高中数学第一章算法初步13算法案例教学案新人教A版必修3文档格式.docx
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C．6D．16
选C 486＝168×
2＋150,168＝150×
1＋18,150＝18×
8＋6,18＝3×
6，故168与486的最大公约数为6.
3．有关辗转相除法下列说法正确的是（ ）
A．它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法
B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至r<
n为止
C．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r（0≤r<
n），反复进行，直到r＝0为止
D．以上说法皆错
选C 辗转相除法和更相减损之术都是求最大公约数的方法，故A错，而C中0≤r<
n且除到r＝0为止，C对．B错，故选C.
4．已知多项式f（x）＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－
，用秦九韶算法求f（－2）等于（ ）
A．－
B.
C.
D．－
选A ∵f（x）＝（（（（4x＋3）x＋2）x－1）x－1）x－
，∴f（－2）＝－
.
求最大公约数
[典例] 求228与1995的最大公约数．
[解] 法一：
（辗转相除法）1995＝8×
228＋171,228＝1×
171＋57,171＝3×
57，
所以228与1995的最大公约数为57.
法二：
（更相减损术）1995－228＝1767,1767－228＝1539，
1539－228＝1311,1311－228＝1083，
1083－228＝855,855－228＝627，
627－228＝399,399－228＝171，
228－171＝57,171－57＝114，
114－57＝57.
辗转相除法计算次数少，步骤简捷，更相减损术计算次数多，步骤复杂，但是更相减损术每一步的计算都是减法，比做除法运算要简单一些，一般当数较小时可以考虑用更相减损术，当数较大时可以考虑用辗转相除法．
[活学活用]
用辗转相除法和更相减损术求1515与600的最大公约数，需要运算的次数分别为（ ）
A．4,15 B．5,14
C．5,13D．4,12
选B 辗转相除法：
1515＝600×
2＋315；
600＝315×
1＋285,315＝285×
1＋30,285＝30×
9＋15,30＝15×
2，故最大公约数为15，且需计算5次．用更相减损术：
1515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285，315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225，225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105，105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.故最大公约数为15，且需计算14次.
秦九韶算法的应用
[典例] 用秦九韶算法求多项式f（x）＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．
[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f（x）＝8x7＋5x6＋0·
x5＋3·
x4＋0·
x3＋0·
x2＋2x＋1＝（（（（（（8x＋5）x＋0）x＋3）x＋0）x＋0）x＋2）x＋1.
而x＝2，所以有
v0＝8，
v1＝8×
2＋5＝21，
v2＝21×
2＋0＝42，
v3＝42×
2＋3＝87，
v4＝87×
2＋0＝174，
v5＝174×
2＋0＝348，
v6＝348×
2＋2＝698，
v7＝698×
2＋1＝1397.
所以当x＝2时，多项式的值为1397.
应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题
（1）要正确将多项式的形式进行改写．
（2）计算应由内向外依次计算．
（3）当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．
用秦九韶算法写出当x＝3时，f（x）＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1的值．
解：
因为f（x）＝（（（（2x＋0）x－4）x＋3）x－5）x＋1，
v0＝2，v1＝2×
3＋0＝6，v2＝6×
3－4＝14，v3＝14×
3＋3＝45，v4＝45×
3－5＝130，v5＝130×
3＋1＝391，
所以f（3）＝391.
进位制
[典例]
（1）把二进制数101101
（2）化为十进制数为________．
（2）将十进制数458转化为四进制数为________．
（3）比较85（9）和210（6）的大小．
[解析]
（1）101101
（2）＝1×
25＋0×
24＋1×
23＋1×
22＋0×
21＋1×
20＝32＋8＋4＋1＝45，
所以二进制数101101
（2）转化为十进制的数为45.
