毕业论文：阿贝成像和空间滤波技术的研究Word格式文档下载.docx
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高阶波因为角度大，不能进入物镜。
焦平面上形成的衍射图像，再次衍射：
衍射图像中各点，按惠更斯原理成为新的波源，产生球面波。
这些由第二次衍射形成的球面波相互干涉，最后在物镜的像平面形成物体的实像。
物体的细微部分如果十分靠近，以至连一阶衍射波的偏角太大，不能进入显微镜的物镜，没有显微镜能够分辨物体的细微部分。
在相干照明下，被物体衍射的相干光，只有当它被显微镜物镜收集时,才能对成像有贡献。
换句话说,像平面上光场分布和像的分辨率由物镜收集多少衍射光来决定。
相干二次衍射理论是用频谱语言描述的波动光学观点，它从波动光学的角度解释了限制显微镜成像分辨本领的原因。
1.3本文的主要内容
本文首先从理论上进行介绍，第二章介绍二维傅里叶变换的知识，在数学上对任一平面光场的复振幅分布进行二维傅里叶展开，并理解其物理意义；
第三章介绍变量衍射理论，从基尔霍夫衍射理论开始，导出在不同条件下的近似，即菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射；
第四章根据前二维傅里叶变换和标量衍射的知识讨论透镜的傅里叶变换性质；
第五章提出阿贝成像理论，并用前面的知识对其进行傅里叶分析；
第六章使用MATLAB软件对阿贝——波特实验进行仿真，得到精确的实验数据。
2二维傅里叶分析
2.1平面波的空间分布
一般情况下把单色平面光波简称为平面波。
平面波的复振幅可表示为：
（2.1）
在直角坐标系中
图2.1
截平面上平面波的复振幅分布
（2.2）
（2.3）
式中，，分别为x，y，z三个坐标方向上的单位矢量。
，，是波矢k与x，y，z轴的夹角。
所以
（2.4）
（2.5）
其中，，表示波矢k沿x，y，z三个坐标方向的空间频率
若考察平面波在x-y-平面上的复振幅分布，其中z为一常量，则
（2.6）
2.2数学上的二维傅里叶变换
为在整个平面内有定义的二维函数，若存在傅里叶变换，就可以表示为
（2.7）
其中
（2.8）
2.3单色平面光场的二维傅里叶分析
在相干光照明条件下，物分布函数可以用复函数U（x,y）表示，其模表示各点的振幅，幅角表示各点的初相位，对U（x,y）应用傅里叶变换有
（2.9）
（2.10）
由上式可以看出U（x,y）可以看作是有无数指数基元加权叠加而成，其权重为。
对比平面波在x-y-z0平面上的复振幅分布，可知相当与振幅为，传播方向为,的单色平面波。
因而，物分布函数可看作无数个不同振幅（）不同方向（，）的平面波相干叠加而成[2]。
3光的标量衍射理论
3.1菲涅尔——基尔霍夫衍射公式
图3.1
点光源照明平面屏的衍射
如图，s（p’）为位于p’点的点光源，为衍射屏上的任意一点，p为孔径后的任意一观察点，l和r分别为p和p’到po的距离。
基尔霍夫把亥姆霍兹方程同格林定理结合起来并假定边界条件，从而导出了严格的衍射公式：
[3]
（3.1）
如果点光源离开孔径足够远，使入射光可以看成垂直入射到孔径的平面波那么对于孔径上的各点都有，，而表示孔径上的复振幅分布可令
图
3.2平面光入射屏时的衍射
则基尔霍夫衍射公式可表示为
（3.2）
通常衍射孔径的线度比观察平面到孔径的距离要小很多，在观察屏上考察的距离也比观察屏到孔径的距离小很多，因此，有
图3.3
衍射近似的示意图
（3.3）
由于孔径范围内，任意点Q到观察屏上的考察点p的距离变化并不大，并且分母中r的变化只影响孔径范围内各子波波源发出的球面子波的振幅，这种影响微乎其微，所以可取
（3.4）
但在复指数部分中由于k很大，r的微小变化也会对位相产生显著地变化，故不可近似，所以在近轴条件下基尔霍夫衍射公式可表示为：
（3.5）
3.2菲涅尔衍射
3.2.1菲涅尔近似条件
图3.4
基尔霍夫衍射公式的计算较为复杂。
但在近轴条件下，可做一些近似计算。
（3.6）
对上式做二项式展开
