九年级数学下册263实践与探索二次函数的应用如何获取更多的利润素材新版华东师大版文档格式.docx

九年级数学下册263实践与探索二次函数的应用如何获取更多的利润素材新版华东师大版文档格式.docx

《九年级数学下册263实践与探索二次函数的应用如何获取更多的利润素材新版华东师大版文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册263实践与探索二次函数的应用如何获取更多的利润素材新版华东师大版文档格式.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

本题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题，而且也确实可以使用我们学过的知识提供一定程度的参考，不过本题可以作一些延伸：

1．本题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间呢？

2．该服装的售价可以超过69元吗？

3．该函数的图像还可以向两端延伸吗？

例2共产品每件的成本价是120元，试销阶段中每件产品的销售价x（元）与产品的月销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）

130

150

165

y（件）

70

50

35

若月销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售应为多少元？

此时每日的销售利润是多少？

（销售利润＝销售价－成本价）

从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题，形式多样，涉及的知识点比较广，且须注意知识的有机的融合，是近几年中考函数类应用性试题出现的变化和特点。

该题涉及一次函数、二次函数。

建立二次函数需要领会题意，并在此基础上求函数的最值。

以销售为数学模型的函数应用题，既考查了学生的知识，又考查了学生的能力。

①“销售利润＝销售价－成本价”这是题目给出的式子，因此每件产品的销售利润与销售价、成本价有关。

每日的销售利润应是每日销售量y（件）与每件产品销售利润的积。

这是解决此题的关键，也是营销问题中的常识。

②以表格形式给出了x（元）与y（件）的对应关系，并进而指出销售量y是销售价x的一次函数，为用待定系数法求解析式提供了可行性与新颖性。

③在分析与综合的基础上，每日的销售利润应是y（x的一次函数）与每件产品销售利润（x的一次函数）的积，实质为x的二次函数，于是求函数的最值，就是求日最大利润的问题了。

④在实际问题中自变量的取值范围必须符合题意。

例如，销售价x元一般不能低于成本价，否则要亏本，更无从谈利润；

销售量只能是非负数等。

设y＝kx＋b，当x＝130时，y＝70；

当x＝150时，y＝50，得方程组：

解得：

∴y＝－x＋200

设每日销售利润为Z元，每件产品的销售利润是（x－120）元，于是

∴当

时，

即当每件产品的销售价定为160元时，每日的销售利润最大，最大利润为1600元。

例3某剧院设有1000个座位，门票每张3元可达客满，据长期的营业进行市场估计，若每张票价提高x元，将有200x张门票不能售出。

（1）求提价后每场电影的票房收入y（元）与票价提高量x（元）之间的函数关系式和自变量x的取值范围。

（2）若你是经理，你认为电影院应该怎样决策（提价还是不提价），若提价，提价多少为宜？

若提价x元后，则每张票价变为（x＋3）元，出售的门票总数为：

（1000－200x）张，则票房的收入变为：

（x＋3）·

（1000－200x）。

至于电影院到底应该怎样决策，显然票房的收入y是提高的价x的二次函数，可以对其进行配方，进而求出最高的提价。

（1）由题意知：

又

∴x的取值范围是：

（2）

。

∴电影院应每张门票提价1元为宜。

接下来我们再来看一看1998年河北省的一道中考题。

亲爱的同学，你能试着顺利地完成它吗？

例4某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。

已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；

生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？

请你给设计出来。

（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），其中一种的生产件数为x，试写出y与x元间的函数关系式，并利用函数的性质说出

