定积分的应用Word下载.docx
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f
（1）Xlf
（2）Xf（n）：
Xnff（JXi
i7
上式由于分割不同，i选取不同是不一样的，即近似值与分割及i选取有关（图1-2）
（4）取极限将分割不断加细，每个小曲边梯形底边长趋于零，它的高度改变量趋
于零，曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近，从而和式VfXi的极限就定
iA
义为曲边梯形面积的精确值。
令皇=max{x1,x2,,xn},当-0时，有
S=Iim'
f（i）xi
上面的例子，最终归结为一个特定的形式和式逼近。
在科学技术中还有许多同样的数学问题，解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割，近似求和，取极限”这是定积分概念的背景。
1.2定积分的定义
设函数Xf（x）在区间［a,b］上有界，在［a,b］中任意插入若干个分点
a=x0：
x1：
x2：
…-XnA：
xn=b
把[a,b]分成n个小区间:
[Xo,Xι],[X1,X2],[X2,X3],,[X」,Xi],,[x∏j,x∏]
各个小区间的长度依次为：
Ax1=X1-X0,Ax2=X2-x1,,,∙lx∏=X∏-X∏J
在每个小区间[x~,Xi]上任取一点i（Xij<
i<
X）,作函数值与小区间长度.-■：
Xi的乘积
f（iΓ"
Xi。
并作和
∏
S八f（JlXi
i4
记彊=max{%lx?
,x∏},如果不论对[a,b]怎样分割，也不管在小区间[紀，xj上点
i（i=1,2√,∏）怎样取法，只要当，>
0时，和S总是趋于确定的极限I,我们称这
b
个极限值为函数f（x）在区间[a,b]上的定积分（简称为积分），记作.f（x）dx,即
ba
b∏.
f（x）dx=∣=Iimrf（i）xi
（1）
a-j0y
其中f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，a称为积分下限，b称为积分上限，
X称为积分变量，二f（i）「：
Xi称为积分和。
i二
（1）曲边梯形的面积是曲边方程y=f（χ）在区间[a,b]上的定积分。
即
S=f（x）dx（f（X）_0）
a
2定积分在几何学上的应用
2.1定积分在平面几何中的应用
在初高中我们学习过求圆，三角形，平四边形，梯形等比较规则的图形面积，然而对于不规则的图形就无能为力了，所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积，部分稍复杂的图形，可能用有限个简单图形的分割也能求出来，但有很大的局限性，
定积分的出现为这些问题，提出了很好的解决条件。
一般地，由上、下两条连续曲线y=f2（x）与y=f1（x）以及两条直线x=a与x=b（a<
b）所
围成的平面图形，它的面积计算公式为A=b[f2（x）-f（x）1]dx
（1）
例求由抛物线『=X与x-2y-3=0所围成平面图形的面积A
X-328
2g3
Q
解该平面图形如图3所示，先求出直线与抛物线交点P（1,-1）与Q（9,3）.用
X=I把图形分成左，右两部分，应用公式
（1）分别求得它们的面积为
1__1_
A^=.0L-X-（-、x）]dx=2O一XdX=4/3,
A=A+A2=32/3。
2.2定积分在立体几何中的应用
2.2.1由截面面积函数求立方体体积
设I】为三维空间中的一立体，它夹在垂直于X轴的两平面x=a与x=b之间（a<
b）.为了方便起见称I】为位于[a,b]上的立方体。
若在任意一点X[a,b]处作垂直于X轴的平面，它截得$^的截面面积显然是X的函数，记得A（x）,x[a,b],并称之为门的截面面积函数。
则通过定积分的定义，得到由截面面积函数求立方体体积的一般计算公式和旋
转体的体积公式V=A（X）dx
"
222
例求由椭球面~2^y2~2=1所围立体（椭球）的体积
abC
解以平面X=XO（XO≤a）截椭球面，得椭圆（它在yoz平面上的正投影）：
2
y
2X。
b（1-七）
z2
所以截面面积函数为A（X）=二bc（1-务）,x∙[-a,a].
