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《张丘建算经》[5]291、李淳风注《九章算术》中有的“开方”[2]136指的是开立方。

到北宋贾宪“开方作法本源”图（见图1）出现，“开方”所包含的范围更广，除了开平方、开立方等，还包含开三乘及以上方以及各种开带从方问题，所以很多算书都把开方作为一个大的重要门类进行介绍。

图1“开方作法本源”图[6]1416

如杨辉称“开方乃算法中大节目”，并将“开方”分为七类：

“一曰开平方，二曰（积）[开]平圆，三曰开立方，四曰开立圆，五曰开分子方，六曰开三乘以上方，七曰带从开方。

”[7]1049朱世杰《算学启蒙》中有“开方释锁门”一条，其中包含了开平方、开立方、开三乘方等[8]。

元末贾亨《算法全能集》称：

“开方之法有三：

有平方，有直方，有立方。

”[9]《九章算法比类大全》“习算之法”中称“一先要熟读九数，二要诵归除歌法……九要知勾股弦数，十要知开方各色”，该书最后一卷为“各色开方卷”[10]13-14，包含开三乘方、开四乘方、开五乘方、带从平方、带减从开平方、带减积开平方等等。

王文素《算学宝鉴》引用杨辉的分类，“开方”内容更为丰富，除了包含上述七个分类，另外还有“共积开平方”“共积开立方”“三乘以上圆”等较细分类。

周述学《神道大编历宗算会》称“各求方面法，用商除以开其积，谓之开方”[11]，并介绍了开平方、开立方、开三乘方、开四乘方、开五乘方的运算过程，还介绍了各类开带从方法。

《数学通轨》“习数法语”也称“一先要熟读九数，……十要知开方各色”[12]1173。

该书并未介绍各色开方，但书中最后一部分“九章总义”引用顾应祥的说法，对开方有所介绍：

“箬溪顾氏曰：

……开者，除也；

阖者，乘也。

……以积求形，则先得其积，而后求其长短广狭斜正之形，有非乘除之所能尽者，故必以商除之。

然而商除亦不能尽也，而又立正负廉隅之法以增损附益之，故其为术也难。

予见《测圆海镜》一书，荆川唐太史所录，乃元翰林学士乐城李公冶所著，虽专主于勾股求容圆容方一术，然其中间如平方、立方、三乘方、带从、减从、益廉、减廉、正隅、负隅诸法，凡所谓以积求形者皆尽之矣，故为之分其类而释其术以便下学云耳。

”[12]1209如《数学通轨》所述，顾应祥《测圆海镜分类释术》和《测圆海镜》详注了多种类型的开方，前书共有开平方到开四次方的各种开方细草60多条，后书也有26条之多。

清李长茂《算海说详》第四卷为开方章，介绍各类开方问题[13]。

杨辉对开方的分类较早，也比较全面，下面就依照杨辉的七个分类：

开平方、开平圆、开立方、开立圆、开分子方、开三乘以上方、带从开方，依次介绍各术语的产生及发展。

其中第1、3、6项与第7项都有重叠之处。

（一）开平方

《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《张丘建算经》《五经算术》《缉古算经》《开元大衍历经》等书中都用到开平方，但都没有用“开平方”这一术语，而是以“开方”表示开平方。

目前存留的算书中，《夏侯阳算经》中最早出现“开平方”之名[14]，即我们现在所说的开平方。

其后的算书中基本都沿用“开平方”术语指代开平方，但有时亦兼指开带从平方。

如杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引用刘益《议古根源》“置积为实，以不及步为从方，开平方除之”[7]1086，其中“开平方除之”即开带从平方法，再如《测圆海镜分类释术》中的“负隅开平方法”[15]1000-1001，相当于求解方程1250x2=18000000。

