函数的概念和性质Word文档下载推荐.docx
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叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确定.
(3)函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集,值域中的每一个元素都有原象.
构成函数的三要素:
定义城,值域和对应法则,其中定义域和对应法则是核心.
(三)函数在整个数学知识体系中的地位及作用
函数是中学数学最重要的基本概念之一,其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射;
函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一,而函数概念是函数思想的基础;
它不仅对前面学习的集合知识做了巩固和发展,而且它是学好后继知识的基础和工具;
函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切;
函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用;
函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域,是进一步学习数学的重要基础.
(四)函数的概念与性质结构框图
(五)函数的概念与性质教学重点和难点
教学重点:
1.函数的概念
2.函数的基本性质
3.基本初等函数的图象和性质
教学难点:
1.函数概念的理解
2.对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握
3.运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题
二、函数概念与性质的教学建议:
(一)如何深入把握函数的概念?
1.映射与函数的教学建议:
教学中,由于映射与函数的概念比较抽象,不易把握,故本部分内容宜采用教师引导,师生共同研讨的方式来学习.
在教学中,教师可以类似举如下的例子进行剖析:
例1:
设集合
和
都是自然数集合
.映射
把集合
中的元素
映射到集合
则在映射
作用下,2的象是_______;
20的原象是________.
分析:
由已知,在映射
作用下
的象为
所以,2的象是
;
设象20的原象为
,则
的象为20,即
由于
,
随着
的增大而增大,又
,所以20的原象是4.
这个例子要求学生理解映射的意义,对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象.能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时,题目中兼顾对于函数
性质的探究,具有一定的综合程度.
2.函数的定义域问题:
确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件,因此对于一个函数问题,首先要明确自变量的取值集合.教学中,教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题:
例2:
求下列函数的定义域:
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
(1)由
,得
,所以
或
所以,所求函数的定义域为
(2)由
得,
(3)由
得
,且
(4)由
即
所以
所以,所求函数定义域为
例3:
如图,用长为
的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形的底边长为
,求此框架围成的面积
的函数关系式,并指出定义域.
解:
根据题意,
.
弧长为
所以,
根据问题的实际意义.
解
上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两种类型问题.
(1)给出函数解析式求定义域(如例2),这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的.
中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有:
①分式中分母不为零;
②偶次方根下被开方数非负;
③零次幂的底数要求不为零;
④对数中的真数大于零,底数大于零且不等于1;
⑤
(2)在实际问题中求函数的定义域(如例3).在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制,还应考虑实际问题对自变量的限制.
另外,在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识,这是极其重要的.比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时,首先要考虑的就是函数的定义域.
3.函数的对应法则问题:
确定函数的对应法则(即求函数的解析式)是有关函数概念中的重要问题,教学中教师可以设置如下相关题组,和学生共同解决.
例4:
(1)已知
,求
的解析式;
(2)已知
的值;
(3)如果
为二次函数,
,并且当
时,
取得最小值
(4)已知函数
与函数
的图象关于直线
对称,求
的解析式.
(1)求函数
的解析式,从映射的角度看就是求对应法则,于是,我们一般有下面两种方法解决
(1)这样的问题.
方法一:
.通过这样“凑型”的方法,我们可以明确看到法则
是“原象对应于原象除以原象的平方减1”.所以,
方法二:
设
则
.则
这样,通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么.
(2)用“凑型”的方法,
.所以
(3)因为
为二次函数,并且当
所以,可设
又
(4)这个问题相当于已知
的图象满足一定的条件,进而求函数
的解析式.所以,可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求
的图象上任意一点坐标为
关于
对称点的坐标为
,由已知,点
在函数
的图象上,
所以,点
的坐标
满足
的解析式,即
由于已知条件的不同,求函数的解析式的常见方法有像
(1)
(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法;
有像(3)所用到的待定系数法;
也有像(4)所用到的解析法.
值得注意的是(4)中所用的解析法.在求函数解析式或求曲线的轨迹方程时都可以用这种方法,是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系.
(二)教学中如何突出函数性质的本质?
函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等,侧重点在于理解与函数性质有关的概念,掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用.这部分内容常用到数形结合的思想方法.
1.关于基本概念的理解:
(1)设函数
的定义域为
内的任意一个
,都有
,则这个函数叫做奇函数.
设函数
内任意一个
,则这个函数叫做偶函数.
