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word完整版高中数学必修一讲义

高中数学《必修一》讲义

一．序言

（一）、为什么要学数学？

1.提高思维能力，增长聪明才智；2.学习与实践的基础;3.“高考市场”的拳头产品

（二）、数学为什么难学？

1.高度的抽象性2.严密的逻辑性3.应用的广泛性

（三）、如何学好高中数学？

1.牢记基础知识;2.领悟思想方法;3.把握主干问题;4.提高运算技能;

5.注重理性思维;6.勇于探索创新;7.加强数学应用;8.优化心理品质.

（四）、对数学学习有什么要求？

1.专注认真;2.勤思多练;3.常做笔记;

4.规范作业;5.加强交流;6.反思评价.

老师寄语：

好的开始是成功的一半，新的学期开始了，请大家调整好自己的思想，找到学习的原动力。

播种一种思想，收获一种行为；播种一种行为，收获一种习惯；播种一种习惯，收获一种性格；播种一种性格，收获一种命运。

愿每位同学都有个好的开始。

第一讲：

集合的含义.表示及集合间的基本关系

（一）集合的有关概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们

能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3.思考1：

判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）大于3小于11的偶数；

（2）我国的小河流；

（3）非负奇数；

（4）方程的解；

（5）某校2007级新生；

（6）血压很高的人；

（7）著名的数学家；

（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点

（9）全班成绩好的学生。

对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征

（1）确定性：

设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：

一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：

给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

（4）集合相等：

构成两个集合的元素完全一样。

5.元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作：

a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作：

aA

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A

4A，等等。

6．集合与元素的字母表示：

集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

７．常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R；

例题讲解：

例1．用“∈”或“”符号填空：

（1）8N；

（2）0N；（3）-3Z；（4）Q；

（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，英国A。

例2．已知集合P的元素为,若3∈P且-1P，求实数m的值。

（二）．集合的表示方法

我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

（1）列举法：

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。

如：

{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

说明：

1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考

虑元素的顺序。

　　　2．各个元素之间要用逗号隔开；

　　　3．元素不能重复；

4．集合中的元素可以数，点，代数式等；

　　　5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为

例1．用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；

（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；

（4）方程组的解组成的集合。

（2）描述法：

把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{　}内。

具体方法：

在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：

如：

{x|x-3>2}，{（x,y）|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；

说明：

描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{（x,y）|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：

{x︳整数}，即代表整数集Z。

辨析：

这里的{　}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。

下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

例2．试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；

（3）方程组的解。

说明：

列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

课堂练习：

1．用适当的方法表示集合：

大于0的所有奇数

2．集合A＝{x|∈Z，x∈N}，则它的元素是。

3．已知集合A＝{x|-3

（三）.子集、空集等概念

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

（1），；

（2）C={|是第一中学2010年9月入学的高一年级同学}，D={|是第一中学2010年9月入学的高一年级女同学}.

（3），

1．子集的定义：

对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。

记作：

读作：

A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A

当集合A不包含于集合B时，记作

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

如：

（1）中

2．集合相等定义：

如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。

如（3）中的两集合。

3．真子集定义：

若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）。

记作：

AB（或BA）

读作：

A真包含于B（或B真包含A）

如：

（1）和

（2）中AB，CD；

4．空集定义：

不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：

。

用适当的符号填空：

；0；；

5．几个重要的结论：

（1）空集是任何集合的子集；

（2）空集是任何非空集合的真子集；

（3）任何一个集合是它本身的子集；

（4）对于集合A，B，C，如果，且，那么。

说明：

1．注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；

2．在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

例题讲解：

例1．填空：

（1）．2N；N；A;

（2）．已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则

AB；AC；{2}C；2C

例2．写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

例3．若集合BA，求m的值。

（m=0或）

例4．已知集合且，

求实数m的取值范围。

（）

第二讲：

集合的基本运算

（一）.交集、并集概念及性质

思考1．考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：

（1），；

（2），；

1.并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集（unionset）。

记作：

A∪B（读作：

“A并B”），即

用Venn图表示：

这样，在问题

（1）

（2）中，集合A，B的并集是C，即

=C

说明：

定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：

A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？

A∪A＝,A∪Ф＝,A∪BB∪A

A∪B＝A,A∪B＝B.

巩固练习（口答）：

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝;

②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝;

③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝。

2.交集的定义：

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersectionset），记作A∩B（读“A交B”）即：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

用Venn图表示：

（阴影部分即为A与B的交集）

常见的五种交集的情况：

讨论：

A∩B与A、B、B∩A的关系？

A∩A＝A∩Ф＝A∩BB∩A

A∩B＝AA∩B＝B

巩固练习（口答）：

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝;

②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝;

③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝。

例题讲解：

例1．设集合，求A∪B．

变式：

A＝{x|-5≤x≤8}

例2．设平面内直线上点的集合为L1，直线上点的集合为L2，试用集合的运算表示，的位置关系。

例3．已知集合

是否存在实数m，同时满足？

（m=-2）

（二）.全集、补集概念及性质

1.全集的定义：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universeset）,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

2.补集的定义：

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集（complementaryset），记作：

，

读作：

“A在U中的补集”，即

用Venn图表示：

（阴影部分即为A在全集U中的补集）

讨论：

集合A与之间有什么关系？

→借助Venn图分析

巩固练习（口答）：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则=，=；

②．设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|（x-2）（x-4）（x-5）＝0}，则＝；

③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则＝。

例题讲解：

例1．设集，求，．

例2．设全集，求，

，。

（结论：

）

例3．设全集U为R，，若

，求。

集合复习

（一）集合的基本运算：

例1：

设U=R，A={x|-5

（CA）∩（CB）、（CA）∪（CB）、C（A∪B）、C（A∩B）。

说明：

不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。

例2：

全集U={x|x<10，x∈N}，AU，BU，且（CB）∩A={1,9}，A∩B={3}，（CA）∩（CB）={4,6,7}，求A、B。

说明：

列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法。

（二）集合性质的运用：

例3：

A={x|x+4x=0}，B={x|x+2（a+1）x＋a－1=0},若A∪B=A，求实数a的值。

说明：

注意B为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，要注意判别式。

例4：

已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a