七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十五讲多边形的有关问题含答案Word文档下载推荐.docx
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点评把内角问题转化为外角问题考虑.
例2—个凸〃边形，除了一个内角外，其余（n~l）个角之和为2002°
求"
的值.
解析本题实际上是求多边形内角和的延伸，要注意"
为自然数且每个内角不大于180。
这两个隐含条件.
解设除去的这个内角是X度，贝IJS—2）x180。
一屮=2002。
，那么（n-2）x180°
=2002°
+x°
•显然2002°
+屮应是180啲倍数，故x°
=158°
这时求得”=14・
二、多边形的边
例3（2002年全国竞赛题）若人人含…几是一个正九边形，儿出=心AiA5=b.则/Ms等于（）
解析此题以正九边形为背景，考察观察能力和构造能力.不必画出完整图形，只需画岀有用的局部图
形.
解如图15・2,延长A\Az>
AS,相交于点连纟吉A2A4,则A2A4//A\A^^且/42人4=八1旳=/九因为正
九边形的每-个内角为吟竺”，所以SM—WJ-2）譽540故
△丹局和△刊2人4均为正三角形.所以A2P=A2A4=A［A3=b.
AlA5=A\P=A]A2+A2P=a+b・选D・
例4（1999年全国联赛题）设有一个边长为1的正三角形，记作川［如图15-3
（1）］.将川的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2,［如图15-3
（2）］：
将A,的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作缶［如图15-3（3）］：
再将如的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作/U那么，乐的周长是・
解析从基本图形入手讣算.寻找规律.
解从內开始，每进行一次操作，所得到的图形的周长是原来图形周长的上倍.所以,
3
出的周长是-x3=4:
川的周长是卜4斗；
凡的周长是=
339
三、多边形的对角线问题
例5
（1）11-算凸十边形所有对角线的条数，以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数.
（2）在凸十边形每个顶点处任意标上一个自然数，在
（1）中的三角形，若三个顶点所标三数之和为奇数，则该三角形称为奇三角形；
若三数之和为偶数，则称偶三角形，试判断：
奇三角形个数是奇数还是偶数，并证明你的结论.
解析
（1）共有条对角线，因为边与对角线共有45条，每条属于8个三角形的边，贝IJ三角形个数为兰竺=120个.
（2）奇三角形个数是偶数.因为凸十边形每个顶点属于40个三角形，也就是说凸十边形每个顶点所写的数在总和中计算了40次，那么总和应为十顶点所标数和的40倍，则一左是偶数，偶三角顶点之和必为偶数.故奇三角形个数必为偶数.
四、多边形的证明问题
例6已知凸六边形的周长等于20,各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形.求证：
这样的六边形有无穷多个.
解析由n边形024）的不稳定性知，若存在一个这样的六边形，则必有无穷多个.故下面寻找是否存在六个正整数⑷，“2,…，“6（不妨设满足
（1）q+a2+・・・+a=20：
（2）Sc—,"
]+a2<
a3,a2+a3<
a49a3+a4<
a5,ax+a5<
ab:
（3）q+a2+ay++a5>
ab・
如果这样的六边形存在，则以q，①，…，绻为边长的六边形即符合要求.实际上，对任选三个整数
\<
at<
a.<
ak<
ab,必有+at<
ak,可见此六边形的任意三边不能构成三角形，如q=“2=l，5=2,勺=3,“s=5，&
=8’满足上述全部条件.
所以，这样的六边形有无穷多个.
点评本题首先i正明了这样的六边形存在，然后根据“边形024）的不稳圧性，说明这样的六边形有无穷多个.
五、多边形中的开放性问题
例7（1999年全国联赛题）在正五边形ABCDE所在平而内能找到点P,使得△PCD与△BCD的而积相等，并且aABP为等腰三角形.这样的不同的点P的个数为（）
A.2B.3C.4D.5
解析可先动手画岀简图.由与△BCD的面积相等及等积变换的思想，点点P应在平行于CD且与CD的距离等于B点到CD的距离的直线I上，这样的直线/
有两条，且位于CD的两侧.然后再根据MBP为等腰三角形确左点P的个数.
如图15-4,由Sw=Sabcq知，点P只能在直线M即直线BE）与直线b上，英中b与CD平行且与CD的距离等于71与CD的距离.
在等腰aABP中，按荘底边可分如下三种情形：
（1）当AB为底边时，AB的垂直平分线分别与人、b交于戸、P2,则戸、B是符合条件的点.
（2）当用为底边时，以B为圆心，BA为半径作圆，与人交于凡、P4两点，则巴、凡符合条件.
（3）当PB为底边时，只有E点符合条件.
综上所述，共有戸、B、巴、凡、E五个点符合题设全部条件，故应选D.
点评解答这类计数问题，需要分淸谁是底，谁是腰，可直接通过作图确左点P的个数，这里主要应用了交轨法.
