数学建模论文写作结构解析Word文档格式.docx

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这些表述会增加评委对论文的好感度。

下面的几个问题，主要简单写一下解题过程及结果即可。

3、最后总结：

“我们对此模型在XXX的验证过程中发现了一些不足之后，并在模型评价上提出了N点建议。

（N，不要超过4个哈）

问题重述（引言）

在引言中，你可以按照你自己的理解重述问题。

从一个建模问题中，几乎每一个参赛队都可以找到一个不同的“模型”来进行解决。

赛后当你阅读其他参赛队的论文的时候，你会惊讶地发现你们解决问题的方法非常不一样，甚至，有的时候你会发现你们解决的问题也是截然不同！

因此你在引言中要将你对问题的理解以及你的工作所要解决的问题表述清楚。

在这里你也可以阐述一些问题的背景，或者展示一些你在研究问题过程中学到的东西。

引言通常应该在星期五下午首先书写。

它可以帮助确保团队所有成员的工作同步。

模型

这是论文中的第一个大的段落。

每一个问题，都可细分为三个部分：

模型，解决方案和验证方法。

模型可以用来生成数据，基于这些数据你可以测试你的解决方案。

一般来说，模型将出现在电脑中，所以我们面临的挑战是将程序代码翻译成文字，使得每一步都能自圆其说。

对于一些连续问题的建模，建议要对如何求解微分方程有一个清楚的理解。

别忘了，这是数学建模竞赛，所以对于这个部分不要文过饰非。

它应该是简单的——对于等级膨胀问题，本段将只涉及模拟一类中的一些实际等级，然后用一些方法，来扭曲它们，源自膨胀。

一般来说，对于离散问题，你需要熟悉如何产生具有不同性质的随机数集合——这对于构建用于检测你的算法的测试数据集很有帮助。

队员应该在周五下午选择构建这些模型，所以这一部分的草稿应该星期六完成。

解决方案

论文的第二个大段落。

在这个部分，我们描述数据处理方法，用于处理由第一部分产生的数据。

这一部分实际上说明了我们是如何解决问题。

你必须有一个以上的解决方案。

再提醒一遍：

一个以上的解决方案。

为了证明你有一个漂亮算法，你需要有一个底线，一些可以与你的解决方案相比较。

你可以先从最简单，最常见的算法入手，然后逐步提炼，完善它，直到得到你的最好的解决方案。

一般情况下，对于离散的问题，最简单的解决方案可能就是随机选择。

在这一部分中，你需要证明你已经对问题进行了彻底的探讨，并且你已经尝试了许多不同的解决方案。

即使你一开始就使用了最佳解决方案，然后尝试了一些其它的方案，在论文的书写中，你仍然应该表示从最根本的解决方案入手，然后逐步细化，最终达到你的最佳解决方案。

如果你尝试了更先进的算法，但它的效率并不理想？

也要把它放在论文中！

用来表示你已经从不同的角度进行了尝试，即使你最好的解决方案并不是最复杂、最有趣的一个。

在现实生活中，情况往往就是这样！

模型验证

有的时候，问题中会清楚地描述目标要求，以便于你构建算法的验证方法。

对于很多问题来说，会有很多方法来比较不同的算法，最好用多种方法来评价它们。

评价方法应该由大家一起自由讨论，可以持续整个星期天。

结果

在这里，你需要表述测试结果。

这一部分应该被特别关注，因为你已经将论文的其它部分表述完成了。

如果可能的话，你可以提供大量的数据来支持你的结论。

你的模型是不是将不同类型的数据集进行了整合？

你的算法是如何做的？

一般来说，这一部分将会以一些用到的参数结尾，这些参数出现在模型、算法和测试方法中。

你应该尝试尽可能大的参数空间。

在这一部分你要证明你已经采用了一个成熟的算法来处理问题，并且你已经尽可能地考查了问题的所有方面。

具体数据的展示是比较困难的。

提供一些图表是最好的手段。

但最终如果你彻底探讨了模型，算法和测试方法中出现的每一个参数，你将会有大量的数据需要罗列。

你应该以表格的形式来罗列数据，但不要指望评委会看这些表格。

你需要在表格下面写一段解释性的文本，指出数据的总的发展趋势，异常情况和整体结果。

重要提示：

许多参赛队仅仅建立了一个模型，提出了一种解决方案，运行了一个检测方法，给出了结果后就结束了。

你必须要进行多次地测试！

你必须要确定你的解决方案是稳定的！

它可以适应一些微小的环境变化，你可以给参数一个微小的变化，调试你的代码，使它依然能返回正确的结果。

让评委看到你的解决方案是灵活和稳定的，或者诚实地承认你的算法在一些特殊的情况下不能使用。

这样你的论文会显得非常的全面。

结论——模型评价——改进方案

