概率论知识点总结Word文件下载.docx
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定义:
和事件
“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A与事件B的和事件。
记为A∪B。
用集合表示为:
A∪B={e|e∈A,或e∈B}。
积事件
称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件,记为A∩B或AB,用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。
差事件
称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A-B,用集合表示为A-B={e|e∈A,eB}。
互不相容事件或互斥事件
如果A,B两事件不能同时发生,即AB=Φ,则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。
定义6:
逆事件/对立事件
称事件“A不发生”为事件A的逆事件,记为ā。
A与ā满足:
A∪ā=S,且Aā=Φ。
运算律:
设A,B,C为事件,则有
(1)交换律:
A∪B=B∪A,AB=BA
(2)结合律:
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C
A(BC)=(AB)C=ABC
(3)分配律:
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC
(4)德摩根律:
小结:
事件的关系、运算和运算法则可概括为
四种关系:
包含、相等、对立、互不相容;
四种运算:
和、积、差、逆;
四个运算法则:
交换律、结合律、分配律、对偶律。
第二节:
1、设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为:
P(A)=k/n=A包含的样本点数/S中的样本点数。
2、几何概率:
设事件A是S的某个区域,它的面积为μ(A),则向区域S上随机投掷一点,该点落在区域A的概率为:
P(A)=μ(A)/μ(S)假如样本空间S可用一线段,或空间中某个区域表示,并且向S上随机投掷一点的含义如前述,则事件A的概率仍可用(*)式确定,只不过把理解为长度或体积即可.
概率的性质:
(1)P()=0,
(2)
(3)
(4)若AB,则P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A).
第四节:
条件概率:
在事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为A对B的条件概率,记作P(A|B).
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小,即P(A|B)仍是概率.
乘法公式:
若P(B)>
0,则P(AB)=P(B)P(A|B)
P(A)>
0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式:
设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分,且P(Ai)>
0,i=1,2,…,n,B是任一事件,则
贝叶斯公式:
0,i=1,2,…,n,B是任一事件且P(B)>
0,则
第五节:
若两事件A、B满足
P(AB)=P(A)P(B)则称A、B独立,或称A、B相互独立.
将两事件独立的定义推广到三个事件:
对于三个事件A、B、C,若
P(AC)=P(A)P(C)P(AB)=P(A)P(B)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(BC)=P(B)P(C)四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.
第六节:
定理对于n重贝努利试验,事件A在n次试验中出现k次的概率为
总结:
1.条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有密切的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色。
2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用,请牢固掌握。
3.独立性是概率论中的最重要概念之一,亦是概率论特有的概念,应正确理解并应用于概率的计算。
4.贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一,在应用上相当广泛。
第二章:
随机变量及其分布
1、随机变量:
分为离散型随机变量和连续型随机变量。
分布函数:
设X是一个r.v,x为一个任意实数,称函数
F(X)=P(X≤x)为X的分布函数。
X的分布函数是F(x)记作X~F(x)或FX(x).
如果将X看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间(x≤X)。
3、离散型随机变量及其分布
定义1:
设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值,称等式P(X=xk)=PK,为离散型随机变量X的概率函数或分布律,也称概率分布.其中PK,≥0;
ΣPk=1
分布律与分布函数的关系:
(1)已知随机变量X的分布律,可求出X的分布函数:
①设一离散型随机变量X的分布律为
P{X=xk}=pk(k=1,2,…)
由概率的可列可加性可得X的分布函数为
②已知随机变量X的分布律,亦可求任意随机事件的概率。
(2)已知随机变量X的分布函数,可求出X的分布律:
一、三种常用离散型随机变量的分布
.1(0-1)分布:
设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为
P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1.(0<
p<
1)
则称X服从(0-1)分布,记为X(0-1)分布。
(0-1)分布的分布律用表格表示为:
X01
P1-pp易求得其分布函数为
2.二项分布(binomialdistribution):
若离散型随机变量X的分布律为
其中0<
1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项分布,记为XB(n,p).
4、
泊松分布的定义及图形特点设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为:
其中入>
0是常数,则称X服从参数为入的泊松分布,记作X~P(入).、
连续型随机变量
1概率密度f(x)的性质
(1)f(x)≥0
(3).X落在区间(x1,x2)的概率
几何意义:
X落在区间(x1,x2)的概率P{x1<
X≤x2}等于区间(x1,x2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积.
(4).若f(x)在点x处连续,则有F′(x)=f(x)。
.概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系:
(1)若连续型随机变量X具有概率密度f(x),则它的分布函数为
(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x),那么它的概率密度为f(x)=F′(x).
