动态规划与回溯法解决01背包问题文档格式.docx
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capacity；
d）
定义V（i,j）：
当前背包容量j，前i个物品最佳组合对应的价值；
e）最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：
不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：
假设（X1，X2，…，Xn）是01背包问题的最优解，则有（X2，X3，…，Xn）是其子问题的最优解，
假设（Y2，Y3，…，Yn）是上述问题的子问题最优解，则理应有（V2Y2+V3Y3+…+VnYn）+V1X1
>
（V2X2+V3X3+…+VnXn）+V1X1；
而（V2X2+V3X3+…+VnXn）+V1X1=（V1X1+V2X2+…+VnXn），则有（V2Y2+V3Y3+…+VnYn）+V1X1
（V1X1+V2X2+…+VnXn）；
该式子说明（X1，Y2，Y3，…，Yn）才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设（X1，X2，…，Xn）是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；
f）
寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：
第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V（i,j）=V（i-1,j）；
第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V（i,j）=max｛V（i-1,j），V（i-1,j-w（i））+v（i）｝
其中V（i-1,j）表示不装，V（i-1,j-w（i））+v（i）
表示装了第i个商品，背包容量减少w（i）但价值增加了v（i）；
由此可以得出递推关系式：
1）
j<
w（i）
V（i,j）=V（i-1,j）
2）
j>
=w（i）
V（i,j）=max｛
V（i-1,j），V（i-1,j-w（i））+v（i）
｝
四、构造最优解：
最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。
从i=1,j=c即m[1][c]开始。
1、对于m[i][j]，如果m[i][j]==m[i+1][j]，则物品i没有装入背包，否则物品i装入背包；
2、为了确定后继即物品i+1，应该寻找新的j值作为参照。
如果物品i已放入背包，则j=j-w[i]；
如果物品i未放入背包，则j=j。
3、重复上述两步判断后续物品i到物品n-1是否放入背包。
4、对于物品n，直接通过m[n][j]是否为0来判断物品n是否放入背包。
只要能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。
首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。
序号
Weight
Value
6
11
13
16
20
14
17
从表格中可以看出背包的最大价值value=20，即当X1=1，X2=0，X3=1，X4=1。
五、算法测试代码：
#include<
stdio.h>
stdlib.h>
iostream>
queue>
climits>
cstring>
usingnamespacestd;
constintc=8;
//背包的容量
constintw[]={0,3,5,2,1};
//物品的重量，其中0号位置不使用。
constintv[]={0,9,10,7,4};
//物品对应的待加，0号位置置为空。
constintn=sizeof（w）/sizeof（w[0]）-1;
//n为物品的个数
intx[n+1];
voidpackage0_1（intm[][11],constintw[],constintv[],constintn）//n代表物品的个数
{
//采用从底到顶的顺序来设置m[i][j]的值
//首先放w[n]
for（intj=0;
j<
=c;
j++）
if（j<
w[n]）m[n][j]=0;
//j小于w[n],所对应的值设为0，否则就为可以放置
elsem[n][j]=v[n];
//对剩下的n-1个物品进行放置。
inti;
for（i=n-1;
i>
=1;
i--）
w[i]）
m[i][j]=m[i+1][j];
//如果j<
w[i]则，当前位置就不能放置，它等于上一个位置的值。
//否则，就比较到底是放置之后的值大，还是不放置的值大，选择其中较大者。
else
m[i][j]=m[i+1][j]>
m[i+1][j-w[i]]+v[i]?
m[i+1][j]:
m[i+1][j-w[i]]+v[i];
}
voidanswer（intm[][11],constintn）
intj=c;
for（i=1;
i<
=n-1;
i++）
if（m[i][j]==m[i+1][j]）x[i]=0;
{
x[i]=1;
j=j-w[i];
}
x[n]=m[i][j]?