首先，提出你的基本结论，即使你已经在上一个部分中提出过。

如：

“从整体上看，算法A的执行效率优于算法B34％，优于算法C67％”。

你需要用一些数字来概括所有的事情，可以平均化数据和用几个提炼出的数字来对算法进行排名。

如果在结果部分里，你已经提到“算法A整体上看优于算法B，而算法B也有自己的一些优点。

”在结论部分中，你要摒弃前面的说法，直接说“a是最好的”，这也需要放在摘要当中，表明你已经得到了具体、全面的结论。

模型评价这一部分是解释算法好的地方和需要改进的地方的一个比较好的途径。

推荐用一个公告式的列表。

除了概括性的文字以外，不用过多的解释优缺点，结果部分中的主要观点也要在这里提及，同时提到缺点，以及任何限制性的假设。

为了证明你处理问题的方法是成熟的，提出改进方案的工作是必需的。

是不是还有一些你想到的算法，由于比较巨大，还没有来得及在计算机上实现？

竞赛是有时间限制，所以这个地方可以显示你对问题的一个整体的把握。

总的建议：

我们已经谈过了摘要（文章最重要的部分），略读又是怎样的？

比较容易得到评委注意的部分包括标题、公告式列表、表格、图形和数字。

不要出现大的、不间断的文本，它们会使得文章变得枯燥无味，而且可能永远都不能被完全读完。

你应该使得文字清楚、易读，文本应该被规则性地断开，通过标题，列表，数字，图表，以及任何你能想到的，可以使得论文变得有趣的东西。

标题：

标题是非常重要的。

如果你去掉文章中的所有正文，标题读起来就像一个大纲。

评委是会详细看标题的，通过它评委可以了解到文章的流程（它应该和摘要中提到的整体思路相一致）。

你至少应该安排两层的标题（标题，子标题，二级标题），这会很容易把你的文章分成很多小块，每一块都会有明确的作用和目标。

尽量不要出现一段或者两段没有标题的情况。

它不仅可以使你的论文适合略读，还有利于文章主题集中，防止走题。

例如以下内容：

公告列表：

（在问题分析中）

“为了建立这个模型，我们需要包括4个主要观点”

∙第一个观点

∙第二个观点

∙第三个观点

∙第四个观点

这些类型的列表，不管编号与否，都有三个非常重要的用途。

1.打破了大块文本，减少了阅读的乏味感。

2.强调重要的思想。

3.当略读的时候，容易得到关注。

数据表格

如果你编写了一个能够正常运行的计算机程序，不要浪费它！

运行它几百次，每次输入不同的参数值。

然后以图表（如果你能）或者表格的形式组织数据。

对于它们，即使评委不加以细读，也能留下深刻的印象。

它们可以证明你有大量的数据来支持你的结论，你已经对问题中出现的参数进行了彻底的探讨。

图表和图形

图表可以胜过千言万语。

图表在建模部分非常有用，可以展示你是如何处理问题的，图形永远是显示数据的最好方式。

范文：

在现在的饮料市场，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。

这是不是偶然呢？

显然，这不是一个偶然的，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

2．现在就让我们一起来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

具体说，我们应该完成以下的任务：

取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；

如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

3．设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？

其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

4．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

5．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

6．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文（不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文），阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