好题妙解】
佳题新题品味
例1一个凸多边形的每一内角都等于140°
那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数有（）
A.9条B.8条C.7条D.6条
解析每一内角为140。
，得每一外角为40。
，360°
-40°
=9,即边数为9,故从一个顶点可作对角线9一3=6条，选D.
例2设人儿…厲是一个有"
个顶点的凸多边形，对每一个顶点A,（心1,2,3,…,“），将构成该角的两边
分别反向延长至儿,人2,连接儿，4「得到两个角za„za2（扫描件版本中有错），那么所有这些新得到的角的度数的和是.
解析注意每一内角与相邻的外角互补即可求.
故：
nx180°
-（n-2）-180°
=360°
.
例3正五边形广场ABCDE的周长为2000m,甲、乙两人分别从A、C两点同时出发绕广场沿
CtD-e-a的方向行走，甲的速度为50m/min,乙的速度为46m/min,则出发后经过min,甲、乙第一次行走在同一条边上.
解析设甲泄完X条边时，两人走在同一条边上，此时甲走了405m,乙泄了46X处=36张m,甲、50
乙两人的距离不大于正五边形的边长400m,所以（368x+800）—400.W400.
解得x>
12.5,而x为整数，取x=13.
400r
所以，甲、乙走了—=104min后走到一条边上.
50
中考真题欣赏
例4（吉林省妆口图15-5,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地而，请观察下列图形并解答
有关问题.
（1）在第”个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用
含”的代数式表示）.
（2）设铺地而用瓷砖的总数为y,请写出y与⑴中“的函数关系式（不要求写自变量n的取值范带I）.
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地而共用了506块瓷砖，求此时“值.
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中共需花多少元钱购买瓷砖？
（5）
是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情况？
请通过计算说明，为什么？
解析
解（1加+3,〃+2・
（2）尸（卄3）（卄2）・
（3）当y=506时，5+3）5+2）=506,解得“1=20,”2=—25（舍去）.
白色砖数：
n（/?
+1）=20x（204-1）=420.黑色砖数：
506-420=86・
（4）共需钱数：
86x4+420x3=1604（元）
（5）如+1）=5+2）5+3）—⑷+1）,化简得沪一3〃一6=0,解得"
辽逅・因“的值不是整数，
2
••一不存在黑、白瓷砖块数相等的情形.
竞赛样题展示
例1（2004年江苏省初中竞赛题）在一个多边形中，除了两个内角外，苴内角之和为2002°
则这个多边形的边数为（）
A.12B.12或13C.14D.14或15
解析设这个多边形为”（”为正整数）边形，由题意2002°
<
（«
-2）x180°
2002"
+360%
.11
13—<
n<
15—.
9090
所以,n=14或15.选D.
例2（2002年上海市竞赛题）平而上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连.问至少要连多少条线段？
证明你的结论.
解析
（1）若7个点中，有一点孤立（即它不与其他点连线），则剩下6点每2点必须连线，此时至少要连丝15条.
（2）若7点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连线，此时至少要连1+—=11条.
（3）若每一点至少引出3条线段，则至少要连玄条线段.由于线段数为整数，故此时至少要连11条.
（4）若每点至少引岀2条线段，且确有一点（记为A）只引出2条线段AB、AC,则不与A相连的4点每2
点必须连线，要连—=6条.由B引出的线段至少有2条，即除BA外还至少有一条.因此，此时至少2
要连6+2+1=9条.
图15・6给出连9条线的情况.
综合（1H4）,至少要连9条线段，才能满足要求.
例3（第14届希望杯）两条直线上各有”个点，用这“对点按如下规则连结线段：
1同直线上的点之间不连结；
2连结的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有英他的交点.
（1）画图说明当2,3时，连结的线段最多各有多少条？
（2）由
（1）猜想"
（“为正整数）对点之间连结的线段最多有多少条，证明你的结论.
（3）当“=2003时，所连结的线段最多有多少条？
n=1n=2n=3
图15・7
解析
（1）由图15-7可以看出=1时，最多可以连结1条线段，“=2时，最多可以连结3条线段，“=3时，最多可以连结5条线段.
（2）猜想：
对于正整数”，则“对点直接连结的直线段最多有加一1条.
证明将直线标记为肛12,它们上面的点从左到右排列分别为人,爲,九,…,观和妨,场,尽,…,B”，设这
“对点之间连结的直线段最多有几条，显然，其中必有A”耳这一条，否则，几就不是最多的数.
当在厶，b分别加上第”+1个点时，不妨设这两个点在凡与弘的右侧，那么除了原来已经有的P”条宜线段外，还可以连结An+tBn,An+1B„+1这两条线段,或连结AnBn+i,An+tBn+i这两条线段.
所以Prt+i>
Pn+2.
另一方而，设对于”+1对点有另一种连法：
考虑图中以人』为端点的线段，若以为端点的线段的条数大于1,则一泄可以找到一个?