（2）
所以458＝13022（4）．
答案：
（1）45
（2）13022（4）
（3）解：
因为85（9）＝5＋8×
9＝77，
210（6）＝0＋1×
6＋2×
62＝78，
而78>
77，所以210（6）>
85（9）．
十进制数转化为其他进制数的方法步骤
（1）将101111011
（2）转化为十进制的数；
（2）将235（7）转化为十进制的数；
（3）将137（10）转化为六进制的数；
（4）将53（8）转化为二进制的数．
（1）101111011
（2）＝1×
28＋0×
27＋1×
26＋1×
25＋1×
23＋0×
22＋1×
20＝379（10）．
（2）235（7）＝2×
72＋3×
71＋5×
70＝124（10）．
（3）
∴137（10）＝345（6）．
（4）53（8）＝5×
81＋3×
80＝43（10）．
∴53（8）＝101011
（2）．
[层级一 学业水平达标]
1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法运算的次数是（ ）
A．1 B．2
C．3D．4
选B 294＝84×
3＋42,84＝42×
2，故需要做2次除法运算．
2．三位四进制数中的最大数等于十进制数的（ ）
A．63B．83
C．189D．252
选A 三位四进制数中的最大数为333（4），则333（4）＝3×
42＋3×
41＋3＝63.
3．把389化为四进制数，则该数的末位是（ ）
A．1B．2
选A 由389＝4×
97＋1,97＝4×
24＋1,24＝4×
6＋0,6＝4×
1＋2,1＝4×
0＋1,389化为四进制数的末位是第一个除法代数式中的余数1.
4．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：
16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是（ ）
A．4B．12
C．16D．8
选A 根据更相减损术的方法判断．
[层级二 应试能力达标]
1．4830与3289的最大公约数为（ ）
A．23 B．35
C．11D．13
选A 4830＝1×
3289＋1541；
3289＝2×
1541＋207；
1541＝7×
207＋92；
207＝2×
92＋23；
92＝4×
23；
∴23是4830与3289的最大公约数．
2．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为（ ）
A．4B．3
C．5D．6
选B 120＝72×
1＋48，
72＝48×
1＋24，
48＝24×
2.
3．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为（ ）
A．4B．5
选B 459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．
4．下列各数，化为十进制后，最大的为（ ）
A．101010
（2）B．111（5）
C．32（8）D．54（6）
选A 101010
（2）＝1×
21＋0×
20＝42,111（5）＝1×
52＋1×
51＋1×
50＝31,32（8）＝3×
81＋2×
80＝26,54（6）＝5×
61＋4×
60＝34.
故转化为十进制后，最大的是101010
（2）．
5.阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时，框图中A处应填入________．
f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，
f（x）＝（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0.
f1＝an；
k＝1，f2＝f1x0＋an－1；
k＝2，f3＝f2x0＋an－2；
…；
归纳得第k次fk＋1＝fkx0＋an－k.故A处应填an－k.
an－k
6．三进制数2012（3）化为六进制数为abc（6），则a＋b＋c＝________.
2012（3）＝2×
33＋0×
32＋1×
31＋2×
30＝59.
三进制数2012（3）化为六进制数为135（6），∴a＋b＋c＝9.
9
7．三位七进制数表示的最大的十进制数是________．
最大的三位七进制数表示的十进制数最大，最大的三位七进制数为666（7），则666（7）＝6×
72＋6×
71＋6×
70＝342.
342
8．10x1
（2）＝y02（3），求数字x，y的值．
∵10x1
（2）＝1×
20＋x×
23＝9＋2x，
y02（3）＝2×
30＋y×
32＝9y＋2，∴9＋2x＝9y＋2且x∈
，y∈
，所以x＝1，y＝1.
