第8讲 数学广角数与形教师版Word文档下载推荐.docx

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（1）填表如下：

3

4

14

20

26

（2）8+（7﹣1）×

6

＝8+6×

＝8+36

＝44（根）

6n+2＝56

6n＝54

n＝9

搭7条“金鱼”需要44根火柴；

有56根火柴，可以搭9条“金鱼”．

2．（2020•雄县）二进制时钟是一种“特殊的时钟”，它用4行6列24盏灯来表示时间（图1）竖着看，从左到右每两列为一组，每列依次表示时、分、秒的十位数字和个位数字；

每列从下往上的灯依次表示1、2、4、8（●表示灯亮，〇表示灯熄灭，灯灭代表0），同一列中多盏灯同时亮，要把它们各自表示的数加起来得到对应的数．例如，图1中最右侧一列，从下往上第一、二、三盏灯是，分别表示数字1、2、4，1+2+4＝7，此时这列灯表示数字7，按照这样的表示方法，请在图2的括号里写出此时时钟表示的时刻．图3是雯雯同学上午进入校门的时刻，请涂出二进制时钟上的显示．

【思路分析】根据所给图示，发现每行与每列的变换规律：

竖着看，从左到右每两列为一组，每列依次表示时、分、秒的十位数字和个位数字；

每列从下往上的灯依次表示1、2、4、8（●表示灯亮，〇表示灯熄灭，灯灭代表0），同一列中多盏灯同时亮，要把它们各自表示的数加起来得到对应的数．然后利用规律做题即可．

．

【名师点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现规律，并运用规律做题．

3．（2020春•上街区期末）根据前三个算式的规律，写出其他算式的得数，并说明理由．

在完成第①题时，我是这样想的：

　被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以相同的数　．

在完成第②题时，我是这样想的：

　除数不变，被除数乘几（0除外），商就乘相同的数　．

【思路分析】①根据所给算式发现：

被除数不变，除数乘2、3、……6，商就除以2、3、……6．据此完成题目，并总结规律．

②根据所给算式发现：

除数不变，被除数乘2、3、……8，商也乘2、3、……8．据此完成题目，并总结规律．

被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以相同的数．

除数不变，被除数乘几（0除外），商就乘相同的数．

故答案为：

被除数不变，除数乘几，商就除以相同的数．除数不变，被除数乘几，商就乘相同的数．

【名师点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．

一．选择题（共6小题）

1．（2019秋•大田县期末）根据1÷

11＝0.

，2÷

，3÷

，可以推出9÷

11＝（　　）

A．0.

B．0.

C．0.

D．0.

【思路分析】根据1÷

，可以看出循环节都是两个数字，循环节的两个数字是9与被除数的乘积；

由此规律，可知9÷

11的循环节是81，据此解答．

【规范解答】根据题意与分析可得：

根据1÷

故选：

D．

【名师点评】注意式子的运算结果中数字之间的联系，发现规律，进一步解决问题．

2．（2020•顺德区）如图是用棋子摆成的图形，摆第一个图形需要3枚棋子，摆第二个图形需要6枚棋子，摆第三个图形需要9枚棋子……照这样的规律摆第11个图形需要（　　）枚棋子．

