初中数学平方差公式教学设计学情分析教材分析课后反思Word文档格式.docx

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小组讨论交流求面积的不同方法.

设计意图：

重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题.

2.对于同一个图形，不论用什么方法来求它的面积，这个面积会不会改变？

那么你能从中发现什么？

易于得出：

（a+b）（a-b）=a2-b2

考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练，把不规则图形分为两个图形，利用两个图形可以清楚的看出变化的过程，便于联想代数的形式.

活动二.验

你能用整式的乘法运算检验你的发现吗？

让学生利用多项式乘法的法则，验证公式．

让学生到黑板上板演过程：

活动三.研

你能说说这个等式两边的特点吗？

合作交流：

（得到平方差公式的结构特征）

（1）左边：

（2）右边：

引导学生用自己的语言叙述所发现的特征，允许学生之间互相补充，教师不急于概括.让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式左右两边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础.

精讲点拨平方差公式的特点：

1.左边是两个多项式相乘，这两个二项式中有一项相同，另一项符号相反．

2.右边是相同项与相反项的平方差.

3.公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．

[前三个活动设计意图]

平方差公式的代数形式学生能够利用乘法法则马上推导出来，但是它的几何意义学生较难掌握．因此，在课堂上应该给学生更多的时间，让学生自己动手，亲手拼一拼，通过拼图的方式和学生一起探索平方差公式的由来，让学生对公式进行了解，同时给学生渗透数形结合的思想．在此环节中各组把归纳总结出来的方法，派中心发言人在班内交流展示，其他组进行补充完善，如果概括的还不够全面，这时教师就要根据学生总结的情况加以引导、点拨、补充，从而使问题的结论正确呈现.

小组竞赛1.（x+y）（x-y）

2.（m+2）（m-2）

分组竞赛：

全班分成两组，前三排为第一组，后三排为第二组，一组用多项式乘以多项式，二组用新学的平方差公式.比较两种方法，总结平方差公式的优点.

活动四：

磨

（一）1.运用平方差公式计算

（1）（3b+a）（a-3b）=

（2）（x2+y2）（x2-y2）=

2.计算（-xy+a）（-xy-a）

3.计算（4x-6y）（2x+3y）

4.下列计算对吗？

若不对，请改正.

（1）（x+2）（x-2）=x2-4

（2）（-3a-2）（3a-2）=9a2-4

5.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是（）

A.（x-2y）（2y+x）B.（-x+2y）（-x-2y）

C.（-2y-x）（x+2y）D.（-2b-5）（2b-5）

精讲点拨：

应用平方差公式的关键是找出公式中的a和b．

四个题中，要注意系数的变化，位置的变化，符号的变化，指数的变化.如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．由于学生对公式不熟练，经常将公式的顺序搞错，忘记系数，忘记平方等方面的问题，所以同学们在应用平方差公式解题时，首先应该看清的是平方差公式应用的条件．

此处先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路.需要注意：

正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键.设计本环节，在于通过将算式中的各项与公式里的a,b进行对照，进一步体会字母a,b含义，加深对字母含义广泛性的理解：

即它们既可以是数，也可以是含字母的整式.

（二）二磨

①102×

98

②（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

应用平方差公式会简便计算.

（归纳总结，形成知识网络）在应用平方差公式解题过程中我们应注意什么问题？

此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的.要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强调：

只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则进行.

学以致用:

请每人给同桌出类似的一道题，做完后互相交流.

给学生一个弹性空间.让他们在活动中体验竞争的快乐，享受学习，使情感、态度得到升华.

（三）再磨

小明在计算

时，将式子乘以（2-1）得：

解：

原式=

= 

-1

你能根据上题计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1的结果吗？

[活动四的设计意图]

分三个层次，让学生体会平方差公式的特点：

第一层次是直接运用公式，第二层次交换两个括号或思考括号内各项的位置后再运用公式进行探究，第三个层次是平方差公式的灵活应用.通过做题学生归纳出平方差公式的运用技巧：

①两个括号内其中一组相同字母的符号相同，另一组相同字母的符号相反才能运用平方差公式；

②运用平方差公式的结果等于符号相同的字母的平方减去符号相反的字母平方．在此环节中，对于重点难点学生在展示出现问题时，教师要及时地引导、点拨，进行拓展与变化，要在课堂中引起讨论，激发学生的思维，让学生从本质上解决问题.精讲点拨可以由教师讲，也可以由学生讲，是一个归纳、发展与提升的过程.