由奇函数定义可知,对于奇函数
,点
与点
都在其图象上.又点
关于原点对称,我们可以得到:
奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;
通过同样的分析可以得到,偶函数的图象是以
轴为对称轴的轴对称图形.
(2)一般地,设函数
,区间
.如果取区间
中的任意两个值
,改变量
当
时,就称函数
在区间
上是增函数;
上是减函数.
如果一个函数在某个区间
上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间
上具有单调性,区间
称为单调区间.
在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.
(3)一般地,对于函数
,如果存在一个不为零的常数
,使得当
取定义域中的每一个值时,
都成立,那么就把函数
叫做周期函数,不为零的常数
叫做这个函数的周期.
(4)一般地,对于函数
都成立,则函数
对称.
这四个概念都比较抽象,建议讲述相关概念时采用数形结合的手段,不断揭示概念的几何背景,进而完善学生对概念的认识.
2.关于函数的奇偶性问题:
对于函数的奇偶性,要求学生会判断及简单应用.教学中可给出如下题组:
判断下列函数的奇偶性.
(2)
(3)
(5)
(1)解
,得到函数的定义域为
,关于原点不对称,
所以此函数为非奇非偶函数.
(2)函数的定义域为
,但是,由于
(3)函数的定义域为
,又
所以此函数为偶函数.
(4)解
所以此函数为奇函数.
(5)函数的定义域为
通过本例及函数奇偶性的定义,进一步可以得到下面几个结论:
①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称;
②
是奇函数,并且
在
时有定义,则必有
③既是奇函数又是偶函数的函数,其解析式一定为
,等.
判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤:
①判断函数的定义域是否关于原点对称;
②考察
的关系.
由此,若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数,偶函数,既奇又偶函数和非奇非偶
函数四类.
已知
为奇函数,当
(1)求
(2)当
时,求
的解析式.
(1)因为
为奇函数,所以
(2)方法一:
当
时,
方法二:
时图象上一点,则
一定在
时的图象上.
上述三个例子分别从具体函数、抽象函数、以及奇偶性的应用上加深对概念的理解.
3.关于函数的单调性问题:
用函数单调性定义证明,函数
上为增函数.
证明:
因为
,又因为
函数
上为增函数.
是定义域为
的奇函数,且它在区间
(1)试比较
的大小;
(2)若
,求证:
是奇函数,所以
上是减函数,所以
,即
(2)因为
异号,不妨设
上是减函数,
总之,函数的单调性是我们研究的极为重要的函数性质,其与其它问题的联系、自身的应用都很广泛,在教学中要予以充分注意.
(三)怎样有效提升学生对基本初等函数的图象与性质的把握?
基本初等函数包括:
二次函数、指数函数、对数函数和幂函数.
函数的图象上直观地反映着函数的性质,学习函数的“捷径”是熟知函数的图象.熟知函数图象包括三个方面:
作图,读图,用图.
掌握初等函数一般包括以下一些内容:
首先是函数的定义,之后是函数的图象和性质.函数的性质一般包括定义域,值域,图象特征,单调性,奇偶性,周期性,零点、最值以及值的变化特点等,研究和记忆函数性质的时候应全面考虑.
函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质,我们可以通过解析式研究函数的性质,也可以通过解析式画出函数的图象,进而直观的发现函数的性质.
1.关于二次函数的处理:
对于二次函数,初中已有研究,但高中阶段处理二次函数的视角又和初中有所不同.
例如:
是实数,证明关于
的方程
有两个不相等的实数解.(初中、高中的不同处理方法)
教学中可以参考如下的题目:
(1)如果二次函数
上是增函数,则
的取值范围是________.
(2)二次函数
的最大值恒为负,则
的取值范围是_______.
(3)函数
对于任意
均有
的大小关系是_____________.
(1)由于此抛物线开口向上,且在
上是增函数,
画简图可知此抛物线对称轴
或与直线
重合,或位于直线
的左侧,
于是有
,解之得
(2)分析二次函数图象可知,二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数
,且判别式
”,
解得
(3)因为对于任意
,所以抛物线对称轴为
又抛物线开口向上,做出函数图象简图可得
例2、已知二次函数
的对称轴为
,且图象在
轴上的截距为
,被
轴截得的线段长为
解法一:
由
,可得
由图象在
由图象被
均为方程
的根.
解法二:
因为图象被
所以,设
图象在
,即函数图象过
点.
.所以
二次函数是非常常见的一种函数模型,在高中数学中地位很重.
