届北师大版 45 压轴题高分策略之导数与不等式结合检测卷.docx

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届北师大版45压轴题高分策略之导数与不等式结合检测卷

导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．

常见的命题角度有：

（1）证明不等式；

（2）不等式恒成立问题

1、恒成立不等式的来源：

（1）函数的最值：

在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。

（2）恒成立问题的求解：

此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向。

其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式

2、常见恒成立不等式：

（1）对数→多项式

（2）指数→多项式

3、什么情况下会考虑到数形结合？

利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：

（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图

（2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义

（3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征

一、利用导数证明不等式

【典例1】【2016高考新课标Ⅲ文数】设函数．

（I）讨论的单调性；

（）证明当时，；

（）设，证明当时，.

【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．

考点：

1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．

【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：

（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；

（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．

【典例2】【2015高考新课标1，文21】设函数.

（）讨论的导函数的零点的个数；

（）证明：

当时.

【答案】（）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（）见解析

【解析】

试题分析：

（）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（）由（）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.

试题解析：

（）的定义域为，.

考点：

常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.

【思路点拨】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理.

【典例3】【2016高考天津文数】设函数，，其中

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：

；

（Ⅲ）设，函数，求证：

在区间上的最大值不小于.

【答案】（Ⅰ）递减区间为，递增区间为，.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析

【解析】

当变化时，、的变化情况如下表：

0

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（2）证明：

因为存在极值点，所以由

（1）知且.

由题意得，即，

进而，

又，且，

当时，，

由

（1）和

（2）知，，

所以在区间上的取值范围为，

所以

.

③当时，，由

（1）和

（2）知，

，，

所以在区间上的取值范围为，因此，

.

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

考点：

导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式

二、利用导数解决不等式恒成立问题

【典例4】【2016高考新课标2文数】已知函数.

（）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

综上，的取值范围是

考点：

导数的几何意义，函数的单调性.

【典例5】【2016高考四川文科】

设函数，，其中，e=2.718…为自然对数的底数.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：

当x＞1时，g（x）＞0；

（Ⅲ）确定的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立.

【答案】

（1）当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增；

（2）证明详见解析；（3）.

又因为=0，所以当时，=>0，即>恒成立.

综上，.

考点：

导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题．

【思路点拨】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明函数不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．

【典例6】【2015高考福建，文22】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）证明：

当时，；

（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．

1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：

将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.

（2）函数思想法：

将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.