活动五.思

1.本节课你学会了什么？

它有什么作用？

2.利用公式计算需要注意什么？

你还有什么疑惑吗？

3.你对自己的表现满意吗？

为什么？

这里采取的是每个学生自己小结，把教师个人做小结变成了课堂上人人做小结，有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高.同时，由于人人都要做小结，促使学生注意力集中，学习主动性加强.

三．作业布置：

1．必做题：

课本47页习题6.13

2．选做题：

计算：

（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展.

教师寄语：

其实，数学并非生就一副冰冷、严峻、高不可攀的面孔，只要你有一颗不倦于思考的头脑，一双善于发现的明眸，就会在数学的王国里发现那独特的美感——逻辑之美、简洁之美、结构对称之美……

学情分析

学生已有六年级上册所学习数的运算、用字母表示数、合并同类项、去括号等内容，通过类比他们会产生“式子是否也有相应的运算，如果有的话该怎样运算”等问题.为此本节课关注学生对公式的探索过程，有意识的培养学生的推理能力，让学生经历“导→验→研→磨→思”的知识发生过程，并有条理地表达自己的思考过程，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用.

由本课内容的特点所决定,运用平方差公式的关键是认清两个多项式相乘是否具有（a+b）（a-b）的形式,由于两个多项式相乘的形式复杂多变,学生较易被假象所迷惑,另一方面学生初学公式只有原始的思想,有些同学对多项式相乘还不够熟练.因此应用平方差公式的特征判断题目能否应用平方差公式是本节课的难点.

对于数与代数的学习来说，重要的是让学生学会探求模式、发现规律、而不是死记结论，死套公式和法则.只有经过自己的探索，才能不仅“知其然”，而且知其“所以然”，才能真正获得知识，懂得公式的意义，掌握公式的应用.而且通过探求公式的活动，可以提高探索能力，也有利于掌握数与代数的运算和规律.因此通过创设情境来激发学生的学习兴趣，引导学生探究在大正方形内截取一个小正方形后剩余的面积,在探索过程中培养学生有条理地思考、表达与交流的能力,对学生想到的有效方法都及时给予充分评价，学生通过探究演示讨论归纳得出式子.

根据学生的实际情况，学生学习本节课的知识障碍主要在于对公式的结构特征的理解和对字母能代表任意的数或代数式的意义的理解，必须帮助学生解决这两个问题才能够让学生灵活地运用平方差公式.

由于六年级学生的理解能力、思维特征和生理特征，学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬等特点，所以在教学中应抓住学生这一生理心理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；

另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性.

内容的展示上，紧扣公式，按照一切从实际出发的原则，通过对基本关系的推导，注重了学生对基本概念，基本公式学习的良好习惯.教师引导学生对问题进行了归纳，分为4个变化，减轻了学生学习的负担，符合学生认知层次，体现了一切从学生实际出发的教学原则.同时，教师在教学过程中也很好地展示了因材施教的教学原则，如在教学预设中准备了4个题型，但是在教学过程中，为了让学生能充分地展示学生的思维形成过程与思维的多样性，教师能够依教学实际及时地将第四类问题（分组）舍去，教学效果较好.

效果分析

本节课用儿子拼图的视频引入，激发学生的学习兴趣.接着是图形探究,设置疑问，在课堂上给学生足够的时间，让学生自己动手，亲手拼一拼，通过拼图的方式和学生一起探索平方差公式的由来，让学生对公式进行了解,同时给学生渗透数形结合的思想．小组讨论交流求面积的不同方法，使学生重视公式的几何背景，帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题，然后让学生从代数方面进行验证.在此环节中各组把归纳总结出来的方法，派中心发言人在班内交流展示，其他组进行补充完善，如果概括的还不够全面，教师就要根据学生总结的情况加以引导、点拨、补充，从而使问题的结论正确呈现.由图形入手，形象直观，符合学生的认知特点，效果很好.

研究公式后，分组竞赛：

全班分成两组，一组用多项式乘以多项式，二组用新学的平方差公式.比较两种方法，总结平方差公式的优点.一听竞赛，学生们兴趣很高，积极主动的完成本教学环节.