于是求得椭球体积
4abc。
3
bX2
V=IIbC（I2）dx
aa
显然，当a=b=c=r时，这就等于球的体积-r
2.2.2旋转曲面的面积
设平面光滑曲线C的方程为y=f（X）,x∙[a,b]（不妨设f（x）>
=O）.这段曲线绕X轴
旋转一周得到旋转曲面，则面积公式s=2二a"
f（X）」—f'
2（x）dx。
如果光滑曲线C由参数方程x=x（t）,y=y（t）,t［-,-］给出，且y（t）-0,那么由
弧微分知识推知曲线C绕X轴旋转所得旋转曲面的面积为S=2二.^y（tμ..x'
2（t）y'
（t）dt.
例计算圆x2+y2=R2在［xι,X2］［-R,R］上的弧段绕X轴旋转所得球带的面积。
解对曲线y=jR2_x2在区间［%,X2］上应用公式（3），得到
S=2兀fJR2_x2+一dx=2nR（x2—x1）。
特别当x1=-R,x2=R时，则
X1IR-X
得球的表面积S球=4二R2.
3定积分在经济学中的应用
3.1求经济函数在区间上的增量
根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量X的变动区间［a,b］上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间［a,b］上的定积分：
R（b）-R（a）=R（x）dx
（1）
C（b）-C（a）=.C（x）dx
（2）
L（b）-L（a）=L（x）dx（3）
例已知某商品边际收入为-0∙08x+25（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量
X从250t增加到300t时销售收入R（X）,总成本C（X）,利润I（x）的改变量（增量）。
解首先求边际利润
L（X）=R（X）-C（X）=-0.08x25-5=-0.08x20
所以根据式
（1）、式
（2）、式（3），依次求出：
300300
R（300）-R（250）=25。
R（x）dx=25o（—°
.O8x25）dx=15
C（300）-C（250）=25°
C（x）dx=.250dx=250万元
L（300）-L（250）=25。
L（x）dx=25o（—O.°
8x20）dx=-100万元
例某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本C的变化率（即边际成本）是日
25
产量X的函数C（X）=7,已知固定成本为1000元，求总成本函数y.
解因总成本是边际成本的一个原函数，所以
C（X）=J（7+戸dx=7x+50√X+c
已知当X=0时，C（0）=1000,代入上式得C=1000,于是总成本函数为
C（X）=7x50.X1000
例某产品销售总收入是销售量X的函数R（X）。
已知销售总收入对销售量的变化率
（即边际收入）R（X）=300-―X,求销售量由100增加到400时所得的销售收入.
5
解因销售收入是边际收入的一个原函数，按题意，有
400
R（400）-R（300）=300R（X）dX
4002
=爲（300-gx）dx
=（300x-1χ2）
300
=16000（元）
3.2求经济函数在区间上的平均变化率
设某经济函数的变化率为f（t）,则称
f（t）dt
t1
t2-t1
为该经济函数在时间间隔［t2,t1］内的平均变化率。
例某银行的利息连续计算，利息率是时间t（单位：
年）的函数：
r（t^0.080.015,t。
求它在开始2年，即时间间隔［0,2］内的平均利息率
解由于
∖（t）d^J（0.080.015t）d^0.160.01t70=0.160.02&
所以开始2年的平均利息率为
L（t）=3105.Γ^1（元/年）求利润从第
4年初到第8年末，即时间间隔［3，8］内年平
均变化率
8
3=3810
8855
3L（t）dt=3310tIdt=210（t1）2
所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为
QL（t）dt5
37.610（元/年）
8-3
即在这5年内公司平均每年平均获利7.6105元。
3.3由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量
设某个项目在t（年）时的收入为f（t）（万元），年利率为r,即贴现率是f（t）e^，
brt
则应用定积分计算，该项目在时间区间［a,b］上总贴现值的增量为f（t）endt。
Fa
设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为a（万元）年利率为r,银行利息连续计算。
在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式
ae"
A
成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期
例某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元,年利息率为0.08,求该工程的投资回收期。
200
e
-0.08
=2500（1-e^.08T
200e4λ08tdt
解这里A=1000，a=200，r=0.08，则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为
令2500（1-e°
08T）=1000,即得该工程回收期为
11-1000、1I
Tln
（1）In0.6
0.0825000.08
=6.39（年）
3.4利润、产量与开工时数的最佳值的确定
例1某厂生产一种产品，年产量为X吨时，总费用的变化率（即边际费用）为f（x）=0.25x+8（单位：
百元/吨），这种产品每吨的销售价为3000元，问一年生产多少产品工厂利润最大，并求出年利润的最大值.
