工业机器人运动学Word下载.docx
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所以常用于解决工业机器人运动学问题。
下面我们先介绍有关齐次坐标和齐次变换的内容。
2.2.1点的位置描述
如图2-1所示，在选定的三维空间直角坐标系{A}中，空间任一点P的坐标可以用一个（3×
1）列阵（或称三维列向量）Ap表示，即：
（2-1）
式中：
X，y，z是点P在坐标系{A}中的三个坐标分量；
Ap的左上标A代表选定的参考坐标系。
2.2.2齐次坐标
如果用四个数组成的（4×
1）列阵（或称四维列向量）表示三维空间直角坐标系{A}中的点P，即：
（2-2）
则定义列阵[xyz1]T为三维空间点P的齐次坐标。
必须注意，齐次坐标的表示不是唯一的。
如果将列阵p中的元素同乘一非零系数w后，仍然代表同一点P，即：
（2-3）
x＝a/w，y＝b/w，z＝c/w。
2.2.3坐标轴的描述
如图2-2所示，i、j、k分别是直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位矢量，若用齐次坐标来描述X、Y、Z轴，则定义下面三个（4×
1）列阵分别为单位矢量i、j、k（即X、Y、Z坐标轴）的方向列阵。
i＝[1000]T
j＝[0100]T
k＝[0010]T
图2-2中所示矢量v的单位矢量h的方向列阵为：
h＝[abc0]T＝[cosαcosβcosγ0]T（2-4）
式中，α、β、γ分别是矢量v与坐标轴X、Y、Z的夹角，0︒≤α≤180︒，0︒≤β≤180︒，0︒≤γ≤180︒。
cosα、cosβ、cosγ称为矢量v的方向余弦，且满足cos2α+cos2β+cos2γ＝1。
综上所述，可得下面两点结论：
1）（4×
1）列阵[abcw]T中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置；
2）（4×
1）列阵[abc0]T中第四个元素为零，且a2+b2+c2＝1，则表示某个坐标轴（或某个矢量）的方向，[abc0]T称为该矢量的方向列阵。
表示坐标原点的（4×
1）列阵定义为：
o＝[000α]Tα≠0
[例2-l]用齐次坐标分别写出图2-3中矢量u、v、w的方向列阵。
解：
矢量u：
u＝[cosαcosβcosγ0]T＝[0.00.70710.70710]T
矢量v：
v＝[cosαcosβcosγ0]T＝[0.70710.00.70710]T
矢量w：
w＝[cosαcosβcosγ0]T＝[0.50.50.70710]T
2.2.4动坐标系位姿的描述
对动坐标系位姿的描述就是相对固定坐标系对动坐标系原点位置的描述以及对动坐标系三个坐标轴方向的描述，现以两个实例说明。
1）刚体位姿的描述
组成工业机器人的每一个连杆都可以看作是一个刚体。
若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空间的姿态，则这个刚体在空间上是完全确定的。
设有一刚体Q，如图2-4所示，在刚体上选任一点O'
，建立与刚体固连的坐标系O'
X'
Y'
Z'
，称为动坐标系。
O'
点在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐标形式的（4×
1）列阵表示为：
（2-5）
刚体姿态可用动坐标系三个坐标轴的方向来表示。
令n、o、a分别为X'
、Y'
、Z'
坐标轴的单位方向矢量，每个单位方向矢量在固定坐标系上的分量为动坐标系该坐标轴的方向余弦，用齐次坐标列阵分别表示为：
n＝[ixiyiz0]T＝[cosαX'
cosβX'
cosγX'
0]T
o＝[oxoyoz0]T＝[cosαY'
cosβY'
cosγY'
0]T（2-6）
a＝[axayaz0]T＝[cosαZ'