一磨中，四个题里，要注意系数的变化，位置的变化，符号的变化，指数的变化.如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．由于学生对公式不熟练，经常将公式的顺序搞错，忘记系数，忘记平方等方面的问题，所以同学们在应用平方差公式解题时，首先应该看清的是平方差公式应用的条件．和同学们一块分析了第一个变化之后，同学们很自然的总结出后三个变化.然后给学生一个弹性的空间，自己出题，让他们在活动中体验竞争的快乐，享受学习，使情感、态度得到升华.

《平方差公式》教材分析

《平方差公式》是鲁教版义务教育教科书《数学》六年级（下）第六章《整式的乘除》第六节的内容.本节内容分两课时完成，我设计的是第一课时的教学，主要内容是平方差公式的推导及应用.

平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后面学习因式分解、分式等内容的基础，起到了承上启下的作用，它也是用推理的形式进行恒等变形的第一次训练，因而它是本章的一个重点内容，在初中阶段占有很重要的地位.它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；

另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识.

平方差公式是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容，是让学生感悟换元思想，感受数学的再创造性的好教材.因此确定平方差公式的推导和应用是本节课的重点.理解平方差公式的结构特征，准确运用公式是是本节课的难点.

本节课课标要求会推导乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算.课本内容只有一个公式和两道例题，课后配了少量习题，但这部分知识对公式的灵活运用考查力度比较大，另外，这部分知识对后面要学习的因式分解、分式等内容有很大的帮助.因此我在课堂设计时充分考虑学生的认知特点，从公式推导、公式变形、习题设置等环节，都是层层递进，由易到难逐步深入.在公式变形时，让学生充分发挥自己的想象力，大胆说出自己的想法，我只是做了必要的启发和引导，学生表现不错.上课前根据学生的特点，我将做好的课件进行了临时改动，把几个练习题的顺序做了调换，在课堂上，根据学生的课堂表现，及时调整了授课内容，当机立断去掉了一类题型，给了学生充分的展示空间和时间，事实证明这样的调整比较到位.在学生的思维处于兴奋状态时，千万不要扼杀他们的兴趣.我的想法是，学习数学不一定要做多少道题，而是要在做题和思考的过程中不断优化自己的思维品质，提升自己的解题能力，丰富自己的解题经验.

《平方差公式》评测练习

平方差公式应用非常广泛,要想用好这个公式，不仅要掌握它的内容及字母表达式，还必须了解公式的结构特征.平方差公式的左边是两个二项式的乘积，这两个二项式中，有一项（比如a）完全相同,另一项（比如b）互为相反.而且要注意,（a+b）（a-b）=a2-b2中的a、b,既可以表示单项式，也可以表示多项式.

在解题过程中,若能灵活运用平方差公式,可使问题化繁为简,化难为易,从而使复杂问题迎刃而解,现举例解析如下：

灵活运用之一——变化

1.位置的变化

例1.计算（-3x+4）（4+3x）

分析：

完全相同的项是4,互为相反的项是3x,因此可以利用平方差公式.

（-3x+4）（4+3x）=42-（3x）2=16-9x2

2.系数的变化

例2.计算（8x-12y）（2x+3y）

把（8x-12y）提取系数4,得到4（2x-3y），因此可以利用平方差公式.

（8x-12y）（2x+3y）=4（2x-3y）（2x+3y）=4[（2x）2-（3y）2]=4（4x2-9y2）=16x2-36y2

3.符号的变化

例3.计算（-2x-y）（2x-y）

完全相同的项是-y,互为相反的项是2x，因此可以利用平方差公式.

（-2x-y）（2x-y）=（-y）2-（2x）2=y2-4x2

4.指数的变化

例4.计算（m3+n2）（m3-n2）

相同的项是m3,互为相反的项是n2.其中m3代替公式中的a，n2代替公式中的b，因此可以利用平方差公式.

（m3+n2）（m3-n2）=（m3）2-（n2）2=m6-n4

灵活运用之二——分组

例5.计算（x-y+1）（x+y-1）

相同的项是x,而符号不同的项是y与1.于是（x-y+1）（x+y-1）=[（x-（y-1）][（x+（y-1）].公式中的a是x，公式中的b是多项式（y-1），这样x为一组，y-1为一组，构造成平方差的形式，因此可以利用平方差公式.

（x-y+1）（x+y-1）=[（x-（y-1）][（x+（y-1）]=x2-（y-1）2=x2-y2+2y-1

灵活运用之三——添项

例6.计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1

此题看似无法下手，不能去括号，也不能先计算每一个括号再计算乘法，但仔细观察会发现，后一个的指数是原来的两倍，添加上（2-1）后，式子就变成（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，因此可以连续利用平方差公式.

