北京大学附属中学河南分校宇华教育集团学年高一宏志班下学期期中考试数学试题解析版.docx
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北京大学附属中学河南分校宇华教育集团学年高一宏志班下学期期中考试数学试题解析版
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）.
1.命题“若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
2.“”是“直线与直线互相垂直”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.已知等差数列的前项和为，若，则等于（）
A．18B．36C．54D．72
4.中，分别是内角的对边，且，，则等于（）
A．B．C．D．
5.设，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．D．
6.已知点满足，点在圆上，则的最大值与最小值为（）
A．6，3B．6，2C．5，3D．5，2
7.已知，则的最小值是（）
A．2B．C．4D．
8.设，，为坐标原点，若三点共线，则的最小值是（）
A．2B．4C．8D．12
10.已知数列的通项为，我们把使乘积为整数的叫做“优数”，则在内的所有“优数”的和为（）
A．1024B．2003C．2026D．2048
11.设分别是椭圆的左、右焦点，已知点（其中为椭圆的半焦距），若线段的中垂线恰好过点，则椭圆离心率的值为（）
A．B．C．D．
12.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点，若，则等于（）
A．1B．C．D．2
二、填空题（本大题共4小，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13.已知条件，条件，则非是非的________条件．
14.双曲线上一点到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则点到左焦点的距离为________．
15.设数列的前项和为，对于所有，且，则_________．
16.已知线段的两个端点分别为为线段上不与端点重合的一个动点，则的最小值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.17题10分，18—22题，每题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知两个命题，如果对与有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围．
18.已知等比数列中，公比，设．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19.两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价如下表，怎样确定调动方案，使总的运费为最小？
最小费用为多少？
运价（万元/千吨）
到
到
到
从
4
56
7
从
5
2
4
20.西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销．在1年内，据测算年销售量（万双）与广告费（万元）之间的函数关系为，已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万元羊皮手套仍需再投入16万元．（年销售收入=年生产成本的150%+年广告费的50%）
（1）试将羊皮手套的年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数；
（2）当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？
（年利润=年销售收入-年广告费）
21.已知椭圆经过点，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点能否作出直线，使与椭圆交于两点，且以为直径的圆经过坐标原点？
若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
22.已知各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，均有.
（1）求常数的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）记，求数列的前项和．
参考答案
1.B
【解析】本题考查命题及其关系.原命题,则为真命题，所以其逆否命题为真命题；而它的逆命题,否命题为假命题；所以真命题的个数为2.选B.
【备注】牢记命题及其概念.
2.A
【解析】本题考查两直线垂直，充要条件.时，“直线与直线互相垂直”，充分性成立；若两直线垂直，则，必要性不成立；所以是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.选A.
【备注】理解充分性与必要性，牢记两直线垂直的充要条件.
3.D
【解析】本题考查等差数列的性质与求和.由题意得；所以====72.选D.
【备注】若，等差数列中.
4.D
【解析】本题考查正弦定理,诱导公式,二倍角公式.为Δ的内角，所以=，所以==0，解得，所以；由正弦定理得==.选D.
【备注】正弦定理：
.
5.C
【解析】∵，
∴，故A项不正确.
∵，，∴，，故B项不正确.由，可知，故D项不正确，故选C.
6.B
【解析】本题考查线性规划问题,距离公式.画出可行域（如图Δ所示）;由题意得圆心,半径r=1,，圆心到直线的距离，5；所以的最大值为=6,最小值为2.选B.
【备注】体会数形结合思想，牢记点到线的距离公式.
7.C
【解析】本题考查对数、指数运算,基本不等式.由题意得==,所以,=1;所以===4（当且仅当时等号成立）;即的最小值是4.选C.
【备注】注意均值不等式等号成立的条件.
8.C
【解析】本题考查向量共线，基本不等式.由题意得,;因为三点共线,所以,所以,即;所以===8（当且仅当时等号成立）.选C.
【备注】,，等价于.
9.A
【解析】本题考查椭圆的几何性质.在椭圆中,,,;所以为椭圆的右焦点,直线恒过椭圆的左焦点;由椭圆的几何意义可得==2a=4,所以的周长为+=8.选A.
【备注】椭圆中.
10.C
【解析】本题考查数列,对数运算,新定义问题.由题意得==;由题意得=,,,;所以所有优数的和==2026.选C.
【备注】理解概念,牢记等比数列的前n项和公式.
