1718学年高二上学期期末考试数学理试题附答案.docx
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1718学年高二上学期期末考试数学理试题附答案
天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试
高二数学（理科）
温馨提示：
使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上。
题号
一
二
三
总分
16
17
18
19
20
得分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷（选择题共40分）
得分
评卷人
一、选择题：
本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．经过两点，的直线的倾斜角为，则（）
A．B．C．D．
2．双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．
3．命题“，曲线是椭圆”的否定是（）
A．，曲线是椭圆
B．，曲线不是椭圆
C．，曲线是椭圆
D．，曲线不是椭圆
4．已知向量，，若，则实数的值为（）
A．B．C．D．
5．“直线与平面垂直”是“直线与平面内的无数条直线都垂直”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）
A．B．
C．D．
7．直线与圆的位置关系是（）
A．相交B．相离C．相切D．与取值有关
8．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
9．已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为，则点到该抛物线的准线的距离为（）
A．2B．3C．4D．5
10．已知为椭圆上一点，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（共80分）
得分
评卷人
二、填空题：
本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在
题中横线上．
11．抛物线的焦点坐标为__________.
12．椭圆的两个焦点为、，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则=__________.
13．已知三条直线，，.若，则的值为__________．
14．如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱中，，点在棱上，且，则直线与平面所成角的余弦值为________．
15．平面上一质点在运动过程中始终保持与点的距离和到直线的距离相等．若质点接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是__________.
三、解答题：
本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
得分
评卷人
16．（本小题满分12分）
已知圆的方程.
（1）求的取值范围；
（2）若,求圆截直线所得弦的长度.
得分
评卷人
17．（本小题满分12分）
已知顶点为的抛物线与直线相交于不同的两点.
（1）求证：
；
（2）当时，求的面积.
得分
评卷人
18．（本小题满分12分）
如图，在多面体中，平面⊥平面，，是等边三角形，已知,．
（1）设是上的一点，求证：
平面⊥平面；
（2）求三棱锥的体积．
得分
评卷人
19．（本小题满分12分）
如图，在长方体中，，为中点．
（1）求证：
；
（2）动点满足，使得平面，求的值；
（3）若二面角的大小为，求线段的长．
得分
评卷人
20．（本小题满分12分）
椭圆的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得弦的长度为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:
直线过定点，并求出该定点的坐标．
天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试
高二数学（理科）参考答案
一、选择题：
本大题共10小题，每小题4分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
A
A
D
A
B
C
D
二、填空题：
本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11． 12． 13． 14．15.
三、解答题：
本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）
解：
（1）由题意知，解得.……………4分
（2）当时,由
得，………………………………………………………6分
所以圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离为，……………………8分
所以弦长的一半………………………………………10分
弦长为……………………………………………………………………12分
17．（12分）
解：
（1）由方程，
消去后，整理得
设，由韦达定理,，……………2分
∵在抛物线上，
∴,，∴.…………………………4分
∵，
∴……………………………………………………………………6分
（2）因为，由
（1）可得，代入抛物线方程可得
∴，……………………………………………………9分
∴………………………………12分
18．（12分）
解：
（1）证明：
在中，∵，
∴∴．……………………………………………………3分
又∵平面⊥平面，平面平面，
面，
∴面，又面，
∴平面⊥平面．………………………6分
（2）解：
过作，
∵平面⊥平面，
∴⊥平面，
即为四棱锥的高．
又是边长为的等边三角形，
∴．………………………9分
在底面四边形中，，，
在中，斜边边上的高为，
此即为的高．
∴．…………………11分
∴．…………………12分
19．解：
（12分）
（1）证明：
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设,则，，，，
,，，
所以,，
所以，所以.……………………3分
（2）由,则，连接，所以，，，
设平面的法向量为，
则，取
所以平面的一个法向量为，
因为平面，所以，即，所以.……7分
（3）连接，，设平面的法向量为，，，
则,取
所以平面的一个法向量为……………………9分
因为二面角的大小为，
所以，所以，
因为，所以，即.……………………12分
20．（12分）
解：
（1）由题意可得,,又，解得.
所以所求椭圆的方程为.……………………………………3分
（2）设，
由
消去得，
化为.
所以，.…………………………7分
.
因为以为直径的圆过椭圆右顶点，，
所以，
所以，
所以.
化为，
解得.……………………………………………10分
且满足.
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点.
综上可知，直线过定点.…………………………………………12分
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