（1）中哪种生产方案获总利润最大？

最大利润是多少？

本题是生产经营决策问题。

在市场经济竞争十分激烈的今天，帮助学生学会比较，学会挥优决策，是素质教育的要求，也是近年中考的热门题型。

本题所涉及的知识点有：

不等式（组）、一次函数。

解决这类问题的关键是，建立相应的数学模型。

（1）A、B两种产品的生产件数，受总件数50和所需两种原料库存量的制约。

所以可由此得出不等组，从而确立A、B两种产品生产件数的范围，通过进一步讨论可选择其生产方案。

（2）列出总利润与产品生产数量之间的函数关系，根据函数的增减性质，就可以解决本题。

（1）设安排生产A种产品。

件，则生产B件产品（50－x）件。

依题意，得

解之，得

∵x为整数，∴x只能取30，31，32。

相应的（50－x）的组为20，19，18。

所以生产的方案有三种：

第一种：

生产A种产品30件，B种产品20件；

第二种：

生产A种产品31件，B种产品19件；

第三种：

生产A种产品32件，B种产品18件。

（2）设生产A种产品件数为x，则生产B种产品的件数为50－x。

依题意，得

其中x只能取30、31、32，

∴此一次函数中y随x的增大而减小。

∴当x＝30时，y的值最大。

故按第一种方案安排生产，获总利润最大，最大利润为：

－500×

30＋60000＝45000元。

例5某工厂计划出售一种产品，固定成本为2000000元，球台生产成本为3000元，销售收入为5000元。

求总产量x对总成本Q、单位成本P、销售收入R以及利润L的函数关系，并作出简要分析。

总成本与总产量的关系

Q＝2000000＋3000x，

单位成本与总产量的关系

销售收入与总产量的关系：

R＝5000x。

利润与总产量的关系

①从利润关系式可见，欲求较大的利润，应增加产量（在不考虑销售的情况下），若x＜1000，则要亏损；

若x＝1000，则利润为零；

若x＞1000，则可盈利。

这一点也可以从上面的图像中看出，两条直线的交点就是平衡点。

②从单位成本与总产量呈反比例的关系可见，为了降低成本，应增加产量，这样才能降低成本，形成规模效益。

例6今拟建一排4门的猪舍（如图），由于材料的限制，围墙和墙的总长度只能造p米，问x为多少时，猪舍面积最大？

米时，猪舍面积最大。

答：

说明：

本题列式的关键，在于找出长方形的长

和宽

对于求极值，是否采用配方法，则可以根据自己的习惯，本题所用的配方法是解决此类问题的通法。

现代生活中，信息显得十分重要，而报纸作为大众传媒的一种，是一种传递信息的重要载体。

正因如此，我们很多人都有抽空着报纸的习惯。

下面我们就来研究一下报摊卖报的问题，请你帮助业主设计一下最佳办法。

例7某市一家报摊从报社买进《晚报》的价格是每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的以每份0.04元退回报社，在一个月（30天）里，有20天每天可销售400份，其余的10天仅售250份。

但每天从报社买的份数必须相同，他应每天从报社购多少份，才能使每月所获利润最大？

本题应通过“售报收入”减去“退报亏损”构造等式，从而解决问题。

设每天从报社购进x份（

），每月售出（20x＋10×

250）份，退回10（x－250）份，由于卖出获利，退回亏损均为0.08元，则

y＝0.08（20＋2500）－0.08（x－250）×

10＝0.8＋400

这显然是一个k＞0的一次函数，函数值y随着自变量x的增大而增大的，所以当x＝400时，ymax＝720（元）。

答：

应每天从报社购400份，才能使每月获利润最大，最大利润是720元。

说明：

此题是一道十分典型的应用题。

它适用于卖报、卖书、卖书刊。

随着数字的变化，可编撰成一道道试题。

但是解法却是不变的，应注意此题的解法。

例8某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上画出一块长方形地面（不改变方向），建造一幢8层楼公寓。

问如何设计才能使公寓占地面积最大？

并求出最大面积（精确到1m2）。

在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线，即可保持原来方位，画得一块长方形土地。

显然，土地面积决定于P在AB上的位置。

建立如图所示的坐标系，则AB的方程为过A（0，20）、B（30，0）则的一条直线。

设直线AB的方程为y＝ka＋b则又因为A、B两点在直线上，

由于P点在直线上，故可得P点的坐标为

（∴P点坐标满足函数的解析式），则长方形的面积为：

化简得：

对函数的解析式进行配方得

当

由此题可见，公寓占地面积与楼房层数无关，并非所有信息都是有用的，这也是应用题与通常题目的一个重要区别。

例9某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的总建筑费用与建筑高度有关，楼房升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用平均提高5％，已知建筑5层楼时，每平方米的建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的平均综合费用最省（建筑费用与购地费用之和），公司应把楼建成几层？

设该楼建成x层，则根据题意得每平方米的购地费用为：

（元）

每平方米的建筑费用为：

400＋400（x－5）·

5％（元），所以每平方米的平均综合费用为：

即得含费用最少为

可见公司应该把楼房建成7层。

上面的例子是关于建造楼房的问题，在生活中，安居工程确实是老百姓比较关心的问题之一。

这一点就是生活在校园内的同学们也有所耳闻。

有多少家梦想住人宽广静适的套房啊！

下面我们就来研究一下一道关于单位职工住房公积金的问题。

例10某单位决定位公房的职工必须按基本工资高低交纳建房公积金，办法如下：

每月工资数

公积金

100元以下

不交纳

100～200元

交纳超过100元部分的5％

200～300元

100～200元部分交纳5％，200～300元部分交10％

300以上

100～200元部分交纳5％，200～300元部分交10％300元以上部分交纳15％

设职工每月工资为x元，交纳公积金后实得数为y元，求y与x之间的关系式，并画出图像。

①当0＜x＜100时，y＝x

②当100≤x＜200时

y＝100＋（x－100）（1－5％）＝0.95x＋5

②当200≤x＜300时

y＝100＋100（1－5％）＋（x－200）（1－10％）=0.9x＋15

②当

时

y＝100＋100（1－5％）＋100（1－10％）＋（x－300）（1－15％）

＝0.85x＋30

此题系分段函数，其对x的取值范围的讨论具有典型性，即应本着既不重复，也不遗漏的原则。

凡关于一些保险费的交纳等问题也可仿上类似地求解。

某生产队有60米长的一段篱笆，现用来围一个矩形的苗圃，一面可以利用一条小溪作天然屏障，问应怎样围法，可使苗圃面积最大？

分析：

此题可利用长和宽的关系，建立函数，设法求出最大值。

解法一：

配方法

设矩形宽是x，则矩形的长为

令苗圃的面积为y，则

解法二：

极值定理法

由解法1得：

苗圃长30米，宽15米时，最大面积为450米。

这类面积解法都是常规的解法，但解法2是竞赛内容。

例11某校办工厂现在年产值是15万元，如果增加100元投资，一年可增加250元产值。

（1）求总产值y（万元）与新增加的投资额x（万元）之间的函数关系式。

（2）如果增加1.5万元投资，年产值可达多少？

（1）依题意，

，这里

万元，关键是确定

的值，因为增加100元投资，一年可增250元产值，则每增加1万元投资，一年可增加2.5万元产值。

所以总产值y与新增加的投资x之间的函数关系式为：

，这是一个一次函数。

（2）当

万元，

（万元）。

因此，如果增加1.5万元投资，年产值可达到18.75万元。