1:
0;
intmain（）
intm[6][11]={0};
package0_1（m,w,v,n）;
for（inti=0;
=5;
{
=10;
printf（"
%2d"
m[i][j]）;
cout<
<
endl;
answer（m,n）;
"
Thebestansweris:
\n"
;
for（inti=1;
x[i]<
system（"
pause"
）;
return0;
0-1背包回溯法解决问题
01背包属于找最优解问题，用回溯法需要构造解的子集树。
在搜索状态空间树时，只要左子节点是可一个可行结点，搜索就进入其左子树。
对于右子树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去。
上界函数bound（）:
当前价值cw+剩余容量可容纳的最大价值<
=当前最优价值bestp。
为了更好地计算和运用上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从大到小排序，此后就按照顺序考虑各个物品。
三、回溯法实现的过程：
根据问题的解空间，对于n=4时的0-1背包问题，可用一棵完全二叉树表示其解空间，如下图所示。
回溯过程：
从根节点A开始回溯，节点A是当前的唯一的活节点，在这个纵深方向先进入A的左子树B或者右子树C。
假设先选择节点B，此时，节点B成为当前的活节点，节点B成为当前扩展节点。
节点A到B选择w1=3,节点B背包剩余容量r=4,价值v=9,节点B到节点D，由于选择w2=5,此时背包容量r=4,背包容量不够，因而不可行，利用剪枝函数，减去以D为根节点的子树；
然后回溯到B的右节点E，此时，E节点的剩余容量r=4，v=9,选择w3=2,符合要求，节点E成为当前的扩展节点，进入节点J,此时，节点J的剩余容量r=2，v=16，选择w4=1,符合要求，到叶子节点T，此时，节点T的剩余容量r=1，v=20；
因此得到一个可行解，即x=（1,0,1,1），此时节点T成为一个死结点，回溯到节点U，得到一个可行解v=16,即x=（1,0,1,0）,节点U成为死结点，回溯到节点E,进入右子树，节点K的剩余容量r=4,v=9,选择w4=1，符合要求，到达节点V，v=13,得到一个可行解x=（1,0,0,1）,节点V成为死结点，回溯到节点K，到达叶子结点W，v=9得到一个可行解x=（1,0,0,0）。
按此方式继续搜索整个解的空间。
搜索结束后找到的最好解是0-1背包问题的最优解。
#include<
conio.h>
intn;
//物品数量
doublec;
//背包容量
doublev[100];
//各个物品的价值
doublew[100];
//各个物品的重量
doublecw=0.0;
//当前背包重量
doublecp=0.0;
//当前背包中物品价值
doublebestp=0.0;
//当前最优价值
doubleperp[100];
//单位物品价值排序后
intorder[100];
//物品编号
intput[100];
//设置是否装入
//按单位价值排序
voidknapsack（）
inti,j;
inttemporder=0;
doubletemp=0.0;
for（i=1;
i<
=n;
i++）
perp[i]=v[i]/w[i];
=n-1;
for（j=i+1;
j++）
if（perp[i]<
perp[j]）//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]
temp=perp[i];
perp[i]=perp[i];
perp[j]=temp;
temporder=order[i];
order[i]=order[j];
order[j]=temporder;
temp=v[i];
v[i]=v[j];
v[j]=temp;
temp=w[i];
w[i]=w[j];
w[j]=temp;
//回溯函数
voidbacktrack（inti）
doublebound（inti）;
if（i>
n）
bestp=cp;
return;
if（cw+w[i]<
=c）
cw+=w[i];
cp+=v[i];
put[i]=1;
backtrack（i+1）;
cw-=w[i];
cp-=v[i];
if（bound（i+1）>
bestp）//符合条件搜索右子数
//计算上界函数
doublebound（inti）
doubleleftw=c-cw;
doubleb=cp;
while（i<
=n&
&
w[i]<
=leftw）
leftw-=w[i];
b+=v[i];
i++;
if（i<
=n）
b+=v[i]/w[i]*leftw;
returnb;
inti;
printf（"
请输入物品的数量和容量：
"
scanf（"
%d%lf"
&
n,&
c）;
请输入物品的重量和价值：
第%d个物品的重量：
i）;
%lf"
w[i]）;
价值是：
v[i]）;
order[i]=i;
knapsack（）;
backtrack
（1）;
最有价值为：
%lf\n"
bestp）;
需要装入的物品编号是：
if（put[i]==1）
%d"
order[i]）;
return0;
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