二次函数的解析式有三种形式:
一般式
顶点式
为顶点坐标;
双根式
为函数图象与
轴交点的横坐标,即二次函数所对应的一元二次方程的两个根.
例1、2两个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用.这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用.
2.关于指数函数、对数函数和幂函数的处理:
这三种基本初等函数是在研究一般函数基础上的重要模型,教学中建议采用如下问题突出相关函数性质的应用.
例3、比较下列各小题中各数的大小:
;
(6)
是减函数,
(2)函数
在区间(0,+
)上是增函数,所以
)上是减函数,所以
(3)由于
所以
(4)利用幂函数和指数函数单调性.
(5)因为
.根据不等式的性质有
(6)因为
比较
,只需比较
是增函数,所以只需比较
的大小,
综上,
,比较
的大小.
方法一(作商比较法)
方法二(作差比较法)
,
方法三(构造函数)
令
,将
看作是关于
的一次函数,
,所以此函数为减函数,又
两个数比较大小的基本思路:
如果直接比较,可以考虑用比较法(包括“作差比较”与“作商比较”,如例4的方法一与方法二),或者利用函数的单调性来比较(如例3
(1)
(2)(3),例4的方法三).
如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形,转化成对另两个数的比较,也可以考虑借助中间量来比较(如例3(4)(5)(6)).
三、学生学习中常见的错误分析与解决策略
下列四组函数中,表示同一个函数的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
易错点:
①定义域;
②对应法则;
③函数的概念.
错因分析:
①忽视函数的定义域;
②不清楚函数概念的实质,如(B)中表示自变量的字母不同,就误认为不会是同一个函数.
解题策略:
判断两个函数是否为同一函数,就是要看两个函数的定义域与对应法则是否完全相同.
一般有两个步骤:
(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域,看定义域是否一致.
(2)对解析式进行合理变形的情况下,看对应法则是否一致.
(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同,所以不是同一函数.(B)中两个函数的定义域相同,化简后为
及
,对应法则也相同,所以选(B).
这个例子可以有效检测学生对函数概念的把握,同时突出映射与函数概念的联系.
已知函数
,求函数
的定义域.
①对应法则定义域;
②定义域的概念.
①对对应法则的符号不理解;
②不清楚定义域的含义.
此题的题设条件中未给出函数
的解析式,这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情:
①定义域是指
的取值范围;
②受对应法则
制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的.那么由
的定义域是
可知法则
制约的量的取值范围是
,而在函数
中,受
直接制约的是
,而定义域是指
的范围,因此通过解不等式
.同理可得
上有定义,
的值不恒为零,对于任意的
,恒有
成立,则函数
的奇偶性为_________.
①抽象函数;
②对“恒成立”的理解.
①抽象函数的有关性质;
②对“恒成立”的理解不清晰,不能将其转化为所需求的结构.
关于对抽象函数“
”的使用一般有以下两个思路:
为某些特殊的值,如本题解法中,令
得到了
.当然,如果令
则可以得到
,等等.
具有某种特殊的关系,如本题解法中,令
.得到
,在某些情况下也可令
总之,函数方程的使用比较灵活,要根据具体情况作适当处理.在不是很熟悉的时候,要有试一试看的勇气.
再令
的值不恒为零,故
是奇函数而非偶函数.
的单调增函数.
(1)比较
,求实数
的取值范围.
①函数概念;
②增函数.
①对函数概念中的对应法则的理解不清楚;
②没有理解增函数概念的实质,不会将其应用于解决问题.
回顾单调增函数的定义,在
为区间任意两个值的前提下,有三个重要的问题:
的符号;
在区间上是增还是减.
由定义可知:
对于任取的
,若
,则函数
在区间上是增函数;
不仅如此,若
,且函数
在区间上是增函数,则
若
于是,我们可以清晰地看到,函数的单调性与不等式有着自然的联系,请结合例4加以体会.
由已知,
是单调增函数,所以
是单调增函数,且
解得
四、学生学习目标检测分析
(一)课程标准中的相关要求
1.函数
①通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;
了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;
了解映射的概念。
②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如,图像法、列表法、解析法)表示函数。
③通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。
④通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;
结合具体函数,了解奇偶性的含义。
⑤学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
2.指数函数
①通过具体实例(如,细胞的分裂,考古中所用的14C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景。
②理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。
③理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
④在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。
3.对数函数
①理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;
通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。
②通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;
能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
③知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数。
(a>
0,a≠1)4.幂函数
通过实例,了解幂函数的概念;
结合