（3.7）
当z大到使第三项以后的各项对位相的作用小于1rad时即
（3.8）
第三项后的各项便可忽略，因而可只取前后两项来表示r，即
（3.9）
3.2.2菲涅尔衍射公式
在满足式（3.8）的菲涅尔衍射近似条件，下可得菲涅尔衍射计算公式
（3.10）
3.3弗琅禾费衍射
3.3.1弗琅禾费近似
将式（3.9）式展开有
（3.11）
当z很大而使式中第4项对位相的贡献小于1rad时，即
（3.12）
第4项便可省略。
第2项和第三项也是比z小很多的量，但它比第四项大很多，因为随着z的增大，衍射光的范围也不断扩大，相应的考察范围也不断扩大，故r在在满足式（3.12）的条件下可进一步改写为:
（3.13）
3.3.2弗琅禾费衍射公式
在满足弗琅禾费衍射条件下式式（3.5）中的r可以由式（3.13）式表示，得到弗琅禾费衍射公式
（3.14）
4透镜的傅里叶变换性质
4.1透镜的相位调制作用
4.1
透镜的相位调制作用
如图是一个点光源通过正透镜的成像光路s为光轴上的一个单色点光源，通过正透镜在光轴s’点处形成它的点像。
为了说明透镜的相位变换作用，这里引入透镜的复振幅透过率
（4.1）
式中U（x,y），U’（x,y）均为紧贴着透镜的平面上的复振幅分布
在近轴情况下单色点光源s在平面上的复振幅分布为
（4.2）
式中A表示在近轴情况下平面上的复振幅分布是均匀的。
会聚于s’点的球面光在平面上的复振幅分布为
（4.3）
式（4.2）和式（4.3）中的与为常位相因子它们表示，变化在，平面上的常量位相变化，并不影响，平面上的复振幅相对空间分布在分析时可以省略，由式（4.1）式有
（4.4）
根据透镜成像的高斯公式
（4.5）
式（4.4）可改写为
（4.6）
4.2透镜的傅里叶变换性质
（1）物在透镜前
图4.2
物在透镜前处的傅里叶变换
如图所示，点光源s在透镜相距d’处的光轴上。
透明物体放置在距透镜前处，复振幅透过率为，点光源成像于s’
处。
近轴情况下，点光源s发出的单色球面波在平面上的复振幅分布为
（4.7）
式中省略了常数位相因子，经过透射率为透明物体在透明物体后透射光场的复振幅为
（4.8）
光波从平面传播到平面的传播过程是传播距离为的菲涅尔衍射，平面的复振幅为
（4.9）
上式中省略了常数位相因子，光场通过透镜变为,由透镜的位相变换作用可知
（4.10）
从紧贴透镜后表面的平面到达观察平面的传播过程是传播距离为的菲涅尔衍射，故
（4.11）
将式（4.7）到（4.10）各式带入式（4.11）经过化简，整理得
（4.12）
式中
（4.13）
通常情况下都是采用平行光照射物体，即。
下面讨论在平行光照明下，输入平面在两个特殊位置的傅里叶变换性质。
a输入平面位于物方焦平面上
此时可求得，这时式（4.12）变为
（4.14）
b输入面紧贴透镜
这时求得
（4.15）
5阿贝成像及空间滤波
5.1阿贝成像理论
1873年德国人阿贝在研究如何提高显微镜的分辨本领时，提出了相干二次衍射成像理论。
阿贝认为相干成像的过程可分为两步完成：
第一步，在相干光的照明下物体可看作一个复杂的光栅，在透镜的后焦面形成该光栅的弗琅禾费衍射图样；
第二步，各个衍射光斑作为新的球面子波子物体的相平面上相干成像。
图5.1
阿贝成像示意图
根据透镜的傅里叶变换的性质，在单色平面波的照射下在透镜的后焦面上的光场分布是物体的傅里叶变换频谱。
而由频谱合成为像，这一合成过程可视为傅里叶逆变换。
5.2空间滤波
5.2.1空间频率滤波系统
阿贝成像原理揭示了频谱与像的关系，启发人们通过改变频谱来改造的到的像。
通常改变频谱都是在空间频率滤波系统中进行的，下面介绍一种最为典型的空间频率滤波系统。
如图所示：
图5.24f空间滤波系统
如图5.2所示，s为相干光源，发出单色球面波透镜准直为平面波，垂直入射到透射率为的物平面上，由透镜的傅里叶变换性质在面形成其频谱，面同时也是滤波面，经滤波后的频谱由进行傅里叶逆变换在输出像。
5.2.2空间滤波的傅里叶分析
下面我们以一维光栅为例，通过傅里叶分析的方法，计算改变频谱对像结构的影响。