9．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．
将f（x）改写为f（x）＝（（（（（x－12）x＋60）x－160）x＋240）x－192）x＋64，v0＝1，v1＝1×
2－12＝－10，v2＝－10×
2＋60＝40，v3＝40×
2－160＝－80，v4＝－80×
2＋240＝80，v5＝80×
2－192＝－32，v6＝－32×
2＋64＝0.所以f
（2）＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列关于赋值语句的说法错误的是（ ）
A．赋值语句先计算出赋值号右边的表达式的值
B．赋值语句是把左边变量的值赋给赋值号右边的表达式
C．赋值语句是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量
D．在算法语句中，赋值语句是最基本的语句
选B 赋值语句的一般格式是：
变量名＝表达式，其作用是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量，故B错误．
2．阅读如图所示的程序框图，下列说法正确的是（ ）
A．该框图只含有顺序结构、条件结构
B．该框图只含有顺序结构、循环结构
C．该框图只含有条件结构、循环结构
D．该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构
选D 阅读程序框图，可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件结构，故选D.
3．求下列函数的函数值时，其程序框图中需要用到条件结构的是（ ）
A．f（x）＝－2x2＋x B．f（x）＝－2x－5
C．f（x）＝
D．f（x）＝1－5x
选C 只有选项C中函数f（x）是分段函数，需分类讨论x的取值范围，要用条件结构来设计程序框图，A、B、D项均不需要用条件结构，故选C.
4．如果输入A＝2015，B＝2016，则下面一段程序的输出结果是（ ）
A．2016,2015B．2015,2015
C．2015,2016D．2016,2016
选D 输入A＝2015，B＝2016后，经过两个赋值语句，使得A，B中的值都为2016.故选D.
5．运行如图所示的程序，其结果为（ ）
A．192B．3840
C．384D．1920
选C 程序的功能为计算8×
6×
4×
2的值，易知为384，故选C.
6．若运行如图所示的程序，最后输出y的值是7，那么应该输入的t的值可以为（ ）
A．－3B．3
C．3或－3D．3或－3或5
选D 程序中的函数为一个分段函数y＝
若输出7，则
或
解得t的值为3或－3或5，故选D.
7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（ ）
A．7B．6
C．5D．4
选B 第一次运行：
S＝0＋（－1）1×
1＝－1<
3；
第二次运行：
n＝2，S＝－1＋（－1）2×
2＝1<
第三次运行：
n＝3，S＝1＋（－1）3×
3＝－2<
第四次运行：
n＝4，S＝－2＋（－1）4×
4＝2<
第五次运行：
n＝5，S＝2＋（－1）5×
5＝－3<
第六次运行：
n＝6，S＝－3＋（－1）6×
6＝3，满足S≥3.故输出n的值为6，故选B.
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则程序框图中的处理框“①”处应填写的是（ ）
A．n＝n－1B．n＝n－2
C．n＝n＋1D．n＝n＋2
选C 因为起始n＝1，输出的n＝4，所以排除A、B.若“①”处填n＝n＋1.则S＝
＝－1，n＝2，判断－1≠2，继续循环；
S＝
＝
，n＝3，判断
≠2，继续循环；
＝2，n＝4，判断2＝2，则输出n的值为4，故选C.
9．执行如图所示的程序框图，若输出S＝
，则输入整数n＝（ ）
A．8B．9
C．10D．8或9
选D 在条件成立的情况下，执行第一次循环后，S＝
，i＝4；
执行第二次循环后，S＝
，i＝6；
执行第三次循环后，S＝
，i＝8；
执行第四次循环后，S＝
，i＝10.若n＝8或n＝9，此时10≤n不成立，退出循环，输出S＝
，因此n＝8或n＝9，故选D.
10．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ）
A．6,6B．5,6
C．5,5D．6,5
选A 由f（x）＝（（（（（3x＋4）x＋5）x＋6）x＋7）x＋8）x＋1可以得知答案选A.
11．用秦九韶算法求多项式f（x）＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6的值，当x＝－4时，v4的值为（ ）
A．－57B．124
C．－845D．220
选D 依据秦九韶算法有v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3×
（－4）＋5＝－7，v2＝v1x＋a4＝－7×
（－4）＋6＝34，v3＝v2x＋a3＝34×
（－4）＋79＝－57，v4＝v3x＋a2＝－57×
（－4）＋（－8）＝220，故选D.