cosβZ'
cosγZ'
αX'
、αY'
、αZ'
分别为X'
坐标轴与X坐标轴的夹角；
βX'
、βY'
、βZ'
坐标轴与Y坐标轴的夹角；
γX'
、γY'
、γZ'
坐标轴与Z坐标轴的夹角。
因此，图2-4中刚体的位姿可用下面的（4×
4）矩阵来描述：
（2-7）
很明显，对刚体Q位姿的描述就是对固连于刚体Q的坐标系O'
位姿的描述。
[例2-2]图2-5表示固连于刚体的坐标系{B}位于OB点，xb＝10，yb＝6，zb＝0。
ZB轴和ZA轴与纸面垂直，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30︒的偏转，试写出表示刚体位姿的坐标系{B}的（4×
4）矩阵表达式。
XB的方向列阵：
n＝[cos30︒cos60︒cos90︒0]T＝[0.8660.50.00]T
YB的方向列阵：
o＝[cos120︒cos30︒cos90︒0]T＝[-0.50.8660.00]T
ZB的方向列阵：
a＝[cos90︒cos90︒cos0︒0]T＝[0.00.01.00]T
坐标系{B}的位置列阵：
p＝[10.06.00.01]T
所以，坐标系{B}的（4×
4）矩阵表达式为：
2）手部位姿的表示
工业机器人手部的位姿也可以用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示，如图2-6所示。
坐标系{B}可以这样来确定：
取手部的中心点OB为原点；
关节轴为ZB轴，ZB轴的单位方向矢量a称为接近矢量，指向朝外；
两个手指的连线为YB轴，指向可任意选定，YB轴的单位方向矢量o称为姿态矢量；
XB轴与YB轴及ZB轴垂直，XB轴的单位方向矢量n称为法向矢量，且n＝o×
a，指向符合右手法则。
手部的位置矢量为固定坐标系原点指向手部坐标系{B}原点的矢量p，手部的方向矢量为n、o、a。
于是，手部的位姿可用（4×
4）矩阵表示为：
（2-8）
[例2-3]图2-7表示手部抓握物体Q，物体为边长2个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵式。
解：
因为物体Q的形心与手部坐标系O'
的坐标原点O'
重合，固定坐标系原点O为正立方体的后下方左侧顶点，所以手部位置的（4×
1）列阵为：
p＝[1111]T
设n、o、a为手部坐标系三个坐标轴的单位方向矢量，由图2-7可知：
矢量n的方向角为：
＝90︒βX'
＝180︒γX'
＝90︒
矢量o的方向角为：
αY'
＝180︒βY'
＝90︒γY'
矢量a的方向角为：
αZ'
＝90︒βZ'
＝90︒γZ'
＝180︒
于是有：
n＝[cosαX'
cosβX'
0]T＝[0-100]T
o＝[cosαY'
cosβY'
0]T＝[-1000]T
a＝[cosαZ'
cosβZ'
0]T＝[00-10]T
根据式（2-8）可知，表达该手部位姿的矩阵式为：
2.2.5目标物的齐次矩阵表示
设有一楔块Q如图2-8所示，坐标系OXYZ为固定坐标系，坐标系O'
为与楔块Q固连的动坐标系。
在图（a）情况下，动坐标系O'
与固定坐标系OXYZ重合。
楔块Q的位置和姿态可用6个点的齐次坐标来描述，在图（a）情况下，其矩阵表达式为：
若让楔块Q先绕Z轴旋转90︒，再绕Y轴旋转90︒，最后沿X轴方向平移4，则楔块成为图（b）之情况。
此时楔块用新的6个点的齐次坐标来描述它的位置和姿态，其矩阵表达式为：
这个矩阵是根据图2-8（b）直接写出来的，后面讲完齐次变换以后将会知道，这个矩阵可以由图2-8（a）对应的矩阵计算得到，见[例2-7]。
2.3齐次变换及运算
刚体的运动是由转动和平移组成的。
为了能用同一矩阵表示转动和平移，有必要引入（4×
4）的齐次坐标变换矩阵。
2.3.1平移的齐次变换
我们首先介绍点在空间直角坐标系中的平移。
