数学宁夏石嘴山市平罗中学届高三第四次模拟试题理.docx
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数学宁夏石嘴山市平罗中学届高三第四次模拟试题理
宁夏石嘴山市平罗中学2018届高三第四次（5月）模拟
数学试题（理）
一、选择题
1．已知,,则（）
A.B.
C.D.
2.为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（）
A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限
3.某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：
小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）
A．68B．72C．76D．80
4．我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：
“今有女子善织，日自倍五日织五尺，问
日织几何？
”意思是：
“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共
织布5尺，问这女子每天分别织布多少？
”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数
为（）
A．B．C．D．
5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）
A2BC.D.
6.函数的图象大致是（）
ABCD
7.从标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽
到卡片是奇数的情况下，第二次抽到卡片是偶数的概率为（）
A．B．C．D．
8．已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民.若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（）
A.甲是军人，乙是工人，丙是农民
B.甲是农民，乙是军人，丙是工人
C.甲是农民，乙是工人，丙是军人
D.甲是工人，乙是农民，丙是军人
9.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为（）
A． B． C． D．
10.已知函数，若将函数的图象向右平移个单位
后关于轴对称，则下列结论中不正确的是（）
A. B.是图象的一个对称中心
C. D.是图象的一条对称轴
11.已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别
为,是双曲线的一条渐近线上的点，且,为坐标原点，若
，且双曲线的离心率相同，则双曲线的实轴长是（）
A.32B.4C.8D.16
12.已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数的取值范围是（）
A．B．C.D．.
二、填空题
13.已知与的夹角为，且与垂直，则实数
14.设实数满足约束条件则的最大值为．
15.设，则二项式展开式中的第项的系数为__________．
16.已知数列的前项和为,且,,时,,则
的通项公式．
三、简答题
17．如图，在圆内接四边形中，，，.
（1）求的大小；
（2）求面积的最大值.
18．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7
的人数，求的分布列和数学期望E（）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上．
（1）求证：
EF⊥平面PAC；
（2）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所
成的角相等，求的值．
20.已知为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于的动点，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆在点处的切线交于点，当点在椭圆上运动时，求证:
以为直径的圆与直线恒相切.
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，且，证明：
.
请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答。
注意：
只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．
（1）求的值及直线的普通方程；
（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．
23.选修4－5：
不等式选讲
设函数.
（I）当时，解不等式；
（II）若的解集为，（，），求证：
.
【参考答案】
1、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
D
B
D
A
B
C
D
A
二．填空题：
13.14.;15.-24;16.
17.解：
（1）在中，由余弦定理得
，
解得，
注意到，
可得.
（2）法1：
在中，由余弦定理得
，
即，
∵，
∴，即.
∴.
当且仅当，△BCD为等腰三角形时等号成立，
即面积的最大值为.
法2：
如图，当为弧中点时，上的高最大，此时是等腰三角形，易得，作上的高，
在中，由，，得，
可得，
综上知，即面积的最大值为.
18.
分布列如下
0
1
2
p
，即所求数学期望为1.
（Ⅲ）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大。
19.
（1）证明：
在平行四边形中，因为，，
所以．由分别为的中点，得，所以．
因为侧面底面，且，所以底面．
又因为底面，所以．
又因为，平面，平面，所以平面．
（2）解：
因为底面，，所以两两
垂直，以分别为、、，建立空间直角坐标系，则
，
所以，，，
设，则，
所以，，易得平面
的法向量．
设平面的法向量为，由，，得令，得．
因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，
所以，即，所以，
解得，或（舍）．综上所得：
20．解:
（1）由题意知知，由此能求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，得.，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、直线与圆相切等知识点结合已知条件能证明当点在椭圆上运动时，以为直径的圆与直线恒相切．
试题解析：
（1）设椭圆的方程为,
由题意知解之得,
故椭圆的方程为.
（2）证明：
设直线的方程为.
则点坐标为中点的坐标为.
由得.
设点的坐标为，则.
.
点坐标为,
当时，点的坐标为,直线轴，点的坐标为.
此时以为直径的圆与直线相切.
当时，则直线的斜率.
直线的方程为.
点E到直线的距离.
又因为.
故以为直径的圆与直线相切.
综上得，当点在椭圆上运动时，以为直径的圆与直径恒相切.
21．解：
（1），，
当时，，知在上是递减的；
当时，，知在上是递减的，在上递增的.
（2）由
（1）知，，，
依题意，即，
由得，，，，
由及得，，即，
欲证，只要，
注意到在上是递减的，且，
只要证明即可，
由得，
所以
，，
令，，
则，知在上是递增的，
于是，即，
综上，.
22.解：
（1）因为曲线的极坐标方程为，即，将，代入上式并化简得，所以曲线的直角坐标方程为，于是，，
直线的普通方程为，将代入直线方程得，所以直线的普通方程为．
（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．
23.（I）解：
当时，不等式化为
∵
∴不等式的解集为
（II）证明：
根据得
∵的解集为故，所以，
∵，
∴，
当且仅当，时取等号
∴.
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