12．下列各数中最小的数为（ ）
A．101011
（2）B．1210（3）
C．110（8）D．68（12）
选A 101011
（2）＝1×
2＋1＝43,1210（3）＝1×
33＋2×
3＝48,110（8）＝1×
82＋1×
8＝72,68（12）＝6×
12＋8＝80，故选A.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如图程序中，要求从键盘输入n，求1＋2＋3＋…＋n的和，则横线上缺的程序项是①________，②________.
程序应先输入一个n的值，
确定要计算前多少项的和，
②处应确定计数变量i满足的条件，
即确定终止条件．
n i<
＝n
14．执行如图所示的框图所表达的算法，如果最后输出的S值为
，那么判断框中实数a的取值范围是________．
当1≤a<
2时，输出的S值为
；
当2≤a<
3时，输出的S值为
当3≤a<
4时，输出的S值为
当2015≤a<
2016时，
输出的S值为
[2015,2016）
15．如图是计算1＋2＋
＋3＋
＋…＋2014＋
的值的程序框图．图中空白的判断框应填________，处理框应填________．
读懂程序框图后，即可知判断框内要填“i≤2014？
”或“i<
2015？
”，处理框内要填“S＝S＋i＋
”．
i≤2014？
（或i<
） S＝S＋i＋
16．用更相减损术求36与134的最大公约数时，第一步应为________________________．
∵36与134都是偶数，
∴第一步应为：
先除以2，得到18与67.
先除以2，得到18与67
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）写出用辗转相除法求下列两组数的最大公约数的过程：
（1）8251与6105；
（2）6731与2809.
（1）8251＝6105×
1＋2146；
6105＝2146×
2＋1813；
2146＝1813×
1＋333；
1813＝333×
5＋148；
333＝148×
2＋37；
148＝37×
4.
∴最后的除数37就是8251和6105的最大公约数．
（2）6731＝2809×
2＋1113；
2809＝1113×
2＋583；
1113＝583×
1＋530；
583＝530×
1＋53；
530＝53×
10.
∴6731与2809的最大公约数为53.
18．（本小题满分12分）写出下面程序运行的过程，并写出运行结果．
运行过程如下：
i＝1，S＝0时，执行S＝0＋1＝1，i＝2；
由于S＝1≤20，因此继续执行S＝1＋2＝3，i＝3；
由于S＝3≤20，因此继续执行S＝3＋3＝6，i＝4；
由于S＝6≤20，因此继续执行S＝6＋4＝10，i＝5；
由于S＝10≤20，因此继续执行S＝10＋5＝15，i＝6；
由于S＝15≤20，因此继续执行S＝15＋6＝21，i＝7；
这时S＝21>
20，结束循环，执行WEND后面的语句，因此程序的运行结果为7.
19．（本小题满分12分）用秦九韶算法求f（x）＝3x5＋8x4－3x3＋5x2＋12x－6当x＝2时的值．
根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f（x）＝（（（（3x＋8）x－3）x＋5）x＋12）x－6，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝2时的值．
v0＝3，
v1＝v0×
2＋8＝3×
2＋8＝14，
v2＝v1×
2－3＝14×
2－3＝25，
v3＝v2×
2＋5＝25×
2＋5＝55，
v4＝v3×
2＋12＝55×
2＋12＝122，
v5＝v4×
2－6＝122×
2－6＝238，
所以当x＝2时，多项式的f（x）值为238.
20.（本小题满分12分）如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着边线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式并画出程序框图．
函数关系式为
y＝
程序框图如图所示：
21．（本小题满分12分）用二分法求f（x）＝x2－2（x>
0）近似零点的程序框图如下图所示．
（1）请在图中判断框内填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；
（2）根据程序框图写出程序．
（1）判断框内应填循环终止的条件：
|a－b|<
d或f（m）＝0？
（2）根据框图，设计程序如下：
22．（本小题满分12分）某商场第一年销售计算机6000台，如果以后每年销售比上一年增加12%，那么从第一年起，大约经过几年可使总销量达到150000台？
画出解决此问题的程序框图，并写出程序．
程序如下：
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