所以，在古代对于求一元二次方程的正根，有的算书统称为“开平方”。

（二）开立方

《九章算术》记载了开立方法，并有“开立方”这一术语[2]133，含义与我们现在所说的开立方一致。

此术语也出现在后来的算书中，大部分用来指代开立方法，但如同“开平方”含义的扩展一样，有时开带从立方也简称为“开立方除之”。

如王孝通《缉古算经》第15问“幂自乘，倍多数而一，为实，半多廉法，从。

开立方除之”[16]，张爵《九章正明算法》“得四千八十个为实，以二为纵方，三为纵廉，以开立方法除之”[17]，都是对开带从立方的说明。

所以，在古代对于求一元三次方程的正根，有的算书统称为“开立方”。

（三）开平圆

古代把球称为立圆，平面上的圆形称为平圆。

开平圆法，即已知圆面积求圆周或半径的方法，其实开平圆可归结为开平方。

《九章算术》南宋本中有“开圆术”这一术语[18]271，是已知圆面积求圆周的方法。

《孙子算经》[19]《张丘建算经》[5]274-275等书中也有这类问题，至杨辉《乘除通变本末》中出现“开平圆”，明代吴敬、王文素、余楷等都沿用了这一术语。

其中，余楷《一鸿算法》中有“开平圆方歌”[20]，程大位《算法统宗》中有“平圆法歌”[4]1315。

清李长茂《算海说详》“开方章”中有“平圆开方问径周法”[13]，清代方中通《数度衍》的“开平圆”分“积求外周法”和“积求内径法”两部分[21]，清梅瑴成《增删算法统宗》也载有“平圆法歌”等[22]。

（四）开立圆

开立圆法即已知球体积求立圆径或立圆周的方法，可归结为开立方法。

《九章算术》南宋本有“开立圆术”，是已知球体积求球径的方法[2]279。

《张丘建算经》中载有已知立圆（球）体积求其直径的问题[5]290。

李淳风注《九章算术》中说到“祖暅之开立圆术曰：

以二乘积，开立方除之，即立圆径”[2]137。

意思是以2乘体积，对它做开立方除法，就是立圆的直径。

后来这一术语也发现于《九章比类》《算学宝鉴》等书中。

其中，《算法统宗》载有“立圆法歌”[4]1324，《算海说详》“开方章”中有“立圆开方问径法”一条，《数度衍》的“开立圆”分“积求外周法”和“积求内径法”两类，《增删算法统宗》也载有“立圆法歌”等。

除了开平圆和开立圆问题，王文素《算学宝鉴》中还载有“三乘以上圆”问题，并有歌诀：

“算家若要开圆积，积乘方率通为实。

圆率为隅列下张，开方取径无差失。

”[23]927

（五）开分子方

开分子方即分数开方问题，也可归于开平方、开立方、开三乘以上方等各类中。

这里提到两种情况，一种是分母可以直接开出整数来，则对分子和分母分别开方；

另一种是分母不能直接开出整数来，这时通过分子、分母同时乘以一个或几个数，使分母可以直接开出整数来，便可化为前一种情况，此术的重点在于求分子的方根或其近似值。

因为强调分子的开方，所以称为“开分子方”。

《九章算术》详述了分数开平方和分数开立方问题，如对分数开平方，“若实有分者，通分内子为定实，乃开之。

讫，开其母，报除。

若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。

讫，令如母而一。

”[18]269对分数开立方也有类似说明[18]277。

现存算书中，杨辉《算法通变本末》中始出现“开分子方”术语[7]，王文素《算学宝鉴》也载有此类问题，第十六卷有“平方带分子”[23]560，第三十五卷有“开分子立方”[23]853等。

