f（y）?

f（x）为偶函数。

2.求参数的取值范围

例2：

奇函数f（x）在定义域（-1，1）内递减，求满足f（1?

m）?

f（1?

m2）?

0的实数m的取值范围。

由f（1?

0得f（1?

m2），≧f（x）为函数，?

f（m2?

1）

m?

又≧f（x）在（-1，1）内递减，?

m2?

0?

3.解不定式

例3：

如果f（x）=ax2?

c对任意的t有f（2?

t）?

f2?

t）,比较f

（1）、f

（2）、f（4）的大小解：

对任意t有f（2?

x=2为抛物线y=ax2?

c的对称轴又≧其开口向上?

f

（2）最小，f

（1）=f（3）≧在［2，＋≦）上，f（x）为增函数?

f（3）&

f（4）,?

f

（2）&

f

（1）&

f（4）

◆方法总结：

抽象函数常见考点解法综述

1、定义域问题

例1.已知函数

的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。

，所以中的满足的定义域是［1，2］，是指从而函数f（x）的定义域是［1，4］

例2.已知函数解：

的定义域是，求函数的定义域。

中，由此可得的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在

所以函数2、求值问题的定义域是

例3.已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：

①

，求f（3），f（9）的值。

；

②

取，

得因为，所以又取

3、值域问题，得

例4.设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，

，使得解：

令若使得由于，则成立矛盾，故对任意，得，求函数，即有的值域。

或，对任意，必有。

，有。

总成立，且存在均成立，这与存在实数，均成立，因此，对任意

下面来证明，对任意

设存在，使得，则

矛盾，因此，对任意这与上面已证的所以

4、解析式问题

例5.设对满足

式。

的所有实数x，函数满足，求f（x）的解析

在中以代换其中x，得：

再在

（1）中以代换x，得

化简得：

5、单调性问题

例6.设f（x）定义于实数集上，当，求证：

在若当，令时，中取，则；

当时，时，，且对于任意实数x、y

，有在R上为增函数。

，得，与矛盾所以，即有

而又当设所以所以

时，

所以所以对任意，则

，恒有

在R上为增函数。

6、奇偶性问题例7.已知函数

对任意不等于零的实数

，试判断函数f（x）的奇偶性。

取又取再取因为

得：

则

为非零函数，所以

，所以，所以，即

为偶函数。

都有

7、对称性问题例8.已知函数

满足

，求中取

的值。

，所以函数

的

已知式即在对称关系式

图象关于点（0，2002）对称。

根据原函数与其反函数的关系，知函数点（2002，0）对称。

所以

将上式中的x用

代换，得

的图象关于

评析：

这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：

设a、b均为

常数，函数

对一切实数x都满足

，则函数

点（a，b）成中心对称图形。

8、网络综合问题

例9.定义在R上的函数f（x）满足：

对任意实数m，n，总有时，0&

f（x）&

1。

（1）判断f（x）的单调性；

（2）设，

，若

（1）在所以

在因为当时，。

中，令所以当时中，令，试确定a的取值范围。

，得，因为，且当x&

0，而

又当x=0时，设所以

所以所以，均有。

，所以，综上可知，对于任意，则在R上为减函数。

，根据函数的单调性，有

（2）由于函数y=f（x）在R上为减函数，所以即有又由，所以直线。

与圆面无公共点。

因此有

，解得

三、五类题型及解法（当练习使用）

1、线性函数型抽象函数

例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

分析：

由题设可知，函数f（x）是

键在于研究它的单调性。

设≧

在条件中，令y＝－x，则，即，≧当，，?

f（x）为增函数。

，再令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），?

f，?

，的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，

f

（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，

f（x）的值域为［－4，2］。

例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且当x＞

的解。

0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式

由题设条件可猜测：

f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。

设，≧当，?

，则

，即，?

f（x）为单调增函数。

≧

，又≧f（3）＝5，?

f

（1）＝3

。

－1&

a&

3。

2、指数函数型抽象函数，?

，即，解得不等式的解为

例3、设函数f（x

）的定义域是（－≦，＋≦），满足条件：

存在对任何x和y，成立。

求：

，使得，

（1）f（0）；

（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。

由题设可猜测f（x）是指数函数

（1）令y＝0代入。

若f（x）＝0，则对任意f（x）≠0，?

f（0）＝1。

（2）令y＝x≠0，则，又由

（1）知f（x）≠0，?

f（2x）的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。

，则，有，?

，这与题设矛盾，?

＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。

例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：

①f（x）＞0，x∈N

③f

（2）＝4。

同时成立？

若存在，求出f（x）的解析式，

如不存在，说明理由。

由题设可猜想存在

用数学归纳法证明如下：

（1）x＝1时，≧

，结论正确。

（2）假设时有，则x＝k＋1

时，，又≧x∈N时，f（x）＞0

，?

，又由f

（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，

x＝k＋1时，结论正确。

综上所述，x为一切自然数时

3、对数函数型抽象函数

对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。

例5、设f（x）是定义在（0，＋≦）上的单调增函数，满足，。

求：

（1）f

（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。

由题设可猜测f（x）是对数函数

（1）≧

（2）

即的抽象函数，f

（1）＝0，f（9）＝2。

f

（1）＝0。

，从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），，≧f（x）是（0，＋≦）上的增函数，故

，解之得：

8＜x≤9。

例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。

如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）〃g（b）是否正确，试说明理由。

分析:

由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又≧y＝f（x）的反函数是y＝g（x），?

y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）〃g（b）正确。

设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，?

g（m）＝a，g（n）＝b，从而，?

g（m）〃g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）〃g（b）。

4、三角函数型抽象函数

三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。

例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：

①当是定义域中的数时，有；

②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。

试问：

（1）f（x）的奇偶性如何？

说明理由。

（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？

由题设知f（x）是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：

f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成

（1）≧f（x）的定义域关于原点对称，且进行猜想）。

是定义域中的数时有

在定义域中。

，

f（x）是奇函数。

（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，≧在（0，2a）上f（x）＜0，

f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知于是f（x1）＜f（x2），?

在（0，2a）上f（x）是增函数。

中的，

又，≧f（a）＝－1，?

，?

f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，

，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。

设

2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。

f（x2－x1）＜0，≧，?

，即

f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。

综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。

5、幂函数型抽象函数

幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。

例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）〃f（y），且f（－1）＝1，f

（27）＝9，当时，。

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在［0，＋≦）上的单调性，并给出证明；

（3）若，求a的取值范围。

的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，分析：

由题设可知f（x）是幂函数

＋≦）上是增函数。

（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）〃f（－1），≧f（－1）＝1，?

f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。

（2）设，?

，，≧增函数。

时，，?

f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋≦）上是

（3）≧f（27）＝9，又

≧，?

，≧，?

，又，故，。