如图2-9所示，空间某一点A的坐标为（x，y，z），当它平移至A'
点后，坐标为（x'
，y'
，z'
），且有：
x'
＝x+∆x
y'
＝y+∆y（2-9）
z'
＝z+∆z
或写成如下矩阵形式：
也可以简写为：
a'
＝Trans（∆x，∆y，∆z）⋅a（2-10）
式中，Trans（∆x，∆y，∆z）表示齐次坐标变换的平移算子，且：
（2-11）
其中，第四列元素∆x，∆y，∆z分别表示沿坐标轴X，Y，Z的移动量。
齐次坐标变换的运算规则：
若算子左乘，表示坐标变换是相对固定坐标系进行的；
假如相对动坐标系进行坐标变换，则算子应该右乘。
平移齐次变换公式（2-10）同样适用于坐标系、物体等的变换，这时最右端为一个（4×
n）的矩阵。
对于坐标系的变换，n=4；
对于物体的变换，n=描述物体的顶点个数。
[例2-4]图2-10中有下面三种情况：
1）动坐标系{A}相对于固定坐标系作（-1，2，2）平移后到{A'
}；
2）动坐标系{A}相对于自身坐标系（即动坐标系）作（-1，2，2）平移后到{A'
'
3）物体Q相对于固定坐标系作（2，6，0）平移后到Q'
。
已知：
试计算出坐标系{A'
}、{A'
}以及物体Q'
的矩阵表达式。
动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子均为：
{A'
}坐标系是动坐标系{A}相对于固定坐标系作平移变换得来的，变换算子应该左乘，因此，{A'
}的矩阵表达式为：
从这个（4×
4）的矩阵可以看出，O'
在O0X0Y0Z0坐标系中的坐标为（0，3，3）。
}坐标系是动坐标系{A}相对于自身（动坐标系）作平移变换得来的，变换算子应该右乘，因此，{A'
在O0X0Y0Z0坐标系中的坐标为（-1，2，-1）。
物体Q的平移坐标变换算子为：
Q相对于固定坐标系做平移变换，变换算子应该左乘，因此，Q'
的矩阵表达式为：
经过平移变换后，坐标系{A'
的实际情况已图解在图2-10中了。
我们可以根据所作的移动，从图中分析出O'
在O0X0Y0Z0坐标系中的坐标。
因为坐标系{A}的原点为（1，1，1），当它沿X0轴反向移动1个单位后变为（1-1，1，1），再沿Y0轴正向移动2个单位后变为（0，1+2，1），最后再沿Z0轴正向移动2个单位后就变为（0，3，1+2），即（0，3，3）。
可见，上面计算的结果与此相符。
因为坐标系{A}的原点为（1，1，1），当它沿X轴反向（即沿Y0轴正向）移动1个单位后变为（1，1+1，1），再沿Y轴正向（即沿X0轴反向）移动2个单位后变为（1-2，2，1），最后再沿Z轴正向（即沿Z0轴反向）移动2个单位后就变为（-1，2，1-2），即（-1，2，-1）。
2.3.2旋转的齐次变换
首先我们介绍点在空间直角坐标系中的旋转。
如图2-11所示，空间某一点A，坐标为（x，y，z），当它绕Z轴旋转θ角后至A'
点，坐标为（x'
）。
A'
点和A点的坐标关系为：
（2-12）
或用矩阵表示为：
A'
点和A点的齐次坐标分别为[x'
y'
z'
1]T和[xyz1]T，因此A点的旋转齐次变换过程为：
（2-13）
也可简写为：
＝Rot（z，θ）⋅a（2-14）
式中，Rot（z，θ）表示齐次坐标变换时绕Z轴的旋转算子，算子的内容为：
（2-15）
cθ＝cosθ；
sθ＝sinθ。
同理，可写出绕X轴的旋转算子和绕Y轴的旋转算子，其内容为：
（2-16）
（2-17）
图2-12所示为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转θ角的情况。
kx，ky，kz分别为单位矢量k在固定坐标系坐标轴X、Y、Z上的三个分量（方向余弦），且kx2+ky2+kz2＝1。
可以证得，绕任意过原点的单位矢量k转θ角的旋转齐次变换公式为：
（2-18）