总体说来，专门论述分数开方问题的古代算书还是比较少的。

（六）开三乘以上方

“开n乘方”，表示开（n+1）次方，或求一元（n+1）次方程的数值解。

按杨辉的分类，开三乘以上方，包含开三乘方。

现存的中国古代资料中，贾宪最先记载了直接开三乘方的方法，称为“递增三乘开方法”[6]1426。

其后，秦九韶、朱世杰、吴敬、王文素、程大位等都载有开三乘方等问题。

如王文素《算学宝鉴》中的“置积一千五百二十五亿八千七百八十九万六百二十五尺为实，以一为隅算，开七乘方除之”[23]926，相当于求。

有时开三乘带从方法亦称为“开三乘方除之”，如杨辉《田亩比类乘除捷法》的一则题目，术曰：

“倍积，自乘为实。

四因积步为上廉，四因径步为下廉，五为负隅，开三乘方除之，得矢。

……”[7]1093，相当于求一元四次方程-5x4+52x3+128x2=4096的数值解。

（七）带从开方

带从开方，也叫开带从方，不止包含带从开平方、带从开立方，还包括带从开三乘以上方。

《九章算术》中就有带从开平方问题，出现“从法”这一术语，但是没有运算过程[2]200，此方法是开平方法求次商及以后各商的程序，所以该书仍用“开方除之”代之，并未出现“带从开平方”或“开带从平方”等术语。

此外，《算法全能集》中的“直方”，也可能是指带从开平方。

秦九韶《数书九章》中的“开连枝三乘方”“开翻法三乘方”“开玲珑翻法三乘方”等都属于带从开三乘方，书中还有“开玲珑九乘方”，即带从开九乘方[24]。

吴敬、顾应祥、周述学、王文素、程大位等也都载有丰富的带从开方问题。

另外，不少算书也对“开方不尽”问题进行了阐释，如《九章算术》《算学宝鉴》《算法统宗》等分别对开平方不尽、开立方不尽问题进行了说明，并给出了解决办法。

综上，“开方”最开始是指开平方或者开带从平方，后来针对开立方等也说“开方除之”。

随着数学的高度发展，开方逐渐成为一个大的门类，也能够解决开四次及以上方以及各类带从开方问题。

总的来说，在中国古代，开方是求解一元二次及以上方程的数值解的一类问题。

“开平方”“开立方”“开三乘方”等术语不仅可指开平方、开立方、开三乘方等，有时，带从开平方、带从开立方、带从开三乘方也分别简称为“开平方除之”“开立方除之”“开三乘方除之”。

“带从开方”一般专门指带有“从法”的开方问题。

二一些辞典对“开方”及其分类

术语的解释存在问题

我们在研读工作中发现，一些辞书中有关开方的术语之解释存在这样那样的问题。

因此本文将对这些问题做一简要的讨论。

中国传统数学中，很早就有筹算开方法，后来在此基础上又发展为珠算开方法，因此下面将以涉及“开方”及相关古算术语较多的《数学辞海》和几部珠算辞典为主，分析它们对“开方”等术语的解释，以考察是否符合其历史含义。

其他辞书如《大辞海·

数理化力学卷》的“中国古算”[25]50、《中国大百科全书·

数学》的“中国古代数学计算方法”[26]部分关于开方只介绍了“增乘开方法”。

关于“开方”，《大辞海·

数理化力学卷》对它的历史含义解释得较全面：

“中国传统数学中指求二次及高次方程（包括二项方程）的正根。

《九章算术》少广章提出了世界上最早的多位数开平方、开立方程序，宋元时发展为增乘开方法。

”[25]59但更确切地说是求一元二次及高次方程的正根。

《数学辞海》第6卷称是“开平方的方法”，并举例《九章算术》中的“开方术”特指开平方运算[27]42，但《九章算术》有一例解中的“开方除之”指的是带从开平方法。

《世界珠算通典》[28]72《中华珠算大辞典》[29]85和《珠算小辞典》[30]将“开方”均解释为“乘方的逆运算”，和现代数学对开方的解释相同，不符合珠算开方的含义。