A．27B．30C．33D．36

【思路分析】观察图形可知，摆第一个图形需要3＝3×

1枚棋子，摆第二个图形需要3×

2＝6枚棋子，摆第三个图形需要3×

3＝9枚棋子，摆第四个图形需要3×

4＝12枚棋子……，据此可得摆第n个图形需要3n枚棋子，据此即可解答问题．

根据题干分析可得：

摆第一个图形需要3＝3×

1枚棋子，

摆第二个图形需要3×

2＝6枚棋子，

摆第三个图形需要3×

3＝9枚棋子，

摆第四个图形需要3×

4＝12枚棋子

…，

据此可得摆第n个图形需要3n枚棋子，

当n＝11时，11×

3＝33（枚）

照这样的规律摆第11个图形需要33枚棋子．

C．

【名师点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．

3．（2019•北京）寒假的时候，同学们去莲花山滑雪场滑雪，有些同学用雪杖摆成了如图：

像上面那样摆10个三角形，至少需要（　　）根滑雪杖．

A．21B．20C．9D．30

【思路分析】根据图示，摆1个三角形，需要滑雪杖：

3根；

摆2个三角形，需要滑雪杖：

3+2＝5（根）；

摆3个三角形，需要滑雪杖：

3+2+2＝7（根）……摆n个三角形，需要滑雪杖：

3+2（n﹣1）＝（2n+1）根．据此解答．

摆1个三角形，需要滑雪杖：

3根

3+2＝5（根）

3+2+2＝7（根）

摆n个三角形，需要滑雪杖：

3+2（n﹣1）＝（2n+1）根

摆10个三角形需要滑雪杖：

2×

10+1

＝20+1

＝21（根）

摆10个三角形，至少需要21根滑滑雪杖．

A．

4．（2018秋•福州期末）用小棒摆正六边形，（如图所示），按照这样的方法摆下去，摆n个正六边形需要（　　）小棒．

A．6nB．5nC．5n+1D．6n+1

【思路分析】根据图示，摆1个正六边形需要小棒根数：

6根；

摆2个正六边形需要小棒根数：

6+5＝11（根）；

摆3个正六边形需要小棒根数：

6+5+5＝16（根）；

……摆n个正六边形需要小棒根数：

6+5（n﹣1）＝（5n+1）根．据此解答．

摆1个正六边形需要小棒根数：

摆n个正六边形需要小棒根数：

6+5（n﹣1）＝（5n+1）根．

摆n个正六边形需要（　5n+1　）根小棒．

【名师点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现规律．

5．如图的每个正方形中的四个数之间都有相同的规律，请根据此规律，计算出m的值是（　　）

A．86B．74C．52

【思路分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积加左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是8，右上是10；

