抛物线及其性质知识点大全Word文档格式.docx

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x工0,y€R

x兰0,严R

yK0,x€R

y兰0,x^R

对称轴

X轴

Y轴

顶点坐标

（0,0）

离心率

e=1

通径

2p

焦半径A（x,yJ

AF=为+R

AF=-为+R

AF"

号

焦点弦长AB|

（为X）+p

—（X1+X2）十p

（%+y2）+p

—（m+y2）+p

焦点弦长AB的补充

A（Xi，yi）

B（x2,y2）

以AB为直径的圆必与准线丨相切

若AB的倾斜角为a,|ab|_2p

sin2a

若AB的倾斜角为a,贝UAB

_2cosa

p2

）^X2=—%y2=—p

4

1丄1AF+BFAB2

AFBFAF*BFAF*BFp

3•抛物线y2=2px（p0）的几何性质：

（1）范围：

因为p>

0,由方程可知x>

0,所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大,

说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.

（2）对称性：

对称轴要看一次项，符号决定开口方向.

⑶顶点（0，0），离心率：

小，焦点F丐,。

），准线x七，焦准距p.

⑷焦点弦：

抛物线y2=2px（p0）的焦点弦AB,A（xi,yj,B（X2,y2）,则|AB|=Xi•x?

•p.

弦长|AB|=x1+X2+P，当Xi=X2时，通径最短为2p。

4.焦点弦的相关性质：

焦点弦AB,A（xi,yi）,B（X2,y2），焦点F（-,0）

（1）若AB是抛物线y2=2pXp0）的焦点弦（过焦点的弦），且A（x）,yi）,B（X2,y2），则：

泌=巴,

若AB是抛物线y2=2p>

（p0）的焦点弦，且直线

已知直线AB是过抛物线y2=2px（p■0）焦点

AB的倾斜角为

a，则AB

2P（a工0）。

11

sin

1

AFBF

AB

F,

+

—

=—

AF

BF

AF*BF

AF*BF

yy2=—p。

焦点弦中通径最短长为2p。

通径：

过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.

（5）两个相切：

①以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切•②过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,

以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

5.弦长公式：

A（xi,yi）,B（x2,y2）是抛物线上两点，则

AB|=J（Xi—X2）2+（%—y2）2=Vi+k2区-x?

巳；

i+厶I%-y?

I

Vk

6.直线与抛物线的位置关系

直线「厂仁一；

，抛物线

J"

iy=2px消y得:

+2（幼-p）x+护二0

（1）当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k工0时，

△>

0，直线I与抛物线相交，两个不同交点；

△=0，直线I与抛物线相切，一个切点；

△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？

（不一定）

7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线l:

y二kx•b抛物线|?

■■■■■■-匚二，（p■0）

①联立方程法:

设交点坐标为A（xi,yi）,B（X2,y2）,则有:

'

0,以及XiX2,X1X2,还可进一步求出

y1y^kx1b■kx2b=k（x「x2）2b,y1y2=（kxib）（kx2b）=k2X\X2kb（Nx2）b2

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长

二1k2、（为x2）2「4为x2二1k2

2:

%-y2-i；

y?

）2=ik

ik

设交点坐标为A（xi，yi），B（X2,y2），代入抛物线方程，得

22

yi=2pxiy2=2px2

将两式相减，可得

（yi-丫2）（%y2）=2p（xi—X2）

yi-2p

b.

在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M（x0,y0），

yi-y2_2p_2p_p

Xi—X2yiy22yoy°

Xi-X2yiy2

即kAB：

yo

同理，对于抛物线x2=2py（p=0），若直线I与抛物线相交于A、B两点，点M（Xo,y。

）是弦

AB的中点，则有kAB二乞也二纽二“

2p2pp

（注意能用这个公式的条件：

i）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

【经典例题】

（1）抛物线一一二次曲线的和谐线

椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：

到一个定点和一条定直线的距离相等的所有

点的集合•其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的

1,既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章

PF为直径的圆与y轴（）

【例1】P为抛物线y?

=2px上任一点，F为焦点，则以

【证明】

（1）如图设抛物线的准线为I，作

（2）焦点弦常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关•理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是

大有帮助的•

当AB与x轴不垂直时，设焦点弦

成立;

AB的方程为:

•代入抛物线方程:

A%,%,BX2,y2两点，求证:

【例2】过抛物线y2=2pxp'

0的焦点F作直线交抛物线于

A.4,0B.2,0

C.0,2D.0,-2

故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有—1_心―1=-成立.

AFBFp

【证明】对方程y2=2px两边取导数：

2yV=2p，.切线的斜率

y

k=y"

xN=R.由点斜式方程：

y—y0=E（x—x°

戸y°

y=px—+y[

（1）

y。

y。

y°

=2卩心代入（1即得：

y0y=p（x+x。

）

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.