解总费用是边际费用的原函数，故
X2
C（X）=J（0.25x8）dx=0.125x8x
而收入函数R（X）=30x（百元），又由
L（X）=R（X）-C（XH22x-0.125X
贝UL（X）=22—0.25X
令L（X）=O,得X=88（吨）。
驻点唯一。
此时
L（88）=-0.25：
0，
由实际问题可知，当X=88时，L（X）取得最大值
L（88）=2288-0.125882=968（百元）.因此，年产量为88吨时工厂获得最大利润96800元。
例2某工厂生产一种产品，每日总收入的变化率（即边际收入）是日产量X的函数R'
（x）=30-0.2x（单位：
元/件）。
该厂生产此种产品的能力为每小时30件，问怎样安排生产才能使这种产品每日的总收入最大？
并求出此最大总收入值
解由题意
R（X）=：
i（30-0.2x）dx=30x-0∙1χ2，
令R（X）=30-0.2x=0，得x=150，
又R（X^-0.2：
0,因为R（X）只有唯一的驻点x=150,由实际问题知，当
x=150时，R（X）取得最大值R（150）=30150-0.1150^2250.因此，每日取得最大总收入的产量为150件，此时R（150）=2250（元）.完成150件产品需要的工时为150=5（小时），所以，每天生产这种产品5小时，就使
30
每日收入最大，最大值为2250元。
3.5资本存量问题
例1资本存量S=s（t）是时间t的函数。
它的导数等于净投资I（t）。
现知道净投资
∣（t）=3jt（单位：
10万元/年）。
求第一年底到第四年底的资本存量.
解因资本存量S是净投资的一个原函数，故
s（4）—s
（1）=p√tdt
=2t2
4
=14（10万元）
1
所以，第一年底到第四年底的总资本存量为1400000元。
t的函数
例2某银行根据前四年存款情况，知该行现金净存量的变化率是时间
f（x）=14.5t4（单位：
万元/年），计划从第五年起积存现金1000万元。
按此变化率需几年时间？
解依题意
1000=4x14.5t4dt
即1000
=曽［（4X）4一4可
9
』4
99
由此，得（4X）4晋F
解此方程，得
4x:
9.9993
X:
6.
所以，从第五年积存1000万元现金约需6年.
3.6消费者剩余和生产者剩余在自由市场中，生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线描述,它的状态可在如图上直观表现如下：
Po的经济意义是供应者会生产此商品的最低价。
P1是消费者会购买此种商品的最高价。
q是免费供给此种商品的需求量（如卫生纸）经市场功能调节后，市场将趋于平
衡价P*和平衡数量q*,两条曲线在（q*,p*）相交。
消费者以平衡价格购买了某种商品，他们本来打算出较高的价格购买这种商品，消费者剩余是指消费者因此而省下来的钱的总数。
用积分式来表达就是：
q*
消费者剩余「°
Qd（q）dq-p*q*=曲边三角形MPιp*面积.
生产者以平衡价格出售了某种商品，他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品，生产者剩余是指生产者因此而获得的额外收入。
用积分式表达就是
生产者剩余=p*q*-：
Qs（q）dq=曲边三角形Mp0p*面积.
4定积分在工程中的应用
4.1定积分中值定理
定积分中值定理作为定积分的一个重要性质，计算河床的平均深度时，应用定积分中值定理知识。
此问题主要出现在水利工程专业的《工程水文学》课程中，主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度，以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据。
只要测量出河面在某处的宽度（B），河床的横断面形状和河床的最大深度（h），
1b
则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平均深度（h）,即h-f（x）dx（m）.
b_a妇
例设一河流的河面在某处的宽度为2b,河流的横断面为一抛物线弓形，河床的最深处在河流的中央，深度为h,求河床的平均深度h.
分析：
首先，选取坐标系使X轴在水平面上，y轴正向朝下，且y轴为抛物线的对称轴。
于是，抛物线方程为y=h-占χ2.然后，运用定积分中值定理便可求得河床的平均深度h.