§

2相关数据测量

我们取一个饮料量为355毫升的可口可乐易拉罐，测量它的部分数据如下：

（单位：

cm）

圆柱的半径

圆台上表面半径

罐的总高度

圆柱的高度

顶盖的厚度

侧壁的厚度

下底的厚度

3.305

2.885

12.310

10.210

0.028

0.011

0.021

根据上表数据，我们可以得到：

所以可以求得：

3 

问题的分析与假设

（一）、问题2中，假设易拉罐是一个正圆柱体，我们首先假设罐体各部分厚度相同，则欲使材料最省，只需在容积固定时使柱体表面积最小即可；

进一步考虑到为了加强罐体的抗压力和稳定性，顶盖的厚度要大于侧壁的厚度，则欲使材料最省，需在容积固定不变时，使所用材料的体积最小。

（二）、问题3中，假设易拉罐由圆台与圆柱组成，其中心纵断面如图一所示。

我们首先假设罐体各部分厚度相同，则欲使材料最省，只需在容积固定时使罐体表面积最小即可；

进一步考虑到为了加强罐体的抗压力和稳定性，顶盖与底部的厚度要大于侧壁的厚度，则欲使材料最省，需在容积固定不变时，使所用材料的体积最小。

（三）、问题4中，假设易拉罐由上部的圆台、中部的圆柱和底部上凹球冠构成。

其中心纵断面如图五所示。

欲使材料最省，需使所用材料最少。

4 

符号的说明

R………………圆柱形部分的内部半径　

r………………圆台的上表面的内部半径

……………易拉罐底部球冠所在球的半径

h………………圆台的高度

……………易拉罐底部球冠的高度

H………………易拉罐上表面到下表面总的内部高度

a………………顶盖的厚度

b………………侧壁的厚度

c………………下底的厚度

S………………易拉罐的总的表面积

………………易拉罐的内部容积

V………………材料的体积

5模型的建立与求解

5.1关于问题2的模型建立与求解

在问题2中,我们把易拉罐近似看作一个正圆柱体，此易拉罐的中心纵断面如图二所示.

5.1.1 

不考虑材料的厚度的情况

欲使材料最省只需使表面积S最小，建立如下数学模型：

min…………………①

…………②

求表面积S在条件②下的最小值,我们把②变形后代入①,消去H，设R为自变量,

S为因变量。

求的最小值即可。

根据参考文献[4]，由公式得 

……………③ 

可以求得极值点：

代入①得

所以，高与半径之比.这个值与我们实际测量的值比较接近，所以这种模型的建立有一定的合理性.实事上,为了加强罐体的抗挤压能力和稳定性，顶盖和底部的厚度要大于侧壁的厚度,那么考虑材料的厚度时，高与半径之比又是多少呢？

在考虑材料的厚度的情况下，易拉罐的中心纵断面如图三所示。

我们可以

取顶盖的厚度，

下底的厚度,

则顶盖材料体积为

下底的材料体积为

侧面的材料体积为

所用材料体积总体V：

并且满足 

因为,所以带的项可以忽略（极其重要的合理假设和简化）.因此,我们建立求材料体积最小值的数学模型：

从解得代入V,是原问题化为求H：

R的值以使V最小，即求R，使最小。

求极值点：

解得极值点：

把上述R的值代入可得　　

所以　　

根据实际测量的厚度值，，，可以得到，此比值与实际测的数值的比值更加接近，说明该模型更接近于最优设计。

5.2关于问题3的模型建立与求解

在实际生活中，易拉罐并不是一个正圆柱体，我们可以把它的上顶近似看作一个圆台，下部近似看作一个圆柱体，则我们得到易拉罐的中心纵断面如图一所示：

欲使材料最省，只需在容积固定时使罐体表面积最小即可,则我们可以建立关于表面积的数学模型为：

该模型的求解,我们使用拉格朗日乘数法，并借助于matlab软件根据参考文献[2],[3]进行计算，具体步骤：

symsRrhHl;

S=3.1416*r^2+3.1416*（R+r）*（h^2+（R-r）^2）^（1/2）+2*3.1416*R*（H-h）+

3.1416*R^2+l*（3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）-355）;

eq1=diff（S,R）;

eq2=diff（S,r）;

eq3=diff（S,h）;

eq4=diff（S,H）;

eq5=3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）-355;

Sov=solve（eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,'

R'

'

r'

h'

H'

l'

）;

disp（Sov）;

R=Sov.R,r=Sov.r,h=Sov.h,H=Sov.H 

得，R=4.034321

r=1.878264

h=2.563183

H=8.068642

经验证,只有上述解符合条件，是该情况下的最优解。

所以，当易拉罐由圆台与圆柱组成且不考虑材料厚度时，易拉罐的底面半径为R=4.034321，顶盖半径为r=1.878264，上部圆台高为h=2.563183，整个罐体高为H=8.068642，此时，易拉罐用材料最省。

从所得数据上来看，该模型与实际测量值还有较大差距，还需改进，为此我们考虑材料厚度，实事上,为了加强罐体的抗挤压能力和稳定性，顶盖和底部的厚度要大于侧壁的厚度,那么考虑材料的厚度时，罐体的尺寸又是多少呢？

通常顶盖和底部的厚度要大于侧壁的厚度，则欲使材料最省，需在容积固定不变时，使所用材料的体积最小。

圆台侧壁的体积:

圆柱侧壁部分的体积：

顶盖和底面的体积为：

所以易拉罐材料的总体积为：

我们可以建立关于材料体积的数学模型：

该模型的求解,取，我们使用拉格朗日乘数法，并借助于matlab软件进行计算，具体步骤：

V=4*3.1416*R^2+3*3.1416*r^2+3.1416*（h*r+H*R-h*R）

+l*（3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）-355）;

eq1=diff（V,R）;

eq2=diff（v,r）;

eq3=diff（V,h）;

eq4=diff（V,H）;

R=Sov.R

r=Sov.r

h=Sov.h

H=Sov.H

得, 

H=12.284,

h=1.2701

R=3.2765

r=2.9285

只有上述解符合条件，是该情况下的最优解。

所以，当易拉罐由圆台与圆柱组成且考虑材料厚度时，易拉罐的底面半径为R=3.2765，顶盖半径为r=2.9285，上部圆台高为h=1.270，整个罐体高为H=12.284，此时，易拉罐用材料最省。

从所得数据上来看，该模型与实际测量值还有较小的差别,所以此模型比较符合实际,我们可以把易拉罐的实体抽象为此模型.