2.抛物线y2=2px的通径长为2p；

3.设抛物线y2=2px过焦点的弦两端分别为AXp%,Bx2,y2，那么：

yy—p2

以下再举一例

【例4】设抛物线y2=2px的焦点弦AB在其准线上的射影是AB,证明：

以AB1为直径的圆必过

_jh

定点

【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么必过抛物线的焦点•由此我们猜想：

明•

AB=AB=2p而A1B1与AB的距离为p,可知该圆

一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证

【证明】如图设焦点两端分别为

AXi,y,BX2,y2,

那么：

y1y^■-=CAj|CB-i

^2=p2.

设抛物线的准线交x轴于C,那么CF=p.

.•.△AFBi中CF=|CACBi•故ZAFBi=90。

.

这就说明：

以AiBi为直径的圆必过该抛物线的焦点

•通法特法妙法

（1）解析法一一为对称问题解困排难

解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.

【例5】

（10.四川文科卷.10题）已知抛物线

x+y=0对称的相异两点

y=-x2+3上存在关于直线A、B,则|AB|等于（

A.3

B.4

C.3、2D.4.2

【分析】直线

AB的中点必在直线

【解析】•••点

AB必与直线x+y=0垂直，且线段x+y=0上，因得解法如下.

A、B关于直线x+y=0对称，•••设直线

_Ly二xm由ly一x2+3

设方程

（1）之两根为Xi,

X2，贝Vx1x^-1

设AB的中点为M（X。

，y。

），则x0=%*x2

!

•代入

1i1

x+y=0:

yo=.故有M-—

2-

从而m=y-x=1.直线AB的方程为：

y=x■1.方程

（1）成为：

x2亠x-2=0.解得:

x=-2,1，从而y=-1,2，故得：

A（-2,-1）,B（1,2）•二AB|=3血，选C.

（2）几何法——为解析法添彩扬威

虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这

又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量

大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法

【例6】

（11.全国1卷.11题）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为丨，经过F且斜

L:

x

为3的直线与抛物线在X轴上方的部分相交于点A,AK丄l，垂足为K，则AAKF的面积（

A.4B.33C.纸3

【解析】如图直线AF的斜率为3时/AFX=60°

.

△AFK为正三角形.设准线丨交x轴于M则FM=p=2.

【评注】

（1平面几何知识：

边长为a的正三角形的

面积用公式Sa2计算.

厶4

（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单

（3）定义法一一追本求真的简单一着

许多解析几何习题咋看起来很难•但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单

【例7】

（07.湖北卷.7题）双曲线

占=1（a0,b0）的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F,和F2；

抛物线C2的线为

b

l，焦点为f2；

A.-1

【分析】

Cl与C2的一个交点为M,则证-晒等于（

MF1MF2

11

c.d.-

22

这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧

如图，我们先做必要的准备工作：

设双曲线的半

焦距c,离心率为e,作MH_I于H，令

也=2£

=ejg=e（「宀2）=加」〕仝一1

iy”y2

设AB中点为M（x°

y°

），则彳％2

4cot:

tan工

、x0=cot。

y0+2=4cot«

+2

MR口**e

（n）直线AB:

y二tax-2][1.

x=—代入

（1）,整理得：

y2tana-8y-16tana=08

"

2

AB的垂直平分线方程是：

y—4cot「二-cot二ix—4cot-2.

令y=0，则x=4cot2：

6,有P4cot2：

6,0

故FP=OP-OF=4cot2o+6-2=4（cot2□+1）=4cos2。

2工22

于是|FP|-|FP|cos2a=4csc:

门1-cos2：

=4csc:

2sin：

=8，故为定值.

（5）消去法一一合理减负的常用方法.

避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而

不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”

【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线l:

（1）l与抛物线y2=8x有两个不同的交点A和

B；

（2）线段AB被直线l1:

x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线丨的方程.

AB中点为Mi4.故存在符合题设条件的直线,

其方程为:

【解析】假定在抛物线y2=8x上存在这样的两点Ax1，%，Bx2，y2J则有:

y5x「1，即：

25x—'

5y—'

21=0

5

（6）探索法——奔向数学方法的高深层次

有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规

律，不断地猜想一一证明一一再猜想一一再证明.终于发现“无限风光在险峰”.

【例i0】

（i0.安徽卷.i4题）如图，抛物线y=-x2+i与x轴的正半轴交于点A，将线段0A的n等分点从左至右依次记为Pi,P2,…,Pn-i,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Qi,Q2,…，

Qn-i，从而得到n-i个直角三角形△QiOPi,△Q2PiP2,…,△Qn-iPn-iPn-i,当时，这些三角形的面积

之和的极限为.

【解析】•••OA=i，图中每个直角三角形的底边长均为

设0A上第k个分点为

-,0.代入y=「x2i:

n

k2

第k个三角形的面积为:

ak

k

~~2

n丿

（n—i）

i222川•n-i2

故这些三角形的面积之和的极限

i2n2

n「i4nii

i2

-14」

nn