精选中考数学专题复习专题七类比探究题训练.docx

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精选中考数学专题复习专题七类比探究题训练

专题七　类比探究题

类型一线段数量关系问题

（2018·河南）

（1）问题发现

如图①，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M.填空：

①的值为________；

②∠AMB的度数为________；

（2）类比探究

如图②，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在

（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

【分析】

（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC＝BD，比值为1；

②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理，得∠AMB＝180°－（∠DBO＋∠OAB＋∠ABD）＝180°－140°＝40°；

（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则＝＝，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；

（3）正确画出图形，当点C与点M重合时，有两种情况：

如解图①和②，同理可得△AOC∽△BOD，则∠AMB＝90°，＝，可得AC的长．

【自主解答】

解：

（1）问题发现

①1【解法提示】∵∠AOB＝∠COD＝40°，

∴∠COA＝∠DOB.

∵OC＝OD，OA＝OB，

∴△COA≌△DOB（SAS），

∴AC＝BD，

∴＝1.

②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB，

∴∠CAO＝∠DBO.

∵∠AOB＝40°，

∴∠OAB＋∠ABO＝140°，

在△AMB中，∠AMB＝180°－（∠CAO＋∠OAB＋∠ABD）＝180°－（∠DBO＋∠OAB＋∠ABD）＝180°－140°＝40°.

（2）类比探究

＝，∠AMB＝90°，理由如下：

在Rt△OCD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，

∴＝tan30°＝，

同理，得＝tan30°＝，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOC＝BOD，

∴△AOC∽△BOD，

∴＝＝，∠CAO＝∠DBO.

∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB－MBA＝180°－（∠DAB＋∠MBA＋∠OBD）＝180°－90°＝90°.

（3）拓展延伸

①点C与点M重合时，如解图①，

同理得△AOC∽△BOD，

∴∠AMB＝90°，＝，

设BD＝x，则AC＝x，

在Rt△COD中，

∵∠OCD＝30°，OD＝1，

∴CD＝2，

∴BC＝x－2.

在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝.

∴AB＝2OB＝2，

在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，

即（x）2＋（x－2）2＝

（2）2，

解得x1＝3，x2＝－2（舍去），

∴AC＝3；

②点C与点M重合时，如解图②，同理得：

∠AMB＝90°，＝，

设BD＝x，则AC＝x，

在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，

即（x）2＋（x＋2）2＝

（2）2

解得x1＝－3，解得x2＝2（舍去）．

∴AC＝2.

综上所述，AC的长为3或2.

图①

图②

例1题解图

1．（2016·河南）

（1）发现

如图①，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.

填空：

当点A位于________________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为__________（用含a，b的式子表示）．

（2）应用

点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图②所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值．

（3）拓展

如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

2．（2015·河南）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

（1）问题发现

①当α＝0°时，＝____；

②当α＝180°时，＝____；

（2）拓展探究

试判断：

当0°≤α<360°时，的大小有无变化？

请仅就图②的情形给出证明．

（3）解决问题

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

3．（2014·河南）

（1）问题发现

如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.

填空：

①∠AEB的度数为__________；

②线段AD，BE之间的数量关系为______________．

（2）拓展探究

如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图③，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．

4．（2018·南阳二模）在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC.

（1）操作发现

若AB＝AC，∠BAC＝90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是______________，______________；

（2）猜想论证

在

（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断

（1）中结论是否成立，并证明你的判断．

（3）拓展延伸

如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：

当锐角∠ACB等于________度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C，E重合除外）？

此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC＝3时，请直接写出线段CF的长的最大值是____．

5．已知，如图①，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形（其顶点B，E重合），∠BAC＝∠AED＝90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.

（1）问题发现

①如图①，＝_______；

②将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图②，＝_______；

（2）类比延伸

将图①中△AED绕点A逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出的值，并说明理由．

（3）拓展探究

将图①中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD＝，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长．

类型二图形面积关系问题

（2017·河南）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想

图①中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；

（2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE绕A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

图①

图②

例2题图

【分析】

（1）利用三角形的中位线定理得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE，继而得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；

（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同

（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同

（1）的方法即可得出结论；

（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM＋AN，最后用面积公式即可得出结论．

【自主解答】

解：

（1）∵点P，N是BC，CD的中点，

∴PN∥BD，PN＝BD.

∵点P，M是CD，DE的中点，

∴PM∥CE，PM＝CE.

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BD＝CE，

∴PM＝PN.

∵PN∥BD，

∴∠DPN＝∠ADC，

∵PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCA.

∵∠BAC＝90°，

∴∠ADC＋∠ACD＝90°，

∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，

∴PM⊥PN，

（2）由旋转知，∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.

同

（1）的方法，利用三角形的中位线定理，得PN＝BD，

PM＝CE，

∴PM＝PN，

∴△PMN是等腰三角形，

同

（1）的方法得，PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCE，

同

（1）的方法得，PN∥BD，

∴∠PNC＝∠DBC.

∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，

∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC.

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACB＋∠ABC＝90°，

∴∠MPN＝90°，

∴△PMN是等腰直角三角形，

例2题解图

（3）如解图，同

（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，

∴当MN最大时，△PMN的面积最大，

∴DE∥BC且DE在顶点A上面，

∴MN最大＝AM＋AN，

连接AM，AN，

在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，

∴AM＝2，

在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，

∴MN最大＝2＋5＝7，

∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝.

1．（2013·河南）如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.

（1）操作发现

如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是______________；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是______________．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E（如图④）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

2．已知Rt△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，将∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于E，F.当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时，如图①所示，试证明S△DEF＋S△CEF＝S△ABC.

（1）当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？

若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由．

（2）直接写出图③中，S△DEF，S△CEF与S△ABC之间的数量关系．

3．（2018·郑州模拟）如图①所示，将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置，连接DE，BG.

（1）图中∠DCE＋∠BCG＝__________°；设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，则S1与S2的数量关系为______________；