5.3关于问题4的模型建立与求解

实际上，饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体。

（程序与图形出自参考文献[9]）

my={AbsoluteThickness[2],Line[{{2.3,0.4},{2.3,0},{2.7,0},

{2.7,0.8},{3.3,0.8},{3.3,11},{3,12},{3,12.4},{2.7,0},{-3,12},

{-3,12.4},{-3,12},{-3.3,11},{-3.3,0.8},{-2.7,0.8},{-2.7,0},

{-2.3,0},{-2.3,0.4}}]}

mygrapg=Show[Graphic[my],AxesLabel->

{x,y},

AspectRatio->

Automatic,PlotRange->

{0,12.4}] 

图四

考虑到实际情况,为了使易拉罐更牢固、更美观、更稳定，同时为了易于易拉罐的码放。

我们可以把易拉罐看成三部分，第一部分是一个圆台,第二部分是一个圆柱,第三部分是一个球面.则我们得到易拉罐的中心纵断面如图五所示：

不考虑材料厚度时，只需让罐体表面积最小即可，我们可以建立以下的数学模型，

该模型的求解,我们使用拉格朗日乘数法，并借助于matlab软件进行计算，具体步骤：

V=2*3.1416*R*（H-h）+2*3.1416*R*+3.1416*（r+R）*[（R-r）^2+h^2]^（1/2）

+3.1416*r^2+l*（3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）

-（3*-）/（3*3.1416）-355）;

eq5=diff（V,）

eq6=diff（V,）

eq5=3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*（H-h）

R=Sov.R 

r=Sov.r

h=Sov.h 

H=Sov.H

=Sov.

=Sov.

我们可以得到，H=12.2915 

h=1.1925 

R=3.3045 

r=2.9918=0.9790

=5.7551为可行解。

这组解所得到的数据与实际测量值的存在一定差别，但此模型已进一步符合了实际。

考虑到顶盖和底部厚度达于侧面厚度，要是材料最省，需得使得材料体积最小。

顶盖材料体积为

圆柱侧面的材料体积为

圆台侧面的材料体积:

球缺的体积:

材料的总体积

++-

因此我们可以建立关于材料体积的数学模型：

该模型的求解,我们使用拉格朗日乘数法，并借助于matlab软件进行计算，具体步骤：

V=3.1416*R*（H-h）+2*3.1416*R*+3.1416*（r+R）*[（R-r）^2+h^2]^（1/2）

求解得，H=12.3140, 

=5.3470 

=1.1422 

h=1.1718

R=3.3052 

r=3.0011

该组解与实际测量值非常接近，说明该设计是最优的。

6 

模型的评价与改进

上述模型的建立从考虑材料厚度和不考虑厚度两方面着手，不考虑材料厚度的模型显然不够好，与实际相差较大，考虑厚度的模型更接近于实际。

本文的优点：

1、本文根据问题要求，利用优化的思想，一步一步地讨论了模型的建立情况，使所建立的模型极大地趋近于实体。

2、 

本文综合考虑了影响易拉罐用料量的各种因素。

本文的缺点：

1、对于模型中出现的实际的复杂问题作了很多简化，最终得到的数值与所测数值有偏差。

2、测量易拉罐的数据有误差

易拉罐的设计主要考虑的方面有；

1、尺寸比例的经济性及科学性；

2、人体工学；

3、力学性质；

4、易拉罐内部留有的空余部分；

５、放置时运输时的稳定性。

我们的模型中第1、3、5、方面已考虑到，与改进模型需进一步考虑2、4、方面。

第三方面也可进一步考虑。

根据参考文献[8]，罐底球面的强度取决于以下几个因素：

材料的弹性模量、底部直径、材料的强度、球面半径。

材料愈薄，强度愈低，因此轻量化技术要求减少罐底直径及设计特殊的罐底形状。

工艺试验表明，罐底沟外壁夹角若大于40°

，将大大减小罐底耐压。

凸模圆弧R不能小于3倍的料厚。

但R太大，将会减小强度。

球面和罐底沟内壁圆弧R1，至少为3倍料厚，减小罐底沟内壁夹角，将增加强度，生产中大多数采用10°

以下。

7结束语

数学模型，简单