将军饮马系列最值问题Word文档下载推荐.docx
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精通数理的海伦稍加思索,便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.
下面我们来看看数学家是怎样解决的•海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题.
根据公理:
连接两点的所有线中,线段最短.
若A、B在河流的异侧,直接连接AB,AB与I的交点即为所求.
若A、B在河流的同侧,根据两点间线段最短,那么显然要把折线变成直线再解.
海伦解决本问题时,是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理,即轴对称思想
轴对称及其性质:
那么就是说这两个图形关于这条
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
如下图,ABC与A'
B'
C'
关于直线I对称,I叫做对称轴.A和A'
B和B'
C和C'
是对称点.
轴对称的两个图形有如下性质:
1关于某条直线对称的两个图形是全等形;
2对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线;
3两个图形关于某条直线对称,如果他们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.
线段垂直平分线:
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等;
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高,或者求几条折线段的最小值等情况,通常考虑作轴
对称变换,以“补齐”图形,集中条件。
所有的轴对称图形(角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴),都可以考察“将军饮马”问题。
考察知识点:
“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。
解题总思路:
找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问
题考查。
构建“对称模型”实现转化
PAPB…BC
常见模型:
(1)PAPB最小
(2[①PAPB最小
②PAPB最大
(3)周长最短
类型一类型二类型三
(4)“过河”最短距离
(5)线段和最小
12
(6)在直角坐标系里的运用
APE=BPE
上同步练习
【变式练习】已知:
如图,ABC及两点M、N.求作:
点P,使得PMPN,且P点到ABC两边所在的直线的距离相等.
【例2】已知点A在直线|夕卜,点P为直线|上的一个动点,探究是否存在一个定点B,当点P在直线I
上运动时,点P与A、B两点的距离总相等,如果存在,请作出定点B;
若不存在,请说明理
由.
【例3】如图,在公路a的同旁有两个仓库A、B,现需要建一货物中转站,要求到A、B两仓库的距
离和最短,这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理?
B
A
a
【变式练习】如图,M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点,在AB上求一点P,使PMN的周长最短.
【例4】如图,AOB45,角内有点P,在角的两边有两点Q、R(均不同于0点),求作Q、R,
使得PQR的周长的最小.
【例5】如图,在POQ内部有M点和N点,同时能使MOPNOQ,这时在直线0P上再取A点,使从A点到M点及N点的距离和为最小;
在直线0Q上也取B点,使从B点到M点和N点的距离和也最小.证明:
AMANBMBN.
【例6】已知如图,点M在锐角AOB的内部,在0B边上求作一点P,使点P到点M的距离与点P到
OA的边的距离和最小.
【例7】已知:
A、B两点在直线I的同侧,
在I上求作一点M,使得|AMBM|最小值和最大值.
【变式练习】
(07年三帆中学期中试题)如图,正方形ABCD中,AB8,M是DC上的一点,且DM2,
N是AC上的一动点.
求
(1)DNMN的最小值与最大值.
(2)|DNM叫的最小值与最大值.
【例8】如图△ABC,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合),记ADEF
的周长为P,请作出周长最小的ADEF.
课后练习
【习题1】如图,在等腰RtABC中,CACB3,E的BC上一点,满足BE2,在斜边AB上求作一点P使得PCPE长度之和最小.
角线AC求作一点P使得PMPN的值最小.
BPAP的值最小,并求BPAP的最小值.
【习题5】如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PDPE的和最小,则这个最小值为()
【习题6】如图,在平面直角坐标系中,直线I是第一、三象限的角平分线.
实验与探究:
(1)由图观察易知A2,0关于直线I的对称点A'
的坐标为2,0,请在图中分别标
B5,3、C2,5关于直线I的对称点B'
、C'
的位置,并写出它们的坐标:
C'
;
归纳与发现:
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:
坐标平面内任一点Pa,b关于第一、三象限的
角平分线I的对称点P'
的坐标为(不必证明);
运用与拓广:
(3)已知两点D1,3、E1,4,试在直线I上找一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最
小.