概率统计试题及答案docWord格式.docx
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则条件概率
P{X
3|Y2}
2/5.
4
8
12
A10、设X1,
X12来自正态总体N（0,1）,
Xi
Xi,当常数k=
i1
i5
i9
1/4时，kY服从
2分布。
A二、计算题（每小题
10分，共70分）
A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为，，，求：
（1）没有一台机器要看管的概率
（2）至少有一台机器不要看管的概率
（3）至多一台机器要看管的概率
解：
以A表示“第j
台机器需要人看管”，j=1，2，3，则:
j
P
A2
PA3
由各台机器间的相互独立性可得
PA1
）=,
（
1P
A1A2A3
A1
A2PA3
0.9
0.8
0.85
0.612
2P
A3
PA1A2A3
0.1
0.2
0.15
0.997
3PA1A2A3UA1A2A3UA1A2A3UA1A2A3
PA1A2A3PA1A2A3PA1A2A3PA1A2A3
0.10.80.850.90.20.850.90.80.150.90.80.85
0.0680.1530.1080.6120.941
A2、甲袋中有n只白球、m只红球；
乙袋中有N只白球、M只红球。
今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。
问此球为白球的概率是多少？
以W甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”，W乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”，
则所求概率为
PW乙
PW甲W乙UR甲W乙
PW甲W乙
PR甲W乙
PW甲PW乙W甲
PR甲PW乙R甲
C1
C
C1
n
N1
m
N
Cn1
mC1NM1Cn1
mC1NM1
nN
mN
mN
M1
nm
、设随机变量X的概率密度为
Acosx,
|x|
试求（）常数A
f（x）
;
其它
（2）分布函数F（x）;
（3）
概率P{0X
}。
（1）由归一性可得：
1
f
xdx
2Acosxdx
2A，从而
A
x
xdx,
0,
1sinx
2.Fx
1,
1,
3.P{0X
}
41cosxdx
A4、
（1）已知X的分布律为
-1012
1111
126312
计算D（12X2）。
（5分）
D（12X2）
4DX2
4E
X4
E
X2
4115
225
235
16
（2）、设X~N（0,1），求Y
X2的概率密度.（5分）
y
e2,
Y的密度函数为：
f（y）
A5、设（X,Y）的概率密度为f（x,y）
e（xy）,
0,y
0.
（1）试求分布函数F（x,y）；
（2）
求概率P（x,y）
G其中区域G由X轴,
Y轴以及直线x
1所围成.
y）dxdy,x
解:
1.F
x,y
dxdy
e（x
其他
ex
1ey
1,x0,y0
2.P
（x,y）G
x,ydxdy
（x
y）dydx
2e1
G
A6、设二维随机变量（X,Y）的概率密度为f（x,y）
k（1
x）,
求常数k及边缘概
率密度.并讨论随机变量X,Y的相互独立性。
由归一性知：
f（x,y）dxdy
k1
x1
k
dy
1k
dx
6
6x1
，
fXx
f（x,y）dy
6y
1xdx，
0y1
fYy
f（x,y）dx
3y-1，0y1
0，
显然f（x,y）fXxfYy，故X与Y不相互独立。
A7、设总体X的概率密度为f（x）x,0x1,其中0为未知参数.若
1,其它
X1,,Xn是来自母体的简单子样，试求
的矩估计与极大似然估计.
（1）令
EX
1dx
解得的矩估计为
?
（2）似然函数
L
xi
对数似然函数
lnL
lnxi
ln
i
令
lnxi0
解得
的极大似然估计为
n2
A三、证明题（每题
5分，共10分）
A1、X1,X2为来自总体X的样本，证明当ab1时，aX1
bX2为总体均值E（X）的无
偏估计。
证明：
设总体均值E（X）=μ，由于X1,X2为来自总体X的样本，
因此
EX1
EX2
而aX1bX2为总体均值E（X）的无偏估计，故应该有
EaX1
bX2
aEX1
bEX2
ab
从而
A2、设X,Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为
2的泊松分布，证明
ZXY服从参数为
2的泊松分布。
由题知
X~P1
Y~P
，即P
Xm
1,PYn
22
令Z
XY，且由X,Y的相互独立性可得：
m!
n!
PZkPXYk
ki
PXi,Yki
e1
1e2
!
m0
i!
e1e2
k!
k0,1,...
i0i!
k
即Z
XY服从参数为
2的泊松分布
B一、填空（每小题
2分，共10分）
B1.若随机变量的概率分布为
，，则__________。
B2.设随机变量，且，则__________。
B3.设随机变量,则__________。
B4.设随机变量，则__________。
B5.若随机变量的概率分布为
则__________。
B二、单项选择（每题的四个选项中只有一个是正确答案，
请将正确答案的番号填在括号内。
每小题2分，共20分）
B1.
设与分别是两个随机变量的分布函数，为使
是某一随机变量的分布函数，在下
列给定的各组数值中应取（
）。
（A）
（B）
D
）
B2.
设随机变量的概率密度为，则（
B3.下列函数为随机变量分布密度的是
（）
B）
（C）（D）
B4.下列函数为随机变量分布密度的是（）。
（）
B5.
设随机变量的概率密度为，，则的概率密度为（
B
B6.
设服从二项分布，则（
B7.
设，则（
B8．设随机变量的分布密度为
则（
（）2
（）1/2
B9．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（
二项分布
指数分布
正态分布
泊松分布
B10．设为服从正态分布的随机变量，则（）
9
-3
B三、计算与应用题（每小题
8分，共64分）
盒内有12个乒乓球，其中
9个是新球，3个是旧球。
采取不放回抽取，每次取一个，
直到取到新球为止。
求抽取次数的概率分布。
B2.车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。
求
（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？
（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？
B3.某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为
求
（1）常数；
（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。
B4.某种电池的寿命（单位：
小时）是一个随机变量，且。
求
（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；
（2），使电池寿命在内的概率不小于。
B5.设随机变量。
求概率密度。
B6.若随机变量服从泊松分布，即，且知。
求。
B7.设随机变量的概率密度为。
求和。
B8.一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。
以表示该
汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
求
（1）的概率分布；
（2）。
B四、证明题（共6分）
设随机变量服从参数为2的指数分布。
在区间上，服从均匀分布。
试卷二
参考答案
一、填空
1.6
由概率分布的性质有
即，
得。
2.
，则
3.
4.
5.
由题设，可设
即
01
则
二、单项选择
1.（）
由分布函数的性质，知
则，经验证只有满足，选
2.（）
由概率密度的性质，有
3.（）
4.（）
由密度函数的性质，有
5.（）
是单减函数，其反函数为，求导数得
由公式，的密度为
6.（）
由已知服从二项分布，则
又由方差的性质知,
7.（）
于是
8.（A）由正态分布密度的定义,有
9.（D）
∴如果时,只能选择泊松分布.
10.（D）
∵X为服从正态分布N（-1,2）,EX=-1
∴E（2X-1）=-3
三、计算与应用题
1.解：
设为抽取的次数
只有个旧球,所以的可能取值为：
由古典概型，有
1234
2.解：
设表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，，于是
（1）的最可能值为，即概率达到最大的
3.解：
（1）由可得
（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作”，则
而
故
4.解：
（1）
（查正态分布表）
（2）由题意
即查表得。
5.解:
对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，
又由题设知
故由公式知：
6.解:
由题设知
可得
查泊松分布表得，
7.解:
由数学期望的定义知,
8.解:
（1）的可能取值为且由题意,可得
0123
（2）由离散型随机变量函
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