11.D
【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质.画出图形如图所示,;而线段的中垂线恰好过点,所以,所以;联立,解得,所以椭圆离心率.选D.
【备注】椭圆中,离心率.
12.B
【解析】本题考查平面向量的坐标运算，直线与圆锥曲线的位置关系.令,;因为,求得;而,令则所以右焦点;令的方程为,联立椭圆,消去可得=0;套用韦达定理可得，;而,联立解得,所以为,所以.选B.
【备注】体会化归与转化思想.
13.充分不必要
【解析】本题考查不等式,充要条件,命题及其关系.条件;条件;而是的充分不必要条件,所以非是非的充分不必要条件.
14.13
【解析】由a＝4，b＝3，得c＝5，设左焦点为，右焦点为，
则，
由双曲线的定义得.
15.2
【解析】本题考查数列的通项与求和.由题意得==;而,所以.
【备注】.
16.
【解析】本题考查基本不等式.因为在直线:
上,所以,可得;所以====（当且仅当时等号成立）;所以的最小值为.
【备注】注意基本不等式中等号成立的条件.
17.∵,
∴当是真命题时,.
又∵对为真命题,即恒成立,
有,∴.
当为真为假时同时或即,
当为假为真时且,
综上所述,的取值范围是或.
【解析】本题考查命题,三角恒等变换,不等式恒成立问题.是真命题时,;为真命题,;而与一真一假,所以或.
18.
（1）由题意知,解方程组,
∵,∴,∴;
∴.
（2）由
（1）知：
.
∴,①
②,
∴得
=,
∴.
【解析】本题考查数列的通项与求和.
（1）,解得;∴.
（2）由
（1）知;利用错位相减法求得.
【备注】掌握数列求和的常用方法“裂项相消法”、“错位相减法”.
19.设从到运千吨,则从到运千吨;
从到运千吨,则从到运千吨;
从到运千吨,从到运千吨,
则线性约束条件为,
线性目标函数为,
作出可行域,可观察出目标函数在点取到的最小值,即从到运8千吨,从到运6千吨,从到运4千吨,从到运2千吨,可使总的运费最少,此时.
【解析】本题考查线性规划问题在实际生活中的应用.由题意得线性约束条件为,线性目标函数为,作出可行域,可观察出目标函数在点取到的最小值.
【备注】将实际问题转化为数学模型是关键.
20.
（1）由题意知,羊皮手套的年成本为万元,
年销售收入为,
年利润,
即,又,
得,
（2）由,
当且仅当,即时,有最大值为21.5,
因此,当年广告费投入为4万元时,公司的年利润最大,最大利润为21.5万元.
【解析】本题考查函数模型及其应用,基本不等式.
（1）由题意知,
（2）,当且仅当时,有最大值为21.5.
【备注】将实际问题转化为数学模型是关键.
21.
（1）由已知,即,
所以,椭圆方程为,
将代入得：
解得,可知,
所以,椭圆的方程为.
（2）因为直线经过椭圆内的点,
所以直线与椭圆恒有两个不同的交点．
当直线的斜率不存在时,其方程是:
代入,得,
可知,所以以为直径的圆不经过坐标原点.
当直线的斜率存在时,
可设的方程为：
两交点
由,得,
因为,以为直径的圆经过坐标原点,所以.
可得=.
即,解得.
综上所述,存在过点的直线,使得以被椭圆截得的弦为直径的圆经过原点的方程为或.
【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.
（1）,且在椭圆上,联立方程解得,,所以,椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时,经验证不满足题意;当直线的斜率存在时,可设的方程为：
联立方程得,套用韦达定理得,=,即,解得.综上所述,的方程为或.
【备注】常考查直线与圆锥曲线的位置关系，椭圆、双曲线的标准方程，圆锥曲线中参数的求解.体会化归与转化思想，设而不求的思想.
22.
（1）由及,
得.
∴.
（2）由①
得②
由②①得,,
即.
∴.
由于数列各项均为正数,
∴,即.
∴数列是首项为1,公差为的等差数列,
∴数列的通项公式是.
（3）由,得：
.
∴.
∴,
.
【解析】本题考查数列的通项与求和.
（1）及得.
（2）,作差可得,∴数列是首项为1,公差为的等差数列,∴.（3）由,得,∴.错位相减可得.
【备注】掌握数列求和的常用方法“裂项相消法”、“错位相减法”.
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