中考数学相似含答案附中考真题精选.docx

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中考数学相似含答案附中考真题精选

20RR年中考数学一轮复习精品讲义

第二十六章相似

本章小结

小结1本章概述

本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．

小结2本章学习重难点

【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．

【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．

【学习本章应注意的问题】

通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．

小结3中考透视

图形的相似在中考中主要考查：

（1）了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．

（2）认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．（3）了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．（4）了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．

相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．

知识网络结构图

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1比例线段

【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．

例1如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．

（1）求证；

（2）计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．

分析利用△CDE∽△CAB，可证明．

证明：

（1）∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，

∴△CDE∽△CAB，∴.

解：

（2）∵AE＝8，OC＝12，

∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．

又∵，

∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．

连接OB，在△OBC中，OB＝AE＝4，OC=12，

∴8＜BC＜16．

【解题策略】将证转化为证明△CDE∽△CAB.

专题2乘积式或比例式的证明

【专题解读】证明形如，或=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证，可设法证，，然后将两式相乘即可，这里寻找线段R便是证题的关键。

例2如图27－97所示，在等腰三角形ABC中，过A作AD⊥BC，过C作CE⊥AB，又作DF⊥CE，FG⊥AD，求证．

分析欲证，可将其分成三个比例式，，，再将三式相乘即可．不难得知R就是CD，而线段R在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则R就是GK，只要证明就可以了．

证明：

延长FG交AB于K，连接DK，

∵DF⊥EC，BE⊥EC，∴DF∥BE，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝DC，∴EF＝CF．

∵FG∥BC，∴∠1＝∠2，

∴Rt△FDC≌Rt△EKF，

∴KF＝DC，∠3＝∠4，

∴四边形KFCD是平行四边形，∴∠2＝∠5，

∴∠EKD＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°，

∴DK⊥AB，

∴DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDG，

∴Rt△ADB∽Rt△DGF，∴．①

∵GK∥BD，∴△AKG∽△ABD，∴．②

在△ABD中，∠ADB＝90°，DK⊥AB，∴△ADB∽△AKD．

又△AKD∽△KGD,△ADB∽△KGD，∴．③

由①×②×③，得．

例3如图27－98所示，在△ABC中，已知∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

4，求证.

分析原式等价于＝1，也就是，在CA上取一点D，使CD＝BC，原式就变成，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作∠ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有△BCE≌△DCE，从而易证AD＝DE＝CE，于是只需证即可．

证明：

∵∠A：

∠B：

∠C＝1：

2：

4，

∴设∠A＝R，则∠B＝2R，∠C＝4R

作CE平分∠BCA，交AB于E，

在AC边上取一点D，使CD＝CB，连接DE，

∴△DCE≌△BCE，

∴∠CDE＝∠B＝2R，∠DEC＝∠BEC=3R，

又∠CDE＝∠A+∠DEA，∴∠DEA＝R，∴AD＝DE，

又∵DE＝EC，∴AD＝CE．

在△ABC和△ACE中，∠CAB＝∠CAE，∠ACE＝∠B＝2R，

∴△ABC∽△ACE，∴，

即，

∴,∴=1

即.

二、规律方法专题

专题3：

相似三角形的性质

【专题解读】相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别（或构造）相似三角形的基本图形．

例4如图27－99所不，在△ABC中，看DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长为（）

A．8cmB．12cm

C．11cmD．10cm

分析由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，．因为，所以,所以．因为DE=4cm，所以BC=12cm故选B.

例5如图27－100所示，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.

（1）求∠EDB的度数；

（2）求DE的长．

分析

（1）由DE∥BC，得∠EDB＝∠DBC＝∠ABC，可求∠EDB．

（2）由DE∥BC，得△ADE△ACB，则，再证出BE＝DE，可求DE．

解：

（1）∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝∠ABC＝×80°＝40°，∴∠EDB＝40°．

（2）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，

∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，

∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，

∴.

∴，∴DE=6cm

【解题策略】将比例式中的AE转化为AB－DE，逐步由未知转化为已知，建立关于DE的关系式来求解．

例6如图27－101所示，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC，求证△ABC∽△FDE．

分析由已知可证∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，从而可证△ABC∽△FDE．

证明：

∵FD∥AB，FE∥AC，

∴∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，

∴△ABC∽△FDE．

例7（08·无锡）如图27－102所示，已知点正是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证△ABF∽△EAD．

分析由矩形的性质可知∠BAD＝∠D＝90°，再由BF⊥AE可证∠AFB＝∠D和∠DAE＝∠FBA，从而证明△ABF∽△EAD．

证明：

在矩形ABCD中，∠BAD＝∠D=90°，

∵BF⊥AE，∴∠AFB＝∠D＝90°，

∴∠ABF+∠BAE＝90°．

又∵∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝90°，

∴∠ABF＝∠EAD，

∴△ABF∽△EAD，

三、思想方法专题

专题4分类讨论思想

【专题解读】分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全面、严谨地思考问题．

例8在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有条．

分析如图27－103所示，过点D作AB的平行线，或过点D作DF∥BC，或作∠CDH＝∠B，或作∠ADG＝∠B，故填4．

专题5建模思想

【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题．

例9如图27－104所示，小明想用皮尺测量池塘A，B间的距离，但现有皮尺无法直接测量池塘A，B间的距离，学习有关的数学知识后，他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接OA，OB，分别在OA，OB上取中点C，D，连接CD，并测得CD＝a，由此他知道A，B间的距离是（）

A．aB．2aC．aD．3a

分析∵D，C分别为OB，OA的中点，∴CD是△ABO的中位线，∴CD＝AB，∴AB＝2CD＝2a．故选D．

【解题策略】此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决．

例10如图27－105所示，九年级

（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1．6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．

分析利用相似三角形得比例式，构建线段关系求线段长．

解：

因为CD⊥FB，AB⊥FB，所以CD∥AB，

所以△CGE∽△AHE，所以，

即，

所以，解得AH＝11．9，

所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．

故旗杆AB的高度为13．5m．

专题6转化思想

【专题解读】本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题．

例11如图27－106所示，已知E为ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE交AC于O，交AD于F．求证BO2＝OF·OE．

分析要证BO2＝OF·OE，只需证，而OB，OE，OF在一条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而由已知可证△AOF∽△COB和△AOB∽△COE，即有，，从而得证．

证明：

在ABCD中，AB∥CE，AD∥BC，

∴△AOF∽△COB，△AOB∽△COE，

∴，，

∴，

∴OB2＝OF·OE．

例12在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）

A．8，3B．8，6C．4，3D．4，6

分析由AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，得△ABC∽△DEF，且相似比为2，则，所以S△DEF＝＝3，△DEF的周长为＝8．故选A．

例13已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：

25，则△ABC与△DEF的相似比为．

分析利用相似三角形的性质求解．故填2：

5．

例14已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC：

S△A′B′C′＝1：

2，则AB：

A′B′＝．

分析根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且S△ABC：

S△A′B′C′＝1：

2，得AB：

A′B′＝1：

.故填1：

.

综合验收评估测试题

（时间：

120分钟满分：

120分）

一、选择题

1．要做甲、乙两个形状相同（相似）．的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有（）

A．1种B．2种C．3种D．4种

2．如图27－107所示，在△ABC中，已知∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为（）

A.B．7C．D.

3．如图27－108所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，若△ABC的面积为12cm2，则△ADE的面积为（）

A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．6cm2

4．厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑色大理石，如图27—109所示，其余部分铺上白色大理石，那么黑色大理石与白色大理石的面积比为（）

A．1：

4B．4：

1C．1：

3D．3：

4

5