令一维光栅的透过率函数为
（5.1）
上式表示一沿方向，缝宽为a，周期为d，尺寸为L的光栅，在单位振幅平面波的照射下透镜在透镜的像方焦平面上得到其频谱
（5.2）
并假设各频谱点之间的距离已足够大，衍射频谱没有重叠。
下面讨论在平面放置不同的空间滤波器时，平面上输出像的变化。
放入适当宽度的狭缝只让零级频谱通过。
狭缝的透过率函数可表示成
因sinc函数衰减迅速，可以认为主要能量集中在有限的宽度内，所透过率函数可近似看作只让式（5.2）中的n=0的项通过，滤波后的频谱函数为
（5.3）
在像平面上的光场分布是频谱的傅里叶逆变换
（5.4）
可见所得的像为一宽度为L的矩形函数，没有了内部的周期性结构。
图5.3零级频谱通过时的滤波过程
2.狭缝的宽度允许零级和正负一级通过，透过率函数可表示成
这时滤波函数允许式（5.2）中的m=0，的项通过
（5.5）
此时平面上的光场分布为
（5.6）
图5.4
零级和正负一级通过时的滤波过程
3.放入双缝，只允许正负二级频谱通过，狭缝的透过率函数为
此时只允许式（5.2）中的的两项通过
（5.7）
此时像平面上的光场分布为
（5.8）
此时像平面上得到的是余弦条纹，周期变为原来的一半。
图5.5
正负二级通过时的滤波过程
4.放入小圆屏，仅挡住零级频谱，其余的频谱都能透过，其透过滤函数为
其只阻挡了m=0的项通过
（5.9）
（5.10）
当不同时可引起两个重要的现象：
a.当时，直流分量为，振幅下降，像平面上的复振幅分布仍为光栅结构，但是振幅的模却是相等的，故强度分布是均匀的。
b.，即光栅的透光部分大于不透光的部分，这时直流分量大于，去掉直流分量后，振幅下降大于，如图所示，其结果使物和像的强度分布呈现对比反转[1,2,6]。
图5.6挡住零频时的滤波过程
6空间滤波实验的MATLAB仿真
6.1
MATLAB模拟空间滤波实验的基本步骤
阿贝成像原理是在透镜后焦面上得到光场空间频率分布的傅立叶变换，成像又是一次逆变换的过程，这种变换可由快速傅立叶变换（FFT）轻松实现。
利用阿贝—波特实验装置和空间滤波系统，从改变频谱入手改造一幅光学图像，可以进行光学信息处理。
此基础上，用MATLAB强大的计算及图像可视化功能完成阿贝—波特实验的物理模型的构建并进行计算机模拟。
令f为待滤波处理的图像，大小为，H（u,v）为滤波函数，g为处理的结果，图像频的域滤波可归结为如下几个步骤[4,5]:
1.构建光栅的图像:
f=zeros（128,128）;
fori=1:
2
f（i:
8:
end,:
）=1;
end
f（:
i:
end）=1;
end%创建缝宽2周期为8的光栅图像大小为128*128，M=128，N=128
subplot（2,2,1）,imshow（f）
下图即为所构建的光栅图像：
图6.1平面网格光栅
2.对光栅图像进行傅里叶变换
因为要防止使用fft2（）过程中“卷边”现象的发生，要对图像f进行零填充，P，Q表示经零填充后的图像大小，P，Q必须满足。
并使用fftshift（）将变换的原点移到中心这里取P=256,Q=256。
具体代码为：
P=256;
Q=256;
F=fftshift（fft2（f,P,Q））;
%傅立叶变换
p=abs（fftshift（F））;
%零频移动到中间并取模
subplot（2,2,2）,mesh（p）%以曲面图显示频谱
subplot（2,2,3）,imshow（0.005*p）;
%因零频较其他频率大很多，以一定的比例显示能更好
%地表现频谱
图6.2
频谱的强度分布的曲面图
图6.3
频谱的平面图
3.构建不同的空间滤波器H。
具体空间滤波器件见后文
4.对滤波后的频谱G进行傅里叶逆变换并取模，其语句为：
G=F.*H;
%G为滤波后的频谱
g=abs（ifft2（G）;
subplot（2,2,4）,imshow（g）%显示经空间滤波后所成的图像
6.2
阿贝——波特空间滤波实验的仿真
1.圆孔低通滤波器
构建圆孔光阑，其大小与频谱图大小相同（P*Q），通过半径为r，生成函数为：