解：
-b2
河床的平均深度h-f（x）dx=-h.
b-a'
a3
4.2定积分的近似计算知识的应用
近似求物体的截面积，应用梯形法或抛物线法等定积分的近似计算知识。
此问题主要出现在水利工程专业的《灌溉排水技术》课程中，主要应用于近似计算河床、渠道的过水断面面积，进而计算截面流量（即渠系测流）。
由水利学知识可知，单位时间内流过某一截面的流体的体积就叫做通过这个截面的流量，即Q=v/t（m/s）.在水利工程
中，流量的计算通常运用公式Q=sv（m/s）,即过水断面面积（S）与流速（V）的乘积。
例1有一条宽为24米的大型干渠，正在输水浇灌农田，试利用流速仪并结合梯形法
或抛物线法近似求横截面积等高等数学知识进行测流。
根据灌溉管理学知识，首先选择测流断面，确定测线。
测流断面选择在渠段正直，水流均匀，无漩涡和回流的地方，断面与水流方向垂直；
测流断面的测线确定为12条。
其次，测定断面。
先在渠道两岸拉一条带有尺度的绳索，测出测深线的起点距（与断面起点桩的水平距离）；
测线深度，用木制或竹制的测深杆施测，从渠道一岸到对岸每隔2米测量一次水深，测得数据如下表。
根据施测结果绘出测流断面图，如图所示。
第三，利用流速仪施测断面流速。
例如，利用旋环式流速仪测出该渠道断面平均流速为v=0.60m∕s.第四，近似计算渠道过水断面面积和流量。
测线深度施测数据表（单位：
∏D
Xi
6
10
12
14
16
18
20
22
24
yi
0.5
0.7
1.0
1.5
1.6
1.9
2.2
2.0
1.7
1.3
0.8
解答：
（1）抛物线法（辛卜生公式）：
A≈30.67m2；
Q=18.40m3∕s.
（2）梯形法：
A≈30.40m2；
Q=18.24m3∕s.
例2有一条河流，宽为200米，从河一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测的数据如下表。
试分别用梯形法和抛物线法求此河床横截面积的近似值。
单位:
m
40
60
80
100
120
140
160
180
11
17
19
21
15
4.3微元法知识的应用
微元法在专业基础课和专业课中应用非常广泛，求解物体所受液体的侧压力，应用微元法知识。
此问题主要出现在水利工程专业的《水力学》、《水工建筑物》等课程中,主要应用于计算水闸及输水建筑物（如坝下涵管、隧洞、渠道、管道等）上的闸门所受水压力的大小，作为设计或校核闸门结构的一个重要依据。
水闸是一种低水头水工建筑
物，既能挡水，又能泄水，用以调节水位，控制泄流量；
多修建于河道、渠系及水库、湖泊岸边，在水利工程中的应用十分广泛。
闸门是水闸不可缺少的组成部分，用来调节流量和上、下游水位，宣泄洪水和排放泥沙等。
闸门的形式很多，按其结构形式通常分为平面闸门、弧形闸门及自动翻倒闸门等；
按其工作条件可分为工作闸门和修理闸门；
按其所处的位置不同可分为露顶闸门和潜孔闸门；
按其所用的材料可分为钢闸门、钢筋混凝土闸门、钢丝网水泥闸门和木闸门等；
按其形状不同又可分为矩形闸门、梯形闸门、圆形闸门和椭圆形闸门等。
闸门的主要作用是挡水，承受水压力是其作用荷载之一。
运用微元法计算闸门所受水压力时，设受水压力作用的区域与水平面垂直且由曲线y=f（x）
>
0,（0≤a≤X≤b）x=a,x=b及X轴所组成。
X轴正向朝下，y轴在水平面上，水的密度为21000kg∕m3,则闸门所受的水压力大小为P=bIgXf（X）dx（N）.
例有一个水平放置的无压输水管道，其横断面是直径为6m的圆，水流正好半满，
求此时输水管道一端的竖直闸门上所受的水压力。
首先建立合适的直角坐标系，如图所示，则圆的方程为X2y^r2=9.
然后，运用微元法求解即可。
图4-2
P=1.76×
IO5N.
5定积分在医学的应用
如图显示了人的心血管系统。
血液流经全身通过静脉进入右心房，然后通过肺动脉泵入肺部补充氧气。
之后通过肺静脉流回左心房，再通过主动脉流往全身其它部位，进行血液循环。
心输出量就是单位时间（一分钟）内，心脏泵出的血液量，即血液通过动脉的速率。
安静状态下，成年男性每搏输出量为60〜80毫升，心率75次/分钟，故心输
时询
∣bC∣i
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叩
4111
KtfS
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