选修41几何证明选讲.docx

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选修选修41几何证明选讲几何证明选讲选修41几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2：

经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例3相似三角形的判定与性质

（1）判定定理：

内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似

（2）性质定理：

内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项1在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误2在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误试一试1如图，F为ABCD的边AD延长线上的一点，DFAD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF16，GF12，求BE的长解：

由DFAD，ABCD知BGGF12，又EF16知EG4，故BE8.2在ABC中，点D在线段BC上，BACADC，AC8，BC16，求CD的长解：

BACADC，CC，ABCDAC，CD4.1判定两个三角形相似的常规思路

（1）先找两对对应角相等；

（2）若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；（3）若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”2借助图形判断三角形相似的方法

（1）有平行线的可围绕平行线找相似；

（2）有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；（3）有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边练一练1.如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的点，DEBC且2，求ADE与四边形DBCE的面积的比解：

DEBC，ADEABC，.2，.2.如图，已知在ABC中，CDAB于D点，BC2BDAB，求ACB.解：

在ABC与CBD中，由BC2BDAB，得，且BB，所以ABCCBD.则ACBCDB90.考点一平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在ABCD中，E是BC上一点，BEEC23，AE交BD于F，求BFFD的值解：

ADBC，BEEC23，BEAD25.ADBC，BFFDBEAD25.即BFFD.2.（2013惠州调研）如图，在ABC中，DEBC，DFAC，AEAC35，DE6，求则BF的值解：

由DEBC得，DE6，BC10.又因为DFAC，所以，即BF4.3.如图，在四边形ABCD中，EFBC，FGAD，求的值解：

由平行线分线段成比例定理得，故1.类题通法比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.考点二相似三角形的判定及性质典例（2013陕西高考）如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知PD2DA2，求PE的值解由PEBC知，ACPED.在PDE和PEA中，APEEPD，APED，故PDEPEA，则，于是PE2PAPD326，所以PE.类题通法1判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边2相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等针对训练（2013佛山质检）如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，求BE的值解：

由于BD，AEBACD，所以ABEADC，从而得，解得AE2，故BE4.考点三射影定理的应用典例如图所示，在ABC中，CAB90，ADBC于D，BE是ABC的平分线，交AD于F，求证：

.证明由三角形的内角平分线定理得，在ABD中，在ABC中，在RtABC中，由射影定理知，AB2BDBC，即.由得：

，由得：

.类题通法1在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”2证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法针对训练在RtACB中，C90，CDAB于D，若BDAD19，求tanBCD的值解：

由射影定理得CD2ADBD，又BDAD19，令BDx，则AD9x（x0）CD29x2，CD3x.RtCDB中，tanBCD.课堂练通考点1如图，ABEMDC，AEED，EFBC，EF12cm，求BC的长解：

E为AD中点，M为BC的中点又EFBCEFMC12cm，BC2MC24cm.2如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，ECAD，DEBC，若SBEC1，SADE3，求SCDE的值解：

ECAD，SDCESADEECAD，DEBC，SBCESCDEBCED，又因为ECBDECADE，BECEAD，BECEAD，ECADBCED.SDCESADESBCESCDE，于是SCDE.3（2013广东高考改编）如图，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，求ED的值解：

tanBCA，所以BCA30，ECD90BCA60.在RtBCE中，CEBCcosBCA3cos30.在ECD中，由余弦定理得ED.4.如图，在ABC中，F为边AB上的一点，（m，n0），取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E.求的值解：

如图，作FGBC交AE于点G，则1，.两式相乘即得.5在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AEEB12，DE与AC交于点F，若AEF的面积为6cm2，求ABC的面积解：

令Ea，EFb，则ab6.由题意知EB2a.DF3b.SABCABDE3a4b12ab12672（cm）课下提升考能1如图，已知ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F两点，证明：

AFADAGBF.证明：

因为四边形ABCD为平行四边形，所以ABDC，ADBC.所以ABFGCF，GCFGDA.所以ABFGDA.从而有，即AFADAGBF.2已知ABC中，BFAC于点F，CEAB于点E，BF和CE相交于点P，求证：

（1）BPECPF；

（2）EFPBCP.证明：

（1）BFAC于点F，CEAB于点E，BFCCEB.又CPFBPE，CPFBPE.

（2）由

（1）得CPFBPE，.又EPFBPC，EFPBCP.3如图，在ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AHBE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB4AF，EH8，求DF的长解：

AHBE，.AB4AF，HE8，HF2.AHBE，.D是AC的中点，1.HEHDDE8，HD4，DFHDHF422.4如图，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，求证：

（1）ABACBCAD；

（2）AD3BCCFBE.证明：

（1）在RtABC中，ADBC，SABCABACBCAD.ABACBCAD.

（2）RtADB中，DEAB，由射影定理可得BD2BEAB，同理CD2CFAC，BD2CD2BEABCFAC.又在RtBAC中，ADBC，AD2BDDC，AD4BEABCFAC，又ABACBCAD.即AD3BCCFBE.5如图，在ABC中，D为BC边的中点，E为AD上的一点，延长BE交AC于点F.若，求的值解：

如图，过点A作AGBC，交BF的延长线于点G.，.又AGEDBE，.D为BC中点，BC2BD，.AGFCBF，.6.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DECD，BE与AD交于点F.

（1）求证：

ABFCEB；

（2）若DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积解：

（1）证明：

四边形ABCD是平行四边形，BAFBCD，ABCD，ABFCEB，ABFCEB.

（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DEFCEB，DEFABF.（）2，（）2.又DECDAB，CEDECDDE2DE3DE.（）2，（）2.SDEF2，SCEB18，SABF8.平行四边形ABCD的面积SSABFSCEBSDEF818224.第二节直线与圆的位置关系1圆周角定理

（1）圆周角定理：

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

（2）圆心角定理：

圆心角的度数等于它所对弧的度数推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径2圆内接四边形的性质与判定定理

（1）性质：

定理1：

圆内接四边形的对角互补定理2：

圆内接四边形的外角等于它的内角的对角

（2）判定：

判定定理：

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆3圆的切线性质及判定定理

（1）性质：

性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

（2）判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（3）弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角4与圆有关的比例线段

（1）相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

（2）割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（3）切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（4）切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角1易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断2在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误试一试1.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，PAAB，CD3，求PC的长解：

设PCx，由割线定理知PAPBPCPD.即2x（x3），解得x2或x5（舍去）故PC2.2.如图，EB，EC是O的两条切线，B，C是切点，A，D是O上两点，如果E46，DCF32，求BAD的值解：

由已知，显然EBC为等腰三角形，因此有ECB67，因此BCD180ECBDCF81.而由A，B，C，D四点共圆，得BAD180BCD99.1与圆有关的辅助线的五种作法

（1）有弦，作弦心距

（2）有直径，作直径所对的圆周角（3）有切点，作过切点的半径（4）两圆相交，作公共弦（5）两圆相切，作公切线2证明四点共圆的常用方法

（1）利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；

（2）证明它的一个外角等于它的内对角；（3）证明四点到同一点的距离相等当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用3圆幂定理