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1

=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1

=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）+1

=（216-1）（216+1）（232+1）+1

=（232-1）（232+1）+1

=264-1+1

=264

平方差公式，有较强的灵活性和技巧性，只要同学们多观察，勤思考，善总结，就能正确掌握这个公式，举一反三，融会贯通.

对于平方差公式，要活学活用，因此这节课的评测练习分成三个阶段（一磨，二磨，再磨），梯度越来越高.

以下是课堂教学环节的第四部分：

（一）一磨

1.运用平方差公式计算

你能根据上题计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1的结果吗？

[“磨”的设计意图]

②运用平方差公式的结果等于符号相同的字母的平方减去符号相反的字母的平方．在此环节中，教师要及时地引导、点拨，进行拓展与变化，要在课堂中引起讨论，激发学生的思维，让学生从本质上解决问题.精讲点拨可以由教师讲，也可以由学生讲，是一个归纳、发展与提升的过程.

一、基础训练

1．下列运算中，正确的是（）

A．（a+3）（a-3）=a2-3B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4

C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2D．（x+2）（x-3）=x2-6

2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）

A．（x+1）（1+x）B．（

a+b）（b-

a）

C．（-a+b）（a-b）D．（x2-y）（x+y2）

3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（）

A．3B．6C．10D．9

4．9.7×

10.3=________

5．（x-y+z）（x+y+z）=________

6．（

x+3）2-（

x-3）2=________．

7．

（1）（2a-3b）（2a+3b）；

（2）（-p2+q）（-p2-q）；

二、能力训练

8．

（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；

（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．

9.做一做：

如图，边长为

的大正方形中有一个边长为

的小正方形.

（1）

请表示图中阴影部分的面积：

（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？

你能表示出它的面积吗？

长＝　　　　　　宽＝　　　　　　　　

（3）比较

（1），

（2）的结果，你能验证平方差公式吗?

　　　　　　　＝　　　　　　　　　

三、综合训练

10.观察下列各式：

根据前面的规律可得：

________________

《平方差公式》教学反思

《平方差公式》是一节公式定理课，是老师们非常熟悉的一个课题，讲这节课，我深深感到一种压力.但是，无论如何，“新”、“实”是我追求的目标.为此，我作了以下努力：

1、把数学问题“蕴藏”在游戏中

导入新课，是课堂教学的重要环节.“好的开始是成功的一半”，首先是一个视频，一个拼图游戏，学生通过拼图验证了平方差公式，在课堂上，学生可能会有多种拼图方法,学生不仅拼出了我意料之中的图形，而且还有个别同学拼出了别的的图形.由此,学生在探索中推出式子（a+b）（a-b）=a2-b2,同时也感受和认识知识的发生和发展的过程.我真正的体会到，只要你给学生创造一个自由活动的空间，学生便会给你一个意外的惊喜.

2、充分重视“自主、合作、探究”的教学方式的运用

把探究的机会留给学生，让学生在动脑思考中构建知识，真正成为教学活动的主体.使他们在活动中进行公式的总结，并且通过交流学习、应用，深化了对公式的理解.学生对知识的掌握往往通过练习来达到目的，新授后要有针对性强的有效训练，让学生对所学知识建立初步的表象，以达到对知识的理解、掌握及应用，实现从感性认识到理性认识的升华.在此设计了三个层次的有效训练，让学生体会平方差公式的特点：

第一层次是直接运用公式，第二层次是将式子进行适当变形后应用公式，第三个层次是平方差公式的灵活应用.通过做题学生归纳出平方差公式的运用技巧.

3.自置悬念，享受成功

以同桌为单位，各小组出两道具有平方差公式的结构特征的题目，看谁出得有水平.学生每人都设计了题目，任意叫了六位学生在黑板上写，经评价结果都对了.这种方法，不仅令人耳目一新，而且把学生引入不协调——探究——发现——解决问题的一个学习过程，使学生获得思维之趣，参与之乐，成功之悦.

值得注意的是：

1、节奏的把握上

这一节我觉得不是很顺，尤其从几何角度推出平方差公式、二磨中例题的其他计算方法等问题上，花了不少时间，节奏把握的不是很好.

2、充分发挥学生的主体地位上

这节课上，我觉得学生的积极性不是很高，说明我备学生还不够，自己想象的比现实的好.

3、切实落在实效上

几个活动后，让学生上台板