关于“开平方”，《数学辞海》中没有对“开平方”一词的解释，根据它对“开方”的解释，也许它将“开方”当成开平方的古算术语。

《世界珠算通典》[28]345《珠算小辞典》[30]对“开平方”的解释基本相同，均将求非负实数方根的运算叫作开平方。

《中华珠算大辞典》解释“开平方除”指开平方运算，简称为开方除，并称“《九章算术》和其他古算书中，把解二次方程（带纵开方）的方法，也称作开方除（之）。

”[29]88除了《中华珠算大辞典》对“开平方”的解释较符合其本意，其他辞书的解释都比较片面。

关于“开立方”，《数学辞海》等辞书均解释为“开立方的方法”，只有《中华珠算大辞典》做了补充：

“《缉古算经》等古算书中，把解三次方程（带从开立方）的方法，也称作开立方除。

”[29]90

关于“开平圆”“开立圆”，三部珠算辞典都没有对这两个术语进行解释和介绍，其实程大位《算法统宗》、李长茂《算海说详》等珠算书中均载有这两类问题。

《数学辞海》没有介绍“开平圆术”，对“开立圆术”进行了解释：

“指已知球体积，求球直径的方法”[27]42，但开立圆术还包含已知球体积求球的大圆周长（称为“求立圆周”）的方法，如《数度衍》等书中就载有此类问题。

关于“开带从平方”，也称为“带从开平方”，《数学辞海》对此术语解释如下：

“指求形如的一元二次方程的正根的一种解法”[27]48，忽略了二次项系数不为1，A和B不一定大于0的情况，如《测圆海镜分类释术》中有相当于求解形如4x2-1248x-92160=0的一元二次方程的方法，书中称之为“负隅减从开平方法”[15]1003；

《算法统宗》中求解形如x2-60x-864=0的“减从开平方法”[4]1314，其实都属于“带从开平方法”一类。

《世界珠算通典》[28]122和《中华珠算大辞典》[29]297的解释：

“古代把二次方程x2+ax=b中的一次项系数a叫‘从法’，后来中算家即把解二次方程称为‘带从开平方’。

”除了存在与《数学辞海》相似的错误以外，后半句中忽略了当一次方程a=0时，即为开平方法。

关于“开带从立方”，也称为“带从开立方”，各辞典对此术语的解释仍出现了同上对“开带从平方”解释不全面的问题。

如《数学辞海》解释为：

“指求形如的一元三次方程的正根的一种方法。

”[27]48《世界珠算通典》称，中国古代将形如；

；

之三次方程的解法称为带从开立方或开带从立方[28]121。

这个说法是很不准确的，其实这类形式中有些只存在于列出开方式的过程中，还没有进入到马上可以开方的阶段。

《中华珠算大辞典》说：

“解含有一次项的三次方程，称为‘带从开立方’。

”[29]297上述解释都忽略了三次项系数不等于1、二次项系数不为0的一元三次方程的情况，对各项系数符号的说明也过于片面。

如《九章比类》中有相当于求解3x3+60x2+400x-304000=0的一元三次方程的方法，吴氏称之为“带从方廉隅算开立方法”[10]314。

关于“开三乘以上方”（相当于求4次或更高次方程的数值解），以上辞书没有解释。

《数学辞海》中有“开诸乘方”与之相关，其解释为：

“将开平方、开立方算法推广到开更高次方，是中国古代数学家在《九章算术》‘开方术’基础上，借助于‘开方作法本源图’发展起来的一种算法”[27]52，但也不甚准确，因为有的四次以上开方并不用“开方作法本源图”（即贾宪三角），如开高次方的增乘开方法就不用这个图表，明代朱载堉（1536—1611）开12次方时也不用，而是化为两次开平方、一次开立方来解决。

关于“开带从方”，也称为带从开方，以上辞书中均未对此术语进行介绍，也没有对开三乘带从方等开方法的解释和说明，这类问题在《数书九章》《四元玉鉴》《九章比类》《算学宝鉴》《测圆海镜分类释术》《神道大编历宗算会》等算书中均有涉及。

如朱世杰《四元玉鉴》卷上“和分索隐”门第13问中有：

“得一百六十九万五千二百五十二为益实，三千九百六十为从方，一千七百二十九为从上廉，二千六百四十为益下廉，五百七十六为从隅，三乘方开之，得平。

……”[31]，相当于解四次方程576x4-2640x3+1729x2+3960x-1695252=0[32]。

根据上述对一些辞书在解释有关“开方”及其分类术语时存在的问题之分析，我们可以用现代数学语言将修正后的结果概括如表1。

三结语

同时，我们也发现，一些辞典对这些术语的解释不少地方不符合历史事实。

一个普遍的问题是缩小了不少术语本身的含义。

特别是各类珠算辞典对开方的介绍，没能充分体现出珠算开方法本身的特点，比如用算盘可以求一元二次及高次方程的正根，并有相应珠算开方法，但这些珠算辞典却只是对有关开方的术语做出笼统的介绍，掩盖了算盘的功能。

