四川省遂宁广安眉山内江四市高中届毕业班第一次诊断性联考理数试题 Word版含答案.docx
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四川省遂宁广安眉山内江四市高中届毕业班第一次诊断性联考理数试题Word版含答案
四川省遂宁、广安、眉山、内江四市高中2019届毕业班
第一次诊断性联考理数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则（）
A．B．C．D．
2．已知是虚数单位，若，则（）
A．B．C．D．
3．若，则（）
A．B．C．D．
4．已知命题，是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分有不必要条件
5．如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，则（）
A．3B．C．2D．1
6．如图，是某算法的程序框图，当输出时，正整数的最小值是（）
A．2B．3C．4D．5
7．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）
A．B．C．D．
8．已知数列满足若对于任意的都有，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
9．已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
10．如图，在三棱锥中，已知三角形和三角形所在平面互相垂直，，，则直线与平面所角的大小是（）
A．B．C．D．
11．椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
12．已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．二项式的展开式中常数项为．
14．学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：
“是或作品获得一等奖”；
乙说：
“作品获得一等奖”；
丙说：
“，两项作品未获得一等奖”；
丁说：
“是作品获得一等奖”．
若这位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．
15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的面积为．
16．若一直线与圆和函数的图象相切于同一点，则的值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
18．（本小题满分12分）
张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如下表：
年龄（岁）
7
8
9
10
11
12
13
身高（cm）
121
128
135
141
148
154
160
（Ⅰ）求身高关于年龄的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．
附：
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，．
19．（本小题满分12分）
已知是定义在上的奇函数，当时，，且曲线在处的切线与直线平行．
（Ⅰ）求的值及函数的揭傒斯；
（Ⅱ）若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）
设各项均为正数的数列的前项和为，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中为自然对数的底数，…．
（Ⅰ）判断函数的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线（为参数）经过伸缩变换，后的曲线为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线的极坐标方程为，且曲线与曲线相交于，两点，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数，，其中，，均为正实数，且．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，求证．
四川省遂宁、广安、眉山、内江四市高中2019届毕业班
第一次诊断性联考理数试题答案
一、选择题
1-5:
CABBB6-10:
CDBBB11、12：
AC
二、填空题
13．2414．B15．4816．3
三、解答题
17．【解析】（Ⅰ）因为，所以，
由正弦定理得，
因为在中，所以，
所以
，
因为，所以，此时，
则，
所以的取值范围为．
18．【解析】（Ⅰ）由题意得，
．
，
，
所以，
，
所求回归方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6．5cm．
将代入（Ⅰ）中的回归方程，
得，
故预测张三同学15岁的身高为173．5cm．
19．【解析】（Ⅰ）当时，，
因为曲线在处的切线与直线平行．
又，，，．
函数在区间上有三个零点，
等价于函数在上的图象与有三个公共点．
结合函数在区间上大致图象可知，实数的取值范围是．
20．【解析】（Ⅰ）当时，有，解得；
当时，由得，，
两式相减得，
所以，
因为数列的各项为正，所以，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
所以，
，
两式相减得
，
所以．
21．【解析】（Ⅰ）由题可知，，则，
（i）当时，，函数为上的减函数，
（ii）当时，令，得，
①若，则，此时函数为单调递减函数；
②若，则，此时函数为单调递增函数．
（Ⅱ）由题意，问题等价于，不等式恒成立，
即，恒成立，
令，则问题等价于不小于函数在上的最大值．
由，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以函数在的最大值为，
故，不等式恒成立，实数的取值范围为．
22．【解析】（Ⅰ）由题意得曲线的参数方程为（为参数），
则曲线的直角坐标方程为，
所以曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线是以为圆心，半径为1的圆，
而曲线为直线，直角坐标方程为．
曲线的圆心到直线的距离，
所以弦的值为．
23．【解析】（Ⅰ）由题意，当时，
当时，，不等式无解；
当时，，解得，所以．
当时，恒成立．
所以的解集为．
（Ⅱ）当时，；
．
而
当且仅当时，等号成立．
即，
因此，当时，，
所以，当时，．
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