届高考数学艺体生文化课复习讲义考点59 推理与证明.docx

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届高考数学艺体生文化课复习讲义考点59推理与证明

考点五十九推理与证明

知识梳理

1．推理

（1）定义：

是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．

（2）分类：

推理

2．合情推理

合情推理包括归纳推理和类比推理．

（1）归纳推理：

根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

（2）类比推理：

由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．

归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．

3．演绎推理

（1）定义：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．

（2）特点：

演绎推理是由一般到特殊的推理．

（3）模式：

三段论

4．归纳推理与类比推理的步骤

（1）归纳推理的一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同特征；

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．

（2）类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或一致性；

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

5．合情推理与演绎推理的区别：

归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．

就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．

6．平面到空间中的常见类比

平面

空间

点

线

线

面

圆

球

三角形

三棱锥

正三角形

正四面体

角

二面角

面积

体积

周长

表面积

…

…

7．直接证明

直接证明有两种基本方法：

综合法和分析法．

（1）综合法：

从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．

（2）分析法：

从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．

8．间接证明

间接证明的一种基本方法是反证法．

（1）反证法：

我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．

（2）反证法的证题步骤是：

①反设：

假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）

②归谬：

将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）

③立论：

因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．（命题成立）

典例剖析

题型一归纳推理

例1　观察下列等式

1＝1

2＋3＋4＝9

3＋4＋5＋6＋7＝25

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

…

照此规律，第五个等式应为_________________________________．

答案　5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81

解析　由于1＝12，

2＋3＋4＝9＝32，

3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，

所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.

变式训练（2015陕西文）观察下列等式：

1－＝，

1－＋－＝＋，

1－＋－＋－＝＋＋，

…，

据此规律，第n个等式可为_______________________________．

答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋

解析　等式左边的特征：

第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：

第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.

解题要点

（1）归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；

（2）归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的；

（3）归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．

题型二类比推理

例2　在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

答案1∶8

解析＝＝·＝×＝.

变式训练在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：

＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．

答案　＋＋＋＝1

解析　设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，

于是可以得出结论：

＋＋＋＝1.

解题要点

（1）进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．

（2）类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．

题型三演绎推理

例3　如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．

答案

解析由题意知，凸函数满足

≤f，

又y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.

题型四综合法和分析法的应用

例4　在锐角三角形ABC中，求证：

sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.

证明：

∵△ABC为锐角三角形，

∴A＋B＞，∴A＞－B，

∵y＝sinx在上是增函数，

∴sinA＞sin＝cosB，

同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，

∴sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.

变式训练设a、b、c均为大于1的正数，且ab＝10，求证：

logac＋logbc≥4lgc.

证明：

（分析法）由于a>1，b>1，c>1，故要证明logac＋logbc≥4lgc，只要证明＋≥4lgc，即≥4，因为ab＝10，故lga＋lgb＝1.只要证明≥4，由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0

解题要点1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．分析法是“由果执因”，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证。

2.用分析法证明时要注意书写格式的规范性．

题型五反证法

例5　

（1）已知x∈R,a＝x2＋,b＝2－x,c＝x2－x＋1,试证明a,b,c至少有一个不小于1.

（2）用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应为______________．

答案

（1）见解析

（2）＝或<

解析

（1）证明：

假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，

而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，

两者矛盾，所以假设不成立，

故a，b，c至少有一个不小于1.

（2）根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即＝或<.

变式训练（2014·山东高考）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________．

1方程x3＋ax＋b＝0没有实根

2方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

3方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

4方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

解析选①　至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．

解题要点　用反证法证明数学命题要把握三点：

（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面；

（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．

当堂练习

1．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

22＝1＋3，32＝1＋3＋5，42＝1＋3＋5＋7，…；

23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，….

根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，p3的分解中最小的正整数是21，则m＋p＝________．

答案11　

解析由归纳推理可知，m＝6，p＝5，∴m＋p＝11.

2．给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；

③若“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．其中类比结论正确的个数是________．

答案2个

解析①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小.

3.观察下列各式：

55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为________．

答案8125

解析5n（n≥5且n∈Z）的后两位数字一定为25，区别在于通过对其后三四位数的观察，55、56、57的后三四位数31、56、81为等差数列，公差为25，由此推{5n}的后两位前的数是以25为公差的等差数列．由公式d＝得＝25（其中a为52011的后两位前的数），∴a＝50181.

4．某同学在电脑上打上了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是________．

答案白

解析由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．

5．（2014·陕西卷）已知f（x）＝，x≥0，若f1（x）＝f（x），fn＋1（x）＝f（fn（x）），n∈N＋，则f2014（x）的表达式为________．

答案

解析由题意，得f1（x）＝f（x）＝，

f2（x）＝＝，f3（x）＝，…，

由此归纳推理可得f2014（x）＝.

课后作业

一、填空题

1．下列推理是归纳推理的是________．

①A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则