匕2,使得对于任意的都不在所画的线段中，这时，Bi+i,Bi+2,…,瓦+1，只能与连结，不妨设A"
+iBi+i,血+必+2,…,An+iBn+1都已连结，此时图中的线段数为几+i，我们做如下操作:
去掉连结AnBi+l,得到新的连结图，而新的连结图满足要求且线段总数不变，将此操作一直进行下去，直到与连结的线段只有一条All+lBll+l为上最后图中，与点相关的线段只剩两条，即A,.+lBn+i,去掉这两条线段，则剩余几+「2条线段，而图形恰是“对点的连结图，所以
由此我们得到Pn+l=P“+2,而Pl=l，P?
=3,所以Pn=1+2X（M-1）=2/7-1.
（3）当”=2003时，户200尸4005（条）.
过关检测】
（）
A级
1.一个凸"
边形共有54条对角线，则它的内角和是（）
A.1080°
B.1440。
C・1800°
D・1620。
2.（1999年全国初中联赛试题）一个凸"
边形的内角和小于1999°
那么"
的最大值是（）
A・IlB・12C・13D・14
3.（第12届^希望杯"
邀请赛试题）凸〃边形中有且仅有两个内角为饨角，则〃的最大值是（）
A.4B.5C・6D・7
4.（美国中小学数学课程标准）如图，用硬纸片剪一个长为16cm.宽为12cm的长方形，再沿对角线
把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是cm,周
长最小的是cm・
5.如图，ABCD是凸四边形，AB=2.BC=4,CD=1.则线段AD的取值范围是
6.如图，五边形ABCDE中.AB=AE.BC+DE=CD,ZABC+ZAED=\S0Q.连接AD・求证：
AD平分ZCDE.
1.一个凸〃（n>
4）边形的每个外角的度数均为相等的奇数，则这样的凸多边形共有（）
A.4种B.6种C.3种D.2种
2.一个凸"
边形最小内角为95。
，其他内角依次增加10。
，则“等于（）
A.6B.12C.4D・10
3.如图所示，CD//AF,ZCDE=ZBAF,AB丄BC.ZC=124%ZE=80%求ZF的大小.
4.若凸4+2边形人出・・人”25为自然数）的每个内角都是30啲整数倍，且ZAi=ZA2=ZAs=90%求〃所有可能的值・
5.平而上给岀4点，其中任意3点不共线，这4点组成4个三角形•请判断：
这4个三角形中最多有几个锐角三角形？
6.已知一个凸n边形各内角度数均相等，且度数是奇数•间这样的多边形有几种？
第十五讲多边形的有关问题
1・D2.C
3.B提示:
n边形外角中最多有3个角为牠角，即内角中最多有3个不是锐角，得*3+2=5.
4.72,56・••
5・提示：
设A/>
=xt则7-（4+2）"
7+4+2,得Jv*vl3・'
6・提示：
延长CB至F,使RF=DE,连接4C、4F,则△ABFw△佔久△4DC,推得乙&
CF=乙ACQ=60°
■乙DAC=ZC4F=6O°
从而LADC=60°
Z.CDE=540°
-2x120°
-180°
=120°
B级
1.B2.A・
3・134。
连结AC,由于CD//AF.则乙DCA+乙以尸=：
180。
・而乙H=90°
则乙BCA十Z.D1C二90。
・因此,乙BCD+乙S4F=180°
+90°
=270°
厶BAF=厶CDE=2706-124°
=146°
.所以乙F=（6-2）x180°
-2x146°
-124°
-90°
-80。
=134°
.・
4"
1除了乙仆"
2、乙坷外还有角，不妨设ZAW9O。
■贝1J此多边形外角和大于360。
这与凸多边形外角和等于360。
矛盾！
因此乙4=120。
或15O°
（»
=4,5,-,4a+2）.设乙人，，厶4“中有&
个120。
"
个150°
（*,：
为非负整数）•那么A+:
=4a-13=4n-A-l.因此，[（4n+2）、-2]•180°
=3x90°
+*•120。
+（4几•150°
4n=4-jt,Jk=0,n=l.•・J
5.设平面上4点为/4、B、C、D,则它们的位置只有两种悄况：
0在△ABC内与。
在厶肋C外.假设4个三角形都是锐角三角形・
（1）当D在ZUBC内时，显然不满足假设;
（2）当。
在厶佔C外时，由假设知乙ABC+乙BCD+Z.CD4+厶⑷<
4x90°
=360%而四边形内角和是360。
矛麻故假设不成立.
6・由于各内角相等侧各外角也相等，且每个外角是型度•而内角度数是奇数，那么型是奇数•而360几n
=23x5,所以几可能为2\23x3\2}x5,25x3t2Jx3x5,23x32x5.这时分别算得每个内角度数为
135<
\175。
、171。
.165。
、177。
、179。
均符合条件•所以■满足条件的多边形有6种.
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