然后求出m的值即可．

第四图左下角的数是：

6+2＝8

右上角的数是：

8+2＝10

那么右下角的数m就是：

10×

8+6＝86

【名师点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．

6．（2019春•凤凰县月考）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，n等于（　　）

A．52B．74C．86

【思路分析】观察前三个图可得：

左上角、右上角、左下角同一位置的数都是连续的递增双数；

0+4×

2＝8，2+6×

4＝26，4+8×

6＝52，右下角的数的规律是：

左上角的数+右上角的数×

左下角的数＝右下角的数；

据此解答即可．

右上角的数：

左下角的数：

所以n＝6+10×

＝6+80

＝86

【名师点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

二．填空题（共6小题）

7．（2020春•磐石市期末）按规律填数：

（1）2，4，6，8，　10　，12，　14　．

（2）56，46，36，26，　16　．

【思路分析】

（1）2，4，6，8，这四个数连续的双数，依次增加2即可；

（2）56，46，36，26，这四个数个位都是6，十位是5、4、3、2，依次减少1个十；

（1）8+2＝10

12+2＝14

所以，2，4，6，8，10，12，14．

（2）这些数个位都是6，十位是5、4、3、2、1；

所以，56，46，36，26，16．

10，14；

16．

8．认真观察如图，看从中受到什么启发，然后再计算出后面算式的结果．

＝　

【思路分析】根据图示，观察算式可知：

分子是1，分母分别是2的1次方，2的2次方，2的3次方，……求这些分数的和为最后一个分数的分母做分母，分子是分母减1．据此解答．

＝

；

＝1﹣（

）

＝1﹣

9．（2020•无锡）探索实践：

如图，用“十字形”分割正方形．分割一次，可以分成4个正方形；

分割二次，可以分成7个正方形……用这样的“十字形”连续分割3次，可以分成　10　个正方形；

连续分割拟n次，可以分成　（3n+1）　个正方形；

要分成100个正方形需要分割　33　次．

【思路分析】根据图示，分割一次，可以分成4个正方形；

分割二次，可以分成4+3＝7（个）正方形；

分割3次，可以分成4+3+3＝10（个）正方形；

……连续分割n次，可以分成4+3（n﹣1）＝（3n+1）个正方形；

据此解答．

分割1次，正方形个数：

4个

分割2次，正方形个数：

4+3＝7（个）

分割3次，正方形个数：

4+3+3＝10（个）

分割n次，正方形个数：

4+3（n﹣1）＝（3n+1）个

3n+1＝100

3n＝99

n＝33

连续分割3次，可以分成10个正方形；

连续分割拟n次，可以分成（3n+1）个正方形；

要分成100个正方形需要分割33次．

10；

（3n+1）；

33．

10．（2020•唐县）观察如图的点阵图，找规律．

第五个点阵图有　18　点，第n个图形共有　3（n+1）　个点．

【思路分析】根据图示可知，第一个点阵图点数：

1+2+3＝2×

3＝6（个）；

第二个点阵图点数：

2+3+4＝3×

3＝9（个）；

第三个点阵图点数：

3+4+5＝4×

3＝12（个）；

第n个点阵图点数：

3（n+1）个．据此解答．

第一个点阵图点数：

3＝6（个）

3＝9（个）

3＝12（个）

第五个点阵图点数：

（5+1）×

＝6×

＝18（个）

3（n+1）个

第五个点阵图有18点，第n个图形共有3（n+1）个点．

18；

3（n+1）．

11．找规律，填一填．

（1）1001、2002、3003、　4004　、　5005　、　6006　．

（2）九千一百、八千二百、七千三百、　六千四百　、　五千五百　、　四千六百　．

（1）2002﹣1001＝1001、3003﹣2002＝1001，规律：

每次增加1001；

（2）九千一百、八千二百、七千三百、规律：

千位数字每次减少1，百位数字每次增加1；

（1）3003+1001＝4004

4004+1001＝5005

5005+1001＝6006

所以，1001、2002、3003、4004、5005、6006．

（2）九千一百、八千二百、七千三百、六千四百、五千五百、四千六百．

4004、5005、6006；

六千四百、五千五百、四千六百．

12．（2020•海安市）现有若干个圆环，它们的外直径都是5厘米，环宽5毫米，将它们扣在一起（如图所示）拉紧后测量总长度．

圆环个数

…

总长度（cm）

5

9

13

17

像这样，10个圆环拉紧后的长度是　41　厘米．如果圆环的个数为n，拉紧后总长度是　（4n+1）　厘米．

【思路分析】根据图示可知：

1个圆环的长度是5厘米；

2个圆环的总长度是5+4＝9（厘米）；

3个圆环的总长度是：

5+4+4＝13（厘米）；

……n个圆环的总长度是：

5+4（n﹣1）＝（4n+1）厘米．据此解答即可．

1个圆环的长度是5厘米

2个圆环的总长度是5+4＝9（厘米）

5+4+4＝13（厘米）

10个圆环的总长度是：

4×

＝40+1

＝41（厘米）

n个圆环的总长度是：

5+4（n﹣1）＝（4n+1）厘米

10个圆环拉紧后的长度是41厘米．如果圆环的个数为n，拉紧后总长度是（4n+1）厘米．

41；

（4n+1）．

【名师点评】此题关键是从简单情形入手，找出图形之间的联系，数字之间的运算规律，利用规律解决问题．

三．判断题（共5小题）

13．（2014•吉州区模拟）用小棒照图搭正方形，搭一个正方形用4根，搭两个正方形用7根，搭a个正方形有4a根．　×

　．（判断对错）

【思路分析】通过观察易得搭一个正方形要火柴4根；

搭两个正方形要火柴（4+3）根，即7根；

搭三个正方形要火柴（4+3×

2）根，即10根，由此得到搭a个正方形要火柴4+3×

（a+1）＝3a+1根，据此即可解答．

观察第一个图得，搭一个正方形要火柴4根；

观察第二个图得，搭两个正方形要火柴（4+3）根，即7根；

观察第三个图得，搭三个正方形要火柴（4+3×

2）根，即10根，

所以搭a个正方形要火柴4+3×

（a﹣1）＝3a+1根．

×

【名师点评】本题考查了规律型：