所以，建议各类书籍或辞典在介绍开方的历史，或解释中国古代有关开方的术语时，应尽量全面、真实而完整地反映历史事实，做到既符合本义，又能起到普及的作用。

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（二）：

中国古算术语“金蝉脱壳”的含义及其演变论文

“金蝉脱壳”是用加减解决乘除运算的一种算法，是中国古代数学中，特别是珠算中比较重要、浅显易懂的乘除计算方法，后来发展成较为复杂的“凑倍乘除”“剥皮”“扒皮”等算法。

一些珠算辞书或著作对“金蝉脱壳”等术语进行了解释，但各有不同，同时也存在一些缺点。

文章通过追溯其源流并分析不同算书中“金蝉脱壳”及其相关术语的含义，对“金蝉脱壳”的数学含义及演变过程进行了新的研究。

金蝉脱壳；

珠算术语；

数学含义；

演变；

中国古代数学史

引言

金蝉脱壳的本义是蝉由幼虫变为成虫时脱壳而出，比喻用计脱身，又比喻蜕变改易[1-3]，早在元代《三国志平话》、马致远《马丹阳三度任风子》、关汉卿《钱大尹智宠谢天香》、施君美《幽闺记·

文武同盟》等文学作品中就有关于“金蝉脱壳”的记载，这些含义在现代仍被广泛使用。

殊不知“金蝉脱壳”还被用于数学中，除了现代学者对于“金蝉脱壳数”的介绍与研究[4]外，比较重要的则是“金蝉脱壳”作为一种算法在珠算中的使用，这也是本文研究的主要内容。

作为一种容易理解的算法，“金蝉脱壳”在中国古代数学中就已出现，在明代尤其流行，是珠算中比较重要且简单的针对乘除运算的方法。

一般的珠算著作都对这一术语有解释或说明，如朱永茂《无诀珠算》[5]既认为“金蝉脱壳”是“扒皮除法”的一种形式，又认为扒皮法可能是由“金蝉脱壳”演化而来。

华印椿《中国珠算史稿》[6]和李培业《中国珠算简史》[7]介绍凑倍乘除时，称之为一种简易算法，原名“金蝉脱壳”。

其中华印椿对“金蝉脱壳”及相关算法的介绍更为详细，又称其别名有“大扒皮”“剥皮”“混归”等，《中国科学技术史·

数学卷》[8]也有类似介绍。

一些珠算辞书对“金蝉脱壳”及相关术语的含义及历史也进行了解释，为便于分析，下面以列表形式介绍（表1—表3）。

表1《珠算小辞典》中“金蝉脱壳”及相关术语的解释

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根据表1，《珠算小辞典》只有对“金蝉脱壳除法”的介绍，又称为“一、二、五除法”“扒皮除法”“凑倍除法”等等，即用除数的一、二和五倍值简化除法运算的算法。

表2《中华珠算大辞典》中“金蝉脱壳”及相关术语的解释

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根据表2，《中华珠算大辞典》称金蝉脱壳即凑倍乘法，后来演化为用类似方法解决除法运算，所以又将凑倍除法称为“金蝉除法”。

表3《世界珠算通典》中“金蝉脱壳”及相关术语的解释

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根据表3，《世界珠算通典》称“金蝉乘法”即“金蝉脱壳”，亦称“凑倍乘法”“迭皮乘法”等等，是一种简捷的乘法运算。

又说金蝉脱壳是凑倍乘除的原始名称，意为这既能表示乘法运算，也包含除法运算。

还称金蝉除法即剥皮除法，亦称凑倍除法，但与“金蝉脱壳”的解释又前后不一。

可见该辞书对各术语的解释比较混乱。

综上，上述珠算辞书或著作对“金蝉脱壳”及其相关术语的解释不尽相同，对其来源、演变等也没有统一说法，作为珠算中比较重要的术语，有必要厘清“金蝉脱壳”的含义，并追溯其源流及演变。

