用割补法求面积文档格式.docx

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　　如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×

5=25。

　　　　例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法

　　从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角

（2）拼补法

　　将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

　　积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面

　　（3）等分法

　　将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，

　　注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

　　　　例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。

将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。

所以所求梯形面积是（9×

9-5×

5）÷

4=14（厘米2）。

　　　　例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。

　分析与解：

题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。

我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。

因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。

乙的面积是4×

6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。

　　　　例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。

求乙正方形的面积。

如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。

　　把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是40÷

20=2（厘米）。

这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷

2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×

9=81（厘米2）。

　　练习22

　　1.求下列各图中阴影部分的面积：

（1）

（2）

　　2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。

　　3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。

已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。

　　4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米2，BE长3厘米，求CD的长。

　　5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。

求甲、乙的面积之和。

　　6.求下图（单位：

厘米）中四边形ABCD的面积。

五年级奥数专题二十一:

用等量代换求面积

一个量可以用它的等量来代替；

被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。

前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。

这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。

　　　　例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：

厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。

因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。

直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×

2÷

2=17（厘米2）。

　　所以，阴影部分的面积是17厘米2。

　　　　例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。

因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于

　　10×

8÷

2+10=50（厘米2）。

　　　　例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。

求ED的长。

求ED的长，需求出EC的长；

求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。

因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。

也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。

　　梯形ABCD面积=（8+4）×

6÷

2=36（厘米2），

　　三角形ECB面积=36-18=18（厘米2），

　　EC=18÷

6×

2=6（厘米），

　　ED=6-4=2（厘米）。

　　　　例4下页上图中，ABCD是7×

4的长方形，DEFG是10×

2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。

分析：

直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。

如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。

　　　　解法一：

连结B，E（见左下图）。

三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。

所求为4×

（10-7）÷

2-2×

2=3。

　　　　解法二：

连结C，F（见右上图）。

三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。

　　　　解法三：

延长BC交GF于H（见下页左上图）。

三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。

所求为（4+2）×

（10-7）=3。

　　　　解法四：

延长AB，FE交于H（见右上图）。

三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。

（10-7）-（10-7）×

（4+2）÷

[

例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。

这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。

连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。

因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。

根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×

2=8（厘米2）。

　　练习21

　　1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。

如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？

　　2.右上图（单位：

厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。

　　3.左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。

求直角梯形ABCD的面积。

（π=3.14）

　　4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。

　　5.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。

　　6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。

影部分的面积和。