人教版九级下《第章锐角三角函数》专项训练含答案.docx

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人教版九级下《第章锐角三角函数》专项训练含答案

第28章锐角三角函数专项训练

专训1　求锐角三角函数值的常用方法

名师点金：

锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．

直接用锐角三角函数的定义

1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，

（第1题）

则tanB的值是（　　）

A.　　　B.

C.　　　D.

2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．

（第2题）

3．如图，直线y＝x＋与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.

（1）求点B的坐标；

（2）求sin∠BAO的值．

（第3题）

利用同角或互余两角三角函数间的关系

4．若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA＝（　　）

A．1B.C.D.

5．若α为锐角，且cosα＝，则sin（90°－α）＝（　　）

A.B.C.D.

6．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．

巧设参数

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB的值为（　　）

A.B.C.D.

8．已知，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，且a，b，c满足b2＝（c＋a）（c－a）．若5b－4c＝0，求sinA＋sinB的值．

利用等角来替换

9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sinB的值．

（第9题）

专训2　同角或互余两角的三角函数关系的应用

名师点金：

1．同角三角函数关系：

sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.

2．互余两角的三角函数关系：

sinα＝cos（90°－α），cosα＝sin（90°－α），tanα·tan（90°－α）＝1.

同角间的三角函数的应用

1．已知＝4，求的值．

2．若α为锐角，sinα－cosα＝，求sinα＋cosα的值．

余角间的三角函数的应用

3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是（　　）

A．sin（45°－α）＝sin（45°＋α）

B．sin2（45°－α）＋cos2（45°＋α）＝1

C．sin2（45°－α）＋sin2（45°＋α）＝1

D．cos2（45°－α）＋sin2（45°＋α）＝1

4．计算tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°的值．

同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用

5．已知sinα·cosα＝（α为锐角），求一个一元二次方程，使其两根分别为sinα和cosα.

6．已知α为锐角且sinα是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求的值．

专训3　用三角函数解与圆有关问题

名师点金：

用三角函数解与圆有关的问题，是近几年中考热门命题内容，题型多样化；一般以中档题、压轴题形式出现，应高度重视．

一、选择题

1．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sinB＝（　　）

A.B.C.D.

（第1题）

（第2题）

2．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为（　　）

A．1B.C．3D.

3．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝.⊙O过B，C两点，且⊙O半径r＝，则OA的长为（　　）

A．3或5B．5C．4或5D．4

4．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°.下列四个结论：

（第4题）

①OA⊥BC；

②BC＝6cm；

③sin∠AOB＝；

④四边形ABOC是菱形．

其中正确结论的序号是（　　）

A．①③　B．①②③④　C．②③④　D．①③④

二、填空题

5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.

（第5题）

（第6题）

6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cosE＝________.

7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点（不与A，B重合），则cosC的值为________．

（第7题）

（第8题）

8．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE＝________.

三、解答题

9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，tanB＝，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D，E，得到.

（1）求证：

AB为⊙C的切线；

（2）求图中阴影部分的面积．

（第9题）

10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.

（1）求证：

AT是⊙O的切线；

（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．

（第10题）

11.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.

（1）求证：

DC＝DE；

（2）若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长．

（第11题）

12．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝.

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．

（第12题）

13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC＝5，OB＝3，且cos∠BOE＝.

求证：

CB是⊙O的切线．

（第13题）

答案

1．C

2．解：

∵AD⊥BC，∴tan∠BAD＝.

∵tan∠BAD＝，AD＝12，∴＝，∴BD＝9.

∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，

∴在Rt△ADC中，AC＝＝＝13，

∴sinC＝＝.

3．解：

（1）解方程组得

∴点B的坐标为（1，2）．

（第3题）

（2）如图，过点B作BC⊥x轴于点C，由x＋＝0，解得x＝－3，

则A（－3，0），∴OA＝3，

∴AB＝＝2，

∴sin∠BAC＝＝＝，

即sin∠BAO＝.

4．D　5.B　6.30°　7.B

8．解：

∵b2＝（c＋a）（c－a），∴b2＝c2－a2，

即c2＝a2＋b2，∴△ABC是直角三角形．

∵5b－4c＝0，∴5b＝4c，

则＝，设b＝4k，c＝5k，那么a＝3k.