一古算术语“金蝉脱壳”的来源及含义

（一）“金蝉脱壳”一词的出现及来源

一般认为，“金蝉脱壳”这一术语最早见于徐心鲁订正的《盘珠算法》（1573）[12]。

但其实周述学《神道大编历宗算会》（以下简称《历宗算会》）（1558）卷一中就载有“金蝉脱壳法”，又名“连环算法”[13]586，卷十五有歌诀称[13]827：

连环算法

乘法除双还倍数，须知去一要添原，归除满法①过身一，实②无折半当身五。

这种方法最早见于《九章算法比类大全》（1450）（以下简称《九章比类》），名为“乘除易会算诀”，歌诀的前四句与《历宗算会》中的完全相同，后四句云“不用九归并小九，只将二十字为先，乘除加减皆从此，万两黄金不与传”[14]。

《九章比类》后附两则例题并解析，与《历宗算会》中前两则例解相似，可见“金蝉脱壳”在此之前或许名为“乘除易会算诀”，包含乘和除两类算法，不用口诀，均使用更为简单的加减运算完成。

另外，早在明代高儒《百川书志》（1540）卷十一中就载有“《金蝉脱壳纵横算法》一卷，不知作者”[15]，但没有具体内容。

至于该术语最早出现于哪种算书，目前不好判断。

据李兆华介绍，现存残本《九章正明算法》中有“金蝉脱壳4题”，该本为明万历十年（1582）北京重刊本，《算经源流》所记嘉靖己亥（1539）或为初刊年代[16]。

那么，“金蝉脱壳”用作算学术语或许最早出现于15世纪末16世纪初。

（二）“金蝉脱壳”的含义

《九章比类》和《历宗算会》所载金蝉脱壳法是指乘除运算不再使用九归或九九口诀，用加或减法代替，乘法运算中，使用乘数及其二倍数进行运算，被乘数中减2，得数加乘数的二倍数；

被乘数中减1，得数加乘数。

除法运算中，使用除数及其半数进行运算，被除数中减去除数，商数加1；

被除数中减去除数的一半，商数加5。

其中，不同数值的运算要注意积数或商数的定位问题。

这应该就是“金蝉脱壳”最初的含义。

《盘珠算法》对“金蝉脱壳”的解释与之不同，原文如下[17]1146：

金蝉脱壳诀法

蠢子清曰：

……分物在位，人数在，只管一进一除，此一位进除殆尽，又从次位进除之，……直进除到末位俱尽，方才是数科量呼喝数目是也。

二人分物，进一除二，三人分，进一除三……

根据其解释，此处的金蝉脱壳仅是指除法运算，只使用除数本身进行运算，商数加1则从被除数中减去除数一次。

之后载有“二字奇法”[17]1147：

二字奇法

诗曰：

二字赛归除，玄中妙更奇，贤愚从此学，尽在一时知。

止用进退二法，凡用（八）[分]③物，进一隔位而除之；

凡用见总，退一隔位而加之，易明之见也。

“诗曰”中说“二字赛归除”，可知是在讲除法，但“诗曰”之后是对乘除运算的定位说明，除法运算时，商1放置于被除数之前，隔一位从被除数中减去除数；

乘法运算时，从被乘数末位减1，之后隔一位加上乘数。

其“金蝉脱壳诀法”同于“实如法而一”④，含义与《历宗算会》等书中的不同。

程大位《算法纂要》（1598）“杂法”条中提道：

“按金蝉脱壳及二字算等法，用倍、折、进、除”[18]。

华印椿认为程氏所说的“二字算”当是《盘珠算法》中的“二字奇法”[6]，但后者并没有用到倍、折运算。

柯尚迁《数学通轨》（1578）中没有“金蝉脱壳”一词，目录中有“金蝉法”[19]1168，分为“金蝉乘法义”“金蝉归除义”[19]1182两种算法进行介绍，与《九章比类》《历宗算会》中的含义相似，不同之处在于，“金蝉乘法义”使用后乘法，《九章比类》和《历