式中；
versθ＝（1-cosθ）。
式（2-18）称为一般旋转齐次变换的通式，绕X轴、Y轴、Z轴进行的旋转齐次变换是其特殊情况，例如：
当kx＝1，ky＝kz＝0时，即绕X轴旋转，则由式（2-18）可得到式（2-16）；
当ky＝1，kx＝kz＝0时，即绕Y轴旋转，则由式（2-18）可得到式（2-17）；
当kz＝1，kx＝ky＝0时，即绕Z轴旋转，则由式（2-18）可得到式（2-15）。
反之，若给出某个旋转齐次变换矩阵：
则可根据式（2-18）求出其等效转轴的单位矢量k及等效转角θ，计算公式为：
（2-19）
当θ取0︒到180︒之间的值时，式中的符号取+号。
当转角θ很小时，公式（2-19）很难确定转轴。
当θ接近0︒或180︒时，转轴完全不确定。
与平移变换一样，旋转变换算子公式（2-15）、（2-16）、（2-17）以及一般旋转变换算子公式（2-18），不仅适用于点的旋转变换，而且也适用于矢量、坐标系、物体等的旋转变换。
若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；
若相对动坐标系进行变换，则算于右乘。
[例2-5]已知坐标系中点U的位置矢量u＝[7321]T，将此点绕Z轴旋转90︒，再绕Y轴旋转90︒，如图2-13所示，求旋转变换后所得的点W。
[例2-6]如图2-14所示单臂操作手，手腕也具有一个自由度。
已知手部起始位姿矩阵为：
若手臂绕Z0轴旋转+90︒，则手部到达G2；
若手臂不动，仅手部绕手腕Z1轴旋转+90︒，则手部到达G3。
写出手部坐标系{G2}及{G3}的矩阵表达式。
手臂绕Z0轴转动是相对固定坐标系作旋转变换，所以，算子应该左乘，即：
手部绕手腕Z1轴旋转是相对动坐标系作旋转变换，所以，算子应该右乘，即：
讲课时对照图分析这两个矩阵。
2.3.3平移加旋转的齐次变换
平移变换算子和旋转变换算子可以组合在一个（4×
4）的矩阵中。
若例2-5中的点W还要作4i-3j+7k的平移，如图2-15所示，则只要再左乘上平移变换算子，即可得到最后E点的列阵表达式，即：
为平移加旋转的复合变换矩阵。
讲课时分析一下其组成特点。
[例2-7]图2-8所示的楔块Q，在图（a）情况下描述它的齐次矩阵为：
试证明楔块经过绕固定坐标系OXYZ的Z轴旋转90︒，再绕Y轴旋转90︒，最后沿X轴方向平移4后[见图2-8（b）]的齐次矩阵表达式为：
证明：
因为楔块从图（a）至图（b）的所有变换都是相对于固定坐标系OXYZ进行的，所以各坐标变换算子应该依次左乘，即：
即为楔块平移加旋转的复合变换矩阵。
证毕。
2.3.4旋量的概念
旋量Screw（k，r，ϕ）表示沿k轴移动r，并绕k轴转动ϕ角的综合齐次变换。
旋量Screw（k，r，ϕ）与移动和转动发生的先后次序无关，只要它们连续即可，即：
Screw（k，r，ϕ）＝Rot（k，ϕ）Trans（k，r）＝Trans（k，r）Rot（k，ϕ）（2-19a）
例如，沿Z轴移动r，并绕Z轴转动ϕ角的综合变换为：
c表示cos，s表示sin。
2.4工业机器人连杆参数及其齐次变换矩阵
工业机器人可以认为是一系列通过关节连接起来的连杆组成的开链机构（P5图1-4）。
手部相对固定坐标系的位姿与各连杆之间的相互关系直接相关。
因此，在研究手部相对于机座的几何关系时，首先要分析两个相邻连杆之间的关系，这种关系可以用固连于相邻连杆上的坐标系之间的关系来描述。
为此，我们首先必须建立连杆坐标系。
下面介绍一种由Denavit和Hartenberg提出的通用方法，即D—H法。
2.4.1连杆参数及连杆坐标系的建立
工业机器人相邻连杆之间的关系，与连杆自身的特征和连杆之间的连接方式有关。
因此，我们首先应该清楚如何对连杆的特征和连接方式进行描述。
一、连杆特征的描述
如图2-16所示，连杆i两端有关节i和i+1。