注意:
对于F(x)不可导的点x处,f(x)在该点x处的函数值可任意给出。
三种重要的连续型分布:
1.均匀分布(UniformDistribution)设连续随机变量X具有概率密度
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为XU(a,b).
若XU(a,b),则容易计算出X的分布函数为
2.指数分布
入>
则称X服从参数为入的指数分布.
常简记为X~E(入)
指数分布的分布函数为
指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.
设随机变量X满足:
对于任意的s>
o,t>
0,有
则称随机变量X具有无记忆性。
3.正态分布
若r.vX的概率密度为
其中μ和
都是常数,任意,μ>
0,
则称X服从参数为μ和
的正态分布.记作
f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.
的正态分布称为标准正态分布.
标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
随机变量函数的分布
设X为连续型随机变量,具有概率密度fx(x),求Y=g(X)(g连续)的概率密度。
1.一般方法——分布函数法
可先求出Y的分布函数FY(y):
因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y},设ly={x|g(x)≤y}
则
再由FY(y)进一步求出Y的概率密度
2.设连续型随机变量X的密度函数为X(x),y=f(x)连续,求Y=f(X)的密度函数的方法有三种:
(1)分布函数法;
(2)若y=f(x)严格单调,其反函数有连续导函数,则
可用公式法;
(3)若y=g(x)在不相重叠的区间I1,I2,…上逐段严格单
调,其反函数分别为h1(y),h2(y),…,且h1(y),h2(y),
…,均为连续函数,则Y=g(X)是连续型随机变量,
其密度函数为
对于连续型随机变量,在求Y=g(X)的分布时,关键的一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值的形式,从而可以利用X的分布来求P{g(X)≤y}.。
第三章、多维随机变量
.分布函数的性质
对于任意固定的y,
对于任意固定的x,
离散型随机变量的分布、
连续型随机变量及其概率密度
性质
边缘分布1离散型随机变量的边缘分布律
连续型随机变量的边缘分布
随机变量的独立性:
两个随机变量函数的分布
一、离散型随机变量函数的分布
二、
连续型随机变量函数的分布
第四章.、随机变量的数字特征
随机变量的数学期望
E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.
2.连续型随机变量数学期望的定义
数学期望的本质——定积分它是一个数不再是随机变量
3.数学期望的性质
E(C)=C
E(CX)=CE(X)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
当X,Y独立时,E(XY)=E(X)E(Y)
若存在数a使P(Xa)=1,则E(X)a;
若存在数b使P(Xb)=1,则E(X)b.
随机变量的方差
方差的定义
D(X)——描述r.v.X的取值偏离平均值
的平均偏离程度
5.随机变量方差的计算
利用公式计算
方差的性质1.D(C)=02.D(CX)=C2D(X)
D(aX+b)=a2D(X)
特别地,若X,Y相互独立,则
若Xi,Xj均相互独立,
均为常数,则
2若X,Y相互独立可得
逆命题不成立;
3若X,Y相互独立可得
逆命题不成立。
4.对任意常数C,D(X)E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立
5.D(X)=0等价于P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)。
切比雪夫不等式
设随机变量X有期望E(X)和方差,则对于
任给
>
0,
第三节、协方差与相关系数
若
则称x,y不相关。
注:
(1)X和Y的相关系数又成为标准协方差,它是一个无量纲的量。
2、若随机变量X和Y相互独立
协方差的计算公式
1、Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
2、D(X+_Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
协方差的性质:
相关系数:
1、二维正态分布密度函数中,参数p代表了与Y的相关系数。
2、二维正态随机变量X和Y相关系数为零等价于X和Y相互独立。
即XY相互独立等价于XY不相关
不相关的充要条件
相关系数的性质:
第五章:
极限定理
大数定理:
设{Xn}为一随机变量序列,E(Xn)存在,记
则称{Xn}服从(弱)大数定律。
切比雪夫大数定律:
设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列,它们都有有限的方差,并且方差有共同的上界,即D(Xi)≤K,i=1,2,…,则对任意的ε>
马尔科夫条件:
在切比雪夫大数定理的证明过程中可以看出
只要(△),则大数定理就能成立。
切比雪夫大数定律的特殊情况:
设X1,X2,…是独立随机变量
序列,且E(Xi)=μ,D(Xi)=
,i=1,2,…,则对任给
辛钦大数定律:
设随机变量序列X1,X2,…独立同分布,具有有限的数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…,则对任给ε>
0,
辛钦大数不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.
中心极限定理:
独立同分布下的中心极限定理:
设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列,且E(Xi)=
,D(Xi)=
,i=1,2,…,则
参考资料
《概率论数理统计随机过程》作者:
胡细宝孙洪祥王丽霞
郭永江老师的教学课件