functionH=lowpass（P,Q,low）%
光阑大小为P*Q，r为截止半径
r=low*min（P,Q）*0.5%计算圆孔半径
u=0:
P-1;
u=u-0.5*（P）;
%生成一维u，其值为行坐标与频谱中间位置的距离
v=0:
Q-1;
v=v-0.5*（Q）;
%生成一维v，其值为列坐标与频谱中间位置的距离
[U,V]=meshgrid（v,u）;
%U为size（u）*size（v）大小的矩阵，值为各列到频谱中间
%位置的距离
%V为size（u）*size（v）大小的矩阵，值为各行到频谱中间
R=sqrt（U.^2+V.^2）;
%计算个点到频谱中心的距离的矩阵
H=double（R<
=r）;
%当矩阵的值小于等于low时，值为1
下图为归一化截止半径为0.4的圆孔光阑的仿真结果：
a圆孔光阑图像
b滤波后的频谱图像
c滤波后的频谱还原像
图6.4低通滤波器通过半径为0.4的仿真图像
可以看到只有通过光阑的频谱信息参与了图像的还原，使得还原的图像信息不全而显得模糊。
如果减小光阑孔径，使得通过的频谱继续减少，像将变得更加模糊。
反之，加大光阑的孔径，使通过的频谱增加，像将变得清晰，但总会有高频信息的丢失，并不能完美地还原图像。
2.圆孔高通滤波器
构建圆孔高通滤波器只需将前面的圆孔低通滤波器取反即可：
H=1-lowpass（P,Q,r），下面为low=0.08的高通滤波器的仿真图像。
a高通滤波器
b滤波后的频谱
图6.5高通滤波器归一化截止半径为0.08的仿真图
该仿真结果实现了对比度反转。
由于所用的光栅透光部分大于不透光部分，由第五章的傅里叶分析可知去除零频，即去除了背景光，实现了物和像的对比度反转。
3.圆环带通滤波器
构建圆环带通滤波器可用：
H=lowpass（P,Q,high）-lowpass（P,Q,low），即用半径较大的低通滤波器减去半径较小的低通滤波器。
下图为半径0.4—0.2的带通滤波器。
a带通滤波器
图6.6
带通滤波器半径为0.4-0.2的仿真图像
4.方向光阑滤波
首先构建方向滤波器，令方向滤波器的缝宽为D水平方向的滤波器的生成函数为：
H=zeros（P,Q）;
x=floor（（P-D）/2）;
H（x:
x+D,:
下面为D=10时的仿真图像；
a水平滤波器
图6.7缝宽为10的狭缝滤波器的仿真图像
和实验结果一样，像只包括了垂直的结果，说明了水平方向的频谱只包含了像的水平结构。
也可构造与水平方向成一定角度的狭缝滤波器，下面给出与水平方向成45度的狭缝滤波器：
H=zeros（256,256）
256
forj=1:
ifabs（i-j）<
=5
H（i,j）=1;
其仿真结果为：
a滤波器图像
图6.8
倾斜45度的狭缝滤波器的仿真图像
仿真结果表明光栅结构的频谱在其中垂线上。
6.3图像的空间滤波实验
1.低通滤波器
低通滤波器只允许低频成分通过，阻挡了高频成分的通过。
当图像中包含很多的高频噪声，例如航空拍摄的放大照片中的颗粒噪声；
激光光束扩束时由于尘埃或光学元件缺陷引起相干斑纹等，都是高频噪声。
低通滤波器能使图像平滑，显得更加柔和。
如下图便是由椒盐噪声引起的图像退化，使用低通滤波器去除了椒盐噪声，使图像更加柔和但是图像也损失了细节成分。
图6.9低通滤波器去除了高频噪声
2.高通滤波器
高通滤波器只允许高频成分通过，阻挡了低频成分。
由于图像的边缘或透过率锐变得地方包含了丰富的高频信息。
经高通滤波后，能产生增强边缘效果，从而突出图像的细节部分。
可应用于图像的边缘选取、或者突出细节。
下图为高通滤波对图像的影响，因去除了能量较高的低频部分所以图像较暗：
图6.10高通滤波器使图像边缘突出
3.带通滤波器
带通滤波器只允许所选取的频谱通过，过滤多余的频谱。
特别适合抑制周期性信号中的噪声。
周期性信号的频谱为有规律的点阵。
可采用采用适当的针孔点阵做滤
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