该连杆的特征可以用两个参数来描述：
一个是两个关节轴线沿公垂线的距离li，称为连杆长度；
另一个是在垂直于公垂线的平面内两个轴线的夹角αi，称为连杆扭角。
这两个参数为表述连杆特征的尺寸参数。
连杆长度li恒为非负数，但连杆扭角αi可正、可负。
αi的正负是这样规定的：
公垂线的正向规定为从关节i指向关节i+1，按右手法则从轴线i绕公垂线转至轴线i+1，逆时针为正，瞬时针为负。
两轴线平行时，αi＝0；
两轴线相交时，li＝0，此时扭角αi为两轴线的夹角，正负与Xi轴选向有关。
二、连杆连接方式的描述
如图2-17所示，连杆i与连杆i-1通过关节i相连，因此，关节i的轴线有两条公垂线与它垂直。
两条公垂线的相对位置可用两个参数di和θi来确定，其中di是沿关节i轴线测量的两个公垂线与i轴线交点的距离，当关节轴线相交时，di为i轴线上两交点的距离；
θi是在关节i轴线的垂直平面内两个公垂线的夹角，当公垂线不存在时，对旋转关节θi仍然存在。
di和θi是表达相邻连杆连接关系的参数。
di和θi都可正、可负（详见表2-1）。
这样，相邻两个连杆之间的关系可以由四个参数所描述：
其中两个参数（li和αi）描述连杆i的尺寸；
另外两个参数（di和θi）描述连杆i和连杆i-1之间的连接关系。
对于旋转关节，θi是关节变量，其它三个参数固定不变；
对于移动关节，di是关节变量，其它三个参数固定不变。
（对照图2-17解释，一个关节即为一个自由度）
三、连杆坐标系的建立
D-H法要求按下面规则建立连杆i的坐标系{i}（简称i系）：
1）坐标系{i}与连杆i固连。
Zi轴与关节i+1的轴线重合，指向任意；
Xi轴与连杆i的两个关节轴线的公垂线重合，方向从关节i指向关节i+1。
当li＝0时，取Xi＝±
Zi-1×
Zi，但Xi轴取向影响αi正负（图2-16）；
2）坐标系{i}的Yi轴按右手法则规定，即Yi＝Zi×
Xi；
3）坐标系{i}的原点Oi取在Xi和Zi的交点上。
当关节i的轴线与关节i+1的轴线相交时，原点Oi取在两轴线的交点上；
当关节i的轴线与关节i+1的轴线平行时，原点Oi取在使di＝0的地方。
（对照图2-17解释）
图2-17画出了坐标系{i-1}和{i}的设定位姿（为什么叫设定位姿）。
在建立连杆坐标系时，下面四点值得注意：
1）连杆坐标系的建立不是唯一的。
例如，虽然Zi轴与关节i+1的轴线重合，但Zi轴的指向有两种选择；
当Zi轴与Zi-1轴相交时，Xi轴的指向也有两种选择；
2）坐标系{i}也可以建立在关节i的轴线上，并使Zi轴与关节i的轴线重合；
3）建立不同的连杆坐标系，相应的连杆参数将会不同。
应使描述连杆i的四个参数中尽可能多地为零；
4）与机座固连的{0}系原则上可以任意规定，但是，为了方便计算，一般应将{0}系建立在连杆1的关节1的轴线上，并使{0}系与{1}系尽量靠近或重合（画极坐标型）。
现将连杆参数与坐标系的建立归纳为表2-1。
表2-1连杆参数及坐标系
连杆i的参数
名称
含义
正负号
性质
θi
转角
Xi-l轴绕Zi-l轴转至与Xi轴平行时的转角
按右手法则确定
转动关节为变量
移动关节为常量
di
距离
Xi-l轴沿Zi-l方向移动至与Xi轴相交时发生的位移
与Zi-l正向一致为正
转动关节为常量
移动关节为变量
li
长度
Zi-l轴沿Xi方向移动至与Zi轴相交时移动的距离
恒为非负数
常量
αi
扭角
Zi-l轴绕Xi轴转至与Zi轴平行时的转角
连杆i的坐标系OiXiYiZi
原点Oi
坐标轴Zi
坐标轴Xi
坐标轴Yi
位于连杆i两关节轴线之公垂线与关节i+1轴线的交点处
与关节i+1的轴线重合，方向任意确定
沿连杆i两关节轴线的公垂线，并指向i+1关节
按右手法则确定
2.4.2连杆坐标系之
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