∴sinA＋sinB＝＋＝.

9．解：

∵CD是斜边AB的中线，

∴CD＝AD＝BD.

∴∠DCB＝∠B.

∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠ACD＋∠CAH＝90°，

∴∠DCB＝∠CAH＝∠B.

在Rt△ACH中，AH＝2CH，

∴AC＝CH.∴sinB＝sin∠CAH＝＝.

1．分析：

本题可利用求解，在原式的分子、分母上同时除以cosA，把原式化为关于的代数式，再整体代入求解即可．也可直接由＝4，得到sinA与cosA之间的数量关系，代入式子中求值．

解：

（方法1）原式＝＝.

∵＝4，∴原式＝＝.

（方法2）∵＝4，∴sinA＝4cosA.

∴原式＝＝＝.

2．分析：

要求sinα＋cosα的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．

解：

∵sinα－cosα＝，∴（sinα－cosα）2＝，

即sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝.

∴1－2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝.

∴（sinα＋cosα）2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋＝.

又∵α为锐角，∴sinα＋cosα＞0.

∴sinα＋cosα＝.

3．C　点拨：

∵（45°－α）＋（45°＋α）＝90°，∴sin（45°－α）＝cos（45°＋α），sin2（45°－α）＋sin2（45°＋α）＝cos2（45°＋α）＋sin2（45°＋α）＝1.

4．解：

tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°＝（tan1°·tan89°）·（tan2°·tan88°）·…·（tan44°·tan46°）·tan45°＝1.

点拨：

互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tanα·tanβ＝1.

5．解：

∵sin2α＋cos2α＝1，sinα·cosα＝，

∴（sinα＋cosα）2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2×＝.

∵α为锐角，∴sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝.

又∵sinα·cosα＝，

∴以sinα，cosα为根的一元二次方程为x2－x＋＝0.

点拨：

此题用到两方面的知识：

（1）公式sin2α＋cos2α＝1与完全平方公式的综合运用；

（2）若x1＋x2＝p，x1x2＝q，则以x1，x2为两根的一元二次方程为x2－px＋q＝0

6．解：

∵sinα是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，

∴由求根公式，得

sinα＝＝.

∴sinα＝或sinα＝3（不符合题意，舍去）．

∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－＝.

又∵cosα＞0，∴cosα＝.

∴＝＝

＝|sinα－cosα|＝＝.

一、1.D

2．D　点拨：

∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴∠B＝∠ACD.∴cosB＝＝，∴AB＝.∴AC＝＝.

3．A　4.B

二、5.　6.　7.　8.

三、

（第9题）

9．

（1）证明：

如图，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，tanB＝＝，∴BC＝2AC＝2.∴AB＝＝＝5，∴CF＝＝＝2.∴AB为⊙C的切线．

（2）解：

S阴影＝S△ABC－S扇形CDE＝AC·BC－＝××2－＝5－π.

10．

（1）证明：

∵AB＝AT，∴∠ABT＝∠ATB＝45°，∴∠BAT＝90°，即AT为⊙O的切线．

（2）解：

如图，过点C作CD⊥AB于D，则∠TAC＝∠ACD，tan∠TOA＝＝＝2，设OD＝x，则CD＝2x，OC＝x＝OA.∵AD＝AO－OD＝（－1）x，∴tan∠TAC＝tan∠ACD＝＝＝.

（第10题）

（第11题）

11．

（1）证明：

连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°.

又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，故∠DCE＝∠E，∴DC＝DE.

（2）解：

设BD＝x，则AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1.5＋x.在Rt△EAD中，∵tan∠CAB＝，∴ED＝AD＝（3＋x）．由

（1）知，DC＝（3＋x）．在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝DO2，则1.52＋＝（1.5＋x）2，解得x1＝－3（舍去），x2＝1，故BD＝1.

12．解：

（1）△ABC为等腰三角形，理由如下：

连接AE，如图，

∵＝，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC.

∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，

∴△ABC为等腰三角形