图形的变化类：

通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．

14．（2012•岳麓区）按1、8、27、　64　、125、216的规律排，横线中的数应为64．　正确　．（判断对错）

【思路分析】此题关键是发现以上数列是按各数的立方顺序排列的．

13＝1；

23＝8；

33＝27；

43＝64；

53＝125；

63＝216．

由此发现规律：

以上数列是按1、2、3、4、5、6的立方顺序排列的，43＝64．

正确．

【名师点评】认真观察，发现数列中的规律，从而利用规律解决问题．

15．（2017秋•临漳县期末）第五个点阵中点的个数是：

1+4×

4＝17．　√　（判断对错）

【思路分析】根据题干，第一个点阵有1个点，第二个点阵上下左右各增加了一个点即有：

1+1×

4个点，第三个点阵上下左右各增加了2个点即有：

1+2×

2个点由此可得：

第n点阵的点数＝1+（n﹣1）×

4，由此规律即可解决判断．

4，

n＝5时，点数个数为：

1+（5﹣1）×

4＝1+4×

4＝17．

所以原题说法正确．

√．

【名师点评】抓住题干，从特殊的例子推理得出一般的结论，由此即可解决此类问题．

16．（2019•河南模拟）摆1个正方形需要4根小棒，往后每多摆1个正方形就增加3根小棒，按这样的规律摆10个正方形，一共需要31根小棒．　√　．（判断对错）

【思路分析】摆一个正方形要小棒4根；

摆两个正方形要小棒（4+3）根，即7根；

摆三个正方形要小棒（4+3×

2）根，即10根，由此得到摆n个正方形要小棒4+3×

（n﹣1）＝3n+1根；

然后把n＝10代入3n+1中即可求出摆10个正方形需要的小棒数．

摆一个正方形要小棒4根；

所以摆n个正方形要小棒：

4+3×

（n﹣1）＝3n+1（根）；

n＝10，3×

10+1＝31（根）；

摆10个正方形一共需要31根小棒．

原题说法正确．

17．（2011•新都区）如图：

那么第7个点阵有45个点．　×

【思路分析】根据图形，第一个图是1个点，第二个图有1+4个点，第三个图有1+4+6个点，第四个图有1+4+6+8个点，依次第五个图有1+4+6+8+10个点，第六个图有1+4+6+8+10+12个点，第七个图有1+4+6+8+10+12+14个点，求出和，然后与45比较大小，即可得解．

1+4+6+8+10+12+14＝55

55＞45

所以第7个点阵有45个点的说法是错误的；

四．应用题（共6小题）

18．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起．

（1）2张桌子拼在一起可坐多少人？

3张桌子拼在一起可坐多少人？

（2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照如图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？

（3）若在

（2）中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐多少人？

（1）根据图示2张桌子拼一起，可以坐：

6+2＝8（人），3张桌子拼一起，可以坐：

6+2+2＝10（人）．

（2）先根据

（1）的规律，计算5张桌子拼一起，可以坐的人数：

6+2+2+2+2＝14（人），再计算40张桌子可以拼成几个大桌子，然后乘14，计算可坐人数．

（3）根据规律计算8张桌子拼一起，可以坐的人数：

6+2+2+2+……+2＝6+2×

（8﹣1）＝20（人），然后计算40张桌子可以拼成几个大桌子，乘20就是一共可坐的人数．

（1）6+2＝8（人）

6+2+2＝10（人）

2张桌子拼在一起可坐8人；

3张桌子拼在一起可坐10人．

（2）6+2+2+2+2＝14（人）

8×

14＝112（人）

共可坐112人．

（3）6+2+2+2+2+2+2+2

＝6+2×

（8﹣1）

＝6+14

＝20（人）

40÷

5×

＝100（人）

改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐100人．

19．（2020•衡阳县）小红用黑白两种方块照下图这样拼图．

（1）观察图形并填表．

图序

图中黑方块的个数

　6　

　8　

（2）思考问题并填空．

①图序为10的图中黑方块有　22　个；

图序为n的图中黑方块有　（2n+2）　个．

②小红拼成的一个图中白方块有26个，这个图的图序为　8　．

（1）根据所给图示，图1黑色方块4个；

图2黑色方块4+2＝6（个）；

图3黑色方块：

4+2+2＝8（个）．

（2）①结合图示发现黑色方块的排列规律：

图1黑色方块4个；

4+2+2＝8（个）；

……第n个图形黑色方块的个数为：

4+2（n﹣1）＝（2n+2）个．据此解答．

②图中白方块的排列规律为：

图1：

5个；

图2：

5+3＝9（个）；

图3：

5+3+3＝11（个）；

……第n个图形白方块个数：

5+3（n﹣1）＝（3n+2）个．据此计算白方块是26个是第几个图形．

6

8

（2）①图1黑色方块4个

图2黑色方块4+2＝6（个）

4+2+2＝8（个）

图10黑方块的个数：

10+2

＝20+2

＝22（个）

第n个图形黑色方块的个数为：

4+2（n﹣1）＝（2n+2）个

图序为10的图中黑方块有22个；

图序为n的图中黑方块有（2n+2）个．

②白方块的排列规律为：

5个

5+3＝9（个）

5+3+3＝11（个）

第n个图形白方块个数：

5+3（n﹣1）＝（3n+2）个

3n+2＝26

3n＝24

n＝8

白方块有26个，这个图的图序为8．

6，8；

22，（2n+2）；

8．

20．（2020•海安市）海安某步行街要铺设一条人行道，人行道长400米，宽1.6米．现在用边长都是0.4米的红、黄两种正方形地砖铺设（如图是铺设的局部图示）．

（1）请帮忙算一算，铺设这条人行道一共需多少块地砖？

（不计损耗）

（2）铺设这条人行道一共需要多少块红色地砖？

（1）利用长方形面积公式：

S＝ab，计算人行道的面积，然后用人行道的面积除以每块地砖的面积，就是所需块数．

（2）根据图形的排列规律，每4×

4＝16（块）方砖中，有